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極限定義證明例題篇一
關(guān)于二重極限的定義，各類數(shù)學教材中有各種不同的表述，歸納起來主要有以下三種：定義1設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義(點可以除外)，如果對于任意給定的正數(shù)。，總存在正數(shù)，使得對于所論鄰域內(nèi)適合不等式的一切點p(x，y)所對應的函數(shù)值都滿足不等式那末，常數(shù)a就稱為函數(shù)當時的極限.定義2設(shè)函數(shù)的定義域為是平面上一點，函數(shù)在點兒的任一鄰域中除見外，總有異于凡的屬于d的點，若對于任意給定的正數(shù)。，總存在正數(shù)a，使得對d內(nèi)適合不等式0
利用極限存在準則證明：
(1)當x趨近于正無窮時，(inx/x^2)的極限為0;
(2)證明數(shù)列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收斂，并求其極限。
1)用夾逼準則:
x大于1時,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0
且lnx1),lnx/x^2
故(inx/x^2)的極限為0
2)用單調(diào)有界數(shù)列收斂:
分三種情況,x0=√a時,顯然極限為√a
x0>√a時,xn-x(n-1)=/2
且xn=/2>√a,√a為數(shù)列下界,則極限存在.設(shè)數(shù)列極限為a,xn和x(n-1)極限都為a.對原始兩邊求極限得a=/2.解得a=√a
同理可求x0
綜上,數(shù)列極限存在,且為√
(一)時函數(shù)的極限：
以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義(和.)
幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗證例2驗證例3驗證證……
(二)時函數(shù)的極限：
由考慮時的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由=
為使需有為使需有于是,倘限制,就有
例7驗證例8驗證(類似有(三)單側(cè)極限:
1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.
幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:
th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有
=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學時)
教學目的：使學生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。
教學要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性等。
教學重點：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。
教學難點：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應用。
教學方法：講練結(jié)合。
一、組織教學：
我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：
(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保號性:
4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):
th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有)
註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性:
6.四則運算性質(zhì):(只證“+”和“”)
(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限：
(注意前四個極限中極限就是函數(shù)值)
這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.例1(利用極限和)
例2例3註:關(guān)于的有理分式當時的極限.例4
例5例6例7
極限定義證明例題篇二
習題1?3
1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:
(1)lim(3x?1)?8;x?3
(2)lim(5x?2)?12;x?2
x2?4??4;(3)limx??2x?2
1?4x3
(4)lim?2.x??2x?12
1證明(1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3
1證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?3|??時, 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33
1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5
1證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?2|??時, 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25
(3)分析
|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2
x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?(?2)|??時, 有x??2x?2x?2
(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222
1?4x3111?4x3
?2??, 所以lim證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?(?)|??時, 有?2.12x?12x?122x??2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:
(1)lim1?x3
2x3
sinxx???1;2(2)limx???x?0.證明(1)分析
|x|?1
1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.證明 因為?? ?0, ?x?(2)分析
sinxx?0?
12?, 當|x|?x時, 有1x
1?x32x311?x31???, 所以lim?.x??2x322
1x
??, 即x?
sinxx
|sinx|x
?, 要使
sinx
證明 因為???0, ?x?
?2, 當x?x時, 有
xsinxx
?0??, 只須
?
.?0??, 所以lim
x???
?0.3.當x?2時,y?x2?4.問?等于多少, 使當|x?2|n
解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨設(shè)|x?2|?1, 即1?x?3.要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0.001, 只要
|x?2|?
0.001
?0.0002, 取??0.0002, 則當0?|x?2|??時, 就有|x2?4|?0.001.5
x2?1x?
34.當x??時, y?
x2?1x2?3
?1, 問x等于多少, 使當|x|>x時, |y?1|n
解 要使?1?
4x2?3
?0.01, 只|x|?
?3?397, x?.0.01
5.證明函數(shù)f(x)?|x| 當x?0時極限為零.x|x|
6.求f(x)?, ?(x)?當x?0時的左﹑右極限, 并說明它們在x?
證明 因為
x
limf(x)?lim?lim1?1，x?0?x?0?xx?0?x
limf(x)?lim?lim1?1，x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??
x?0
x?0
所以極限limf(x)存在.x?0
因為
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
|x|?x
?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
lim?(x)?lim?(x),??
x?0
x?0
所以極限lim?(x)不存在.x?0
7.證明: 若x???及x???時, 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于a, 則limf(x)?a.x??
證明 因為limf(x)?a, limf(x)?a, 所以??>0，x???
x???
?x1?0, 使當x??x1時, 有|f(x)?a|??;?x2?0, 使當x?x2時, 有|f(x)?a|??.取x?max{x1, x2}, 則當|x|?x時, 有|f(x)?a|?? , 即limf(x)?a.x??
8.根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當x?x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.證明 先證明必要性.設(shè)f(x)?a(x?x0), 則??>0, ???0, 使當0n
|f(x)?a|n
因此當x0??n
|f(x)?a|n
這說明f(x)當x?x0時左右極限都存在并且都等于a.再證明充分性.設(shè)f(x0?0)?f(x0?0)?a, 則??>0,??1>0, 使當x0??10, 使當x0n
取??min{?1, ?2}, 則當0n
| f(x)?a|n
即f(x)?a(x?x0).9.試給出x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明.解 x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理? 如果f(x)當x??時的極限存在? 則存在x?0及m?0? 使當|x|?x時? |f(x)|?m?
證明 設(shè)f(x)?a(x??)? 則對于? ?1? ?x?0? 當|x|?x時? 有|f(x)?a|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?a?a|?|f(x)?a|?|a|?1?|a|?
這就是說存在x?0及m?0? 使當|x|?x時? |f(x)|?m? 其中m?1?|a|?
極限定義證明例題篇三
例
1、用數(shù)列極限定義證明：limn?2?0 n??n2?7
n?2時n?2(1)2n(2)2nn?22(3)24(4)|2?0|?2?2?2????? nn?7n?7n?7n?nn?1n?n
2上面的系列式子要想成立，需要第一個等號和不等號（1）、（2）、（3）均成立方可。第一個等號成立的條件是n>2；不等號（1）成立的條件是2
n4，即n>2；不等號（4）成立的條件是n?[]，故取n=max{7, 2?
44[]}。這樣當n>n時，有n>7，n?[]。??
4 因為n>7,所以等號第一個等號、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因為n?[]，所以不等號（3）成立的條件是1??
|不等式（4）能成立，因此當n>n時，上述系列不等式均成立，亦即當n>n時，在這個例題中，大量使用了把一個數(shù)字放大為n或n?2?0|??。n2?7n的方法，因此，對于具體的數(shù)，．．．．．．．
2可把它放大為（k為大于零的常數(shù)）的形式 ．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．
n?4?0 n??n2?n?
1n?4n?4n?4時n?n2n2(1)|2?0|?2?2???? n?n?1n?n?1n?n?1n2n
22不等號（1）成立的條件是n?[],故取n=max{4, []},則當n>n時，上面的不等式都成??例
2、用數(shù)列極限定義證明：lim
立。
注：對于一個由若干項組成的代數(shù)式，可放大或縮小為這個代數(shù)式的一部分。如： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
n2?n?1?n
2n2?n?1?n
n?n?n22
n(n?1)2?n?
1(?1)n
例
3、已知an?，證明數(shù)列an的極限是零。 2(n?1)
(?1)n1(1)1(2)
證明：???0(設(shè)0???1)，欲使|an?0|?||????成立 22(n?1)(n?1)n?1
11??解得：n??1，由于上述式子中的等式和不等號（1）對于任意的正整n?1?
1數(shù)n都是成立的，因此取n?[?1]，則當n>n時，不等號（2）成立，進而上述系列等式由不等式?
和不等式均成立，所以當n>n時，|an?0|??。
在上面的證明中，設(shè)定0???1，而數(shù)列極限定義中的?是任意的，為什么要這樣設(shè)定？這樣設(shè)定是否符合數(shù)列極限的定義？
在數(shù)列極限定義中，n是一個正整數(shù)，此題如若不設(shè)定0???1，則n?[?1]就有1
?
可能不是正整數(shù)，例如若?＝2，則此時n＝－1，故為了符合數(shù)列極限的定義，先設(shè)定0???1，這樣就能保證n是正整數(shù)了。
那么對于大于1的?，是否能找到對應的n？能找到。按照上面已經(jīng)證明的結(jié)論，當?＝0.5時，有對應的n1，當n>n1時，|an?0|＜0.5成立。因此，當n＞n1時，對于任意的大于1的?，下列式子成立：
|an?0|＜0.5＜1＜?，亦即對于所有大于1的?，我們都能找到與它相對應的n=n1。因此，在數(shù)列極限證明中，?可限小。只要對于較小的?能找到對應的n，則對于較大的?．．．
就自然能找到對應的n。
極限定義證明例題篇四
極限定義證明
趨近于正無窮，根號x分之sinx等于0
x趨近于負1/2，2x加1分之1減4x的平方等于
2這兩個用函數(shù)極限定義怎么證明?
x趨近于正無窮，根號x分之sinx等于0
證明：對于任意給定的ξ>0，要使不等式
|sinx/√x-0|=|sinx/√x|
|sinx/√x|^2sinx^2/ξ^2，∵|sinx|≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，所以取x=1/ξ^2，當x>x時，必有|sinx/√x-0|
同函數(shù)極限的定義可得x→+∞時，sinx/√x極限為0.x趨近于負1/2，2x加1分之1減4x的平方等于2
證明：對于任意給定的ξ>0，要使不等式
|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|
需要0
|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|
由函數(shù)極限的定義可得x→-1/2時，1-4x^2/2x+1的極限為2.注意，用定義證明x走近于某一常數(shù)時的極限時，關(guān)鍵是找出那個絕對值里面x減去的那個x0.記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;
下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。
不妨設(shè)f1(x)趨于a;作b>a>=0,m>1;
那么存在n1,當x>n1,有a/m
注意到f2的極限小于等于a，那么存在n2，當x>n2時，0
同理，存在ni，當x>ni時，0
取n=max{n1,n2...nm};
那么當x>n,有
(a/m)^n
所以a/m
對n取極限，所以a/m
令x趨于正無窮，a/m
注意這個式子對任意m>1,b>a都成立，中間兩個極限都是固定的數(shù)。
令m趨于正無窮，b趨于a;
有a
這表明limg(x)=a;
證畢;
證明有點古怪是為了把a=0的情況也包含進去。
還有個看起來簡單些的方法
記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;
g(x)=max{f1(x),....fm(x)};
然后求極限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。
其實這個看起來顯然，但對于求極限能放到括號里面，但真要用極限定義嚴格說明卻和上面的證明差不多。
有種簡單點的方法，就是
max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2從而為簡單代數(shù)式。
多個求max相當于先對f1，f2求max，再對結(jié)果和f3求，然后繼續(xù)，從而為有限次代數(shù)運算式，故極限可以放進去。
2一)時函數(shù)的極限：
以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義(和.)
幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗證例2驗證例3驗證證……
(二)時函數(shù)的極限：
由考慮時的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由=
為使需有為使需有于是,倘限制,就有
例7驗證例8驗證(類似有(三)單側(cè)極限:
1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.
幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:
th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有
=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學時)
教學目的：使學生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。
教學要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性等。
教學重點：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。
教學難點：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應用。
教學方法：講練結(jié)合。
一、組織教學：
我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：
(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保號性:
4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):
th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有)
註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性:
6.四則運算性質(zhì):(只證“+”和“”)
(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限：
(注意前四個極限中極限就是函數(shù)值)
這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.例1(利用極限和)
例2例3註:關(guān)于的有理分式當時的極限.例4
例5例6例7
