最新極限定義證明例題(4篇)

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極限定義證明例題篇一

關(guān)于二重極限的定義，各類數(shù)學(xué)教材中有各種不同的表述，歸納起來(lái)主要有以下三種：定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義(點(diǎn)可以除外)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)。，總存在正數(shù)，使得對(duì)于所論鄰域內(nèi)適合不等式的一切點(diǎn)p(x，y)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式那末，常數(shù)a就稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限.定義2設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槭瞧矫嫔弦稽c(diǎn)，函數(shù)在點(diǎn)兒的任一鄰域中除見(jiàn)外，總有異于凡的屬于d的點(diǎn)，若對(duì)于任意給定的正數(shù)。，總存在正數(shù)a，使得對(duì)d內(nèi)適合不等式0

利用極限存在準(zhǔn)則證明：

(1)當(dāng)x趨近于正無(wú)窮時(shí)，(inx/x^2)的極限為0;

(2)證明數(shù)列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收斂，并求其極限。

1)用夾逼準(zhǔn)則:

x大于1時(shí),lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2

故(inx/x^2)的極限為0

2)用單調(diào)有界數(shù)列收斂:

分三種情況,x0=√a時(shí),顯然極限為√a

x0>√a時(shí),xn-x(n-1)=/2

且xn=/2>√a,√a為數(shù)列下界,則極限存在.設(shè)數(shù)列極限為a,xn和x(n-1)極限都為a.對(duì)原始兩邊求極限得a=/2.解得a=√a

同理可求x0

綜上,數(shù)列極限存在,且為√

(一)時(shí)函數(shù)的極限：

以時(shí)和為例引入.介紹符號(hào):的意義,的直觀意義.定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語(yǔ)言介紹幾何意義.例1驗(yàn)證例2驗(yàn)證例3驗(yàn)證證……

(二)時(shí)函數(shù)的極限：

由考慮時(shí)的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.例4驗(yàn)證例5驗(yàn)證例6驗(yàn)證證由=

為使需有為使需有于是,倘限制,就有

例7驗(yàn)證例8驗(yàn)證(類似有(三)單側(cè)極限:

1.定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法.

幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗(yàn)證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:

th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí))

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

教學(xué)方法：講練結(jié)合。

一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號(hào)性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對(duì)有)

註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說(shuō)明.5.迫斂性:

6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過(guò)以下幾個(gè)極限：

(注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值)

這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過(guò)有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計(jì)算得所求極限.例1(利用極限和)

例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限.例4

例5例6例7

極限定義證明例題篇二

習(xí)題1?3

1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

(1)lim(3x?1)?8;x?3

(2)lim(5x?2)?12;x?2

x2?4??4;(3)limx??2x?2

1?4x3

(4)lim?2.x??2x?12

1證明(1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3

1證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?3|??時(shí), 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33

1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5

1證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?2|??時(shí), 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25

(3)分析

|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2

x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?2)|??時(shí), 有x??2x?2x?2

(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222

1?4x3111?4x3

?2??, 所以lim證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?)|??時(shí), 有?2.12x?12x?122x??2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

(1)lim1?x3

2x3

sinxx???1;2(2)limx???x?0.證明(1)分析

|x|?1

1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.證明 因?yàn)?? ?0, ?x?(2)分析

sinxx?0?

12?, 當(dāng)|x|?x時(shí), 有1x

1?x32x311?x31???, 所以lim?.x??2x322

1x

??, 即x?

sinxx

|sinx|x

?, 要使

sinx

證明 因?yàn)???0, ?x?

?2, 當(dāng)x?x時(shí), 有

xsinxx

?0??, 只須

?

.?0??, 所以lim

x???

?0.3.當(dāng)x?2時(shí),y?x2?4.問(wèn)?等于多少, 使當(dāng)|x?2|n

解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨設(shè)|x?2|?1, 即1?x?3.要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0.001, 只要

|x?2|?

0.001

?0.0002, 取??0.0002, 則當(dāng)0?|x?2|??時(shí), 就有|x2?4|?0.001.5

x2?1x?

34.當(dāng)x??時(shí), y?

x2?1x2?3

?1, 問(wèn)x等于多少, 使當(dāng)|x|>x時(shí), |y?1|n

解 要使?1?

4x2?3

?0.01, 只|x|?

?3?397, x?.0.01

5.證明函數(shù)f(x)?|x| 當(dāng)x?0時(shí)極限為零.x|x|

6.求f(x)?, ?(x)?當(dāng)x?0時(shí)的左﹑右極限, 并說(shuō)明它們?cè)趚?

證明 因?yàn)?/p>

x

limf(x)?lim?lim1?1，x?0?x?0?xx?0?x

limf(x)?lim?lim1?1，x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??

x?0

x?0

所以極限limf(x)存在.x?0

因?yàn)?/p>

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

|x|?x

?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

lim?(x)?lim?(x),??

x?0

x?0

所以極限lim?(x)不存在.x?0

7.證明: 若x???及x???時(shí), 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于a, 則limf(x)?a.x??

證明 因?yàn)閘imf(x)?a, limf(x)?a, 所以??>0，x???

x???

?x1?0, 使當(dāng)x??x1時(shí), 有|f(x)?a|??;?x2?0, 使當(dāng)x?x2時(shí), 有|f(x)?a|??.取x?max{x1, x2}, 則當(dāng)|x|?x時(shí), 有|f(x)?a|?? , 即limf(x)?a.x??

8.根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x?x0 時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.證明 先證明必要性.設(shè)f(x)?a(x?x0), 則??>0, ???0, 使當(dāng)0n

|f(x)?a|n

因此當(dāng)x0??n

|f(x)?a|n

這說(shuō)明f(x)當(dāng)x?x0時(shí)左右極限都存在并且都等于a.再證明充分性.設(shè)f(x0?0)?f(x0?0)?a, 則??>0,??1>0, 使當(dāng)x0??10, 使當(dāng)x0n

取??min{?1, ?2}, 則當(dāng)0n

| f(x)?a|n

即f(x)?a(x?x0).9.試給出x??時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明.解 x??時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理? 如果f(x)當(dāng)x??時(shí)的極限存在? 則存在x?0及m?0? 使當(dāng)|x|?x時(shí)? |f(x)|?m?

證明 設(shè)f(x)?a(x??)? 則對(duì)于? ?1? ?x?0? 當(dāng)|x|?x時(shí)? 有|f(x)?a|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?a?a|?|f(x)?a|?|a|?1?|a|?

這就是說(shuō)存在x?0及m?0? 使當(dāng)|x|?x時(shí)? |f(x)|?m? 其中m?1?|a|?

極限定義證明例題篇三

例

1、用數(shù)列極限定義證明：limn?2?0 n??n2?7

n?2時(shí)n?2(1)2n(2)2nn?22(3)24(4)|2?0|?2?2?2????? nn?7n?7n?7n?nn?1n?n

2上面的系列式子要想成立，需要第一個(gè)等號(hào)和不等號(hào)（1）、（2）、（3）均成立方可。第一個(gè)等號(hào)成立的條件是n>2；不等號(hào)（1）成立的條件是2

n4，即n>2；不等號(hào)（4）成立的條件是n?[]，故取n=max{7, 2?

44[]}。這樣當(dāng)n>n時(shí)，有n>7，n?[]。??

4 因?yàn)閚>7,所以等號(hào)第一個(gè)等號(hào)、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因?yàn)閚?[]，所以不等號(hào)（3）成立的條件是1??

|不等式（4）能成立，因此當(dāng)n>n時(shí)，上述系列不等式均成立，亦即當(dāng)n>n時(shí)，在這個(gè)例題中，大量使用了把一個(gè)數(shù)字放大為n或n?2?0|??。n2?7n的方法，因此，對(duì)于具體的數(shù)，．．．．．．．

2可把它放大為（k為大于零的常數(shù)）的形式 ．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．

n?4?0 n??n2?n?

1n?4n?4n?4時(shí)n?n2n2(1)|2?0|?2?2???? n?n?1n?n?1n?n?1n2n

22不等號(hào)（1）成立的條件是n?[],故取n=max{4, []},則當(dāng)n>n時(shí)，上面的不等式都成??例

2、用數(shù)列極限定義證明：lim

立。

注：對(duì)于一個(gè)由若干項(xiàng)組成的代數(shù)式，可放大或縮小為這個(gè)代數(shù)式的一部分。如： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

n2?n?1?n

2n2?n?1?n

n?n?n22

n(n?1)2?n?

1(?1)n

例

3、已知an?，證明數(shù)列an的極限是零。 2(n?1)

(?1)n1(1)1(2)

證明：???0(設(shè)0???1)，欲使|an?0|?||????成立 22(n?1)(n?1)n?1

11??解得：n??1，由于上述式子中的等式和不等號(hào)（1）對(duì)于任意的正整n?1?

1數(shù)n都是成立的，因此取n?[?1]，則當(dāng)n>n時(shí)，不等號(hào)（2）成立，進(jìn)而上述系列等式由不等式?

和不等式均成立，所以當(dāng)n>n時(shí)，|an?0|??。

在上面的證明中，設(shè)定0???1，而數(shù)列極限定義中的?是任意的，為什么要這樣設(shè)定？這樣設(shè)定是否符合數(shù)列極限的定義？

在數(shù)列極限定義中，n是一個(gè)正整數(shù)，此題如若不設(shè)定0???1，則n?[?1]就有1

?

可能不是正整數(shù)，例如若?＝2，則此時(shí)n＝－1，故為了符合數(shù)列極限的定義，先設(shè)定0???1，這樣就能保證n是正整數(shù)了。

那么對(duì)于大于1的?，是否能找到對(duì)應(yīng)的n？能找到。按照上面已經(jīng)證明的結(jié)論，當(dāng)?＝0.5時(shí)，有對(duì)應(yīng)的n1，當(dāng)n>n1時(shí)，|an?0|＜0.5成立。因此，當(dāng)n＞n1時(shí)，對(duì)于任意的大于1的?，下列式子成立：

|an?0|＜0.5＜1＜?，亦即對(duì)于所有大于1的?，我們都能找到與它相對(duì)應(yīng)的n=n1。因此，在數(shù)列極限證明中，?可限小。只要對(duì)于較小的?能找到對(duì)應(yīng)的n，則對(duì)于較大的?．．．

就自然能找到對(duì)應(yīng)的n。

極限定義證明例題篇四

極限定義證明

趨近于正無(wú)窮，根號(hào)x分之sinx等于0

x趨近于負(fù)1/2，2x加1分之1減4x的平方等于

2這兩個(gè)用函數(shù)極限定義怎么證明?

x趨近于正無(wú)窮，根號(hào)x分之sinx等于0

證明：對(duì)于任意給定的ξ>0，要使不等式

|sinx/√x-0|=|sinx/√x|

|sinx/√x|^2sinx^2/ξ^2，∵|sinx|≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，所以取x=1/ξ^2，當(dāng)x>x時(shí)，必有|sinx/√x-0|

同函數(shù)極限的定義可得x→+∞時(shí)，sinx/√x極限為0.x趨近于負(fù)1/2，2x加1分之1減4x的平方等于2

證明：對(duì)于任意給定的ξ>0，要使不等式

|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|

需要0

|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|

由函數(shù)極限的定義可得x→-1/2時(shí)，1-4x^2/2x+1的極限為2.注意，用定義證明x走近于某一常數(shù)時(shí)的極限時(shí)，關(guān)鍵是找出那個(gè)絕對(duì)值里面x減去的那個(gè)x0.記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無(wú)窮;

下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無(wú)窮。把max{a1,...am}記作a。

不妨設(shè)f1(x)趨于a;作b>a>=0,m>1;

那么存在n1,當(dāng)x>n1,有a/m

注意到f2的極限小于等于a，那么存在n2，當(dāng)x>n2時(shí)，0

同理，存在ni，當(dāng)x>ni時(shí)，0

取n=max{n1,n2...nm};

那么當(dāng)x>n,有

(a/m)^n

所以a/m

對(duì)n取極限，所以a/m

令x趨于正無(wú)窮，a/m

注意這個(gè)式子對(duì)任意m>1,b>a都成立，中間兩個(gè)極限都是固定的數(shù)。

令m趨于正無(wú)窮，b趨于a;

有a

這表明limg(x)=a;

證畢;

證明有點(diǎn)古怪是為了把a(bǔ)=0的情況也包含進(jìn)去。

還有個(gè)看起來(lái)簡(jiǎn)單些的方法

記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無(wú)窮;

g(x)=max{f1(x),....fm(x)};

然后求極限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。

其實(shí)這個(gè)看起來(lái)顯然，但對(duì)于求極限能放到括號(hào)里面，但真要用極限定義嚴(yán)格說(shuō)明卻和上面的證明差不多。

有種簡(jiǎn)單點(diǎn)的方法，就是

max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2從而為簡(jiǎn)單代數(shù)式。

多個(gè)求max相當(dāng)于先對(duì)f1，f2求max，再對(duì)結(jié)果和f3求，然后繼續(xù)，從而為有限次代數(shù)運(yùn)算式，故極限可以放進(jìn)去。

2一)時(shí)函數(shù)的極限：

以時(shí)和為例引入.介紹符號(hào):的意義,的直觀意義.定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語(yǔ)言介紹幾何意義.例1驗(yàn)證例2驗(yàn)證例3驗(yàn)證證……

(二)時(shí)函數(shù)的極限：

由考慮時(shí)的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.例4驗(yàn)證例5驗(yàn)證例6驗(yàn)證證由=

為使需有為使需有于是,倘限制,就有

例7驗(yàn)證例8驗(yàn)證(類似有(三)單側(cè)極限:

1.定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法.

幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗(yàn)證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:

th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí))

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

教學(xué)方法：講練結(jié)合。

一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號(hào)性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對(duì)有)

註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說(shuō)明.5.迫斂性:

6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過(guò)以下幾個(gè)極限：

(注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值)

這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過(guò)有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計(jì)算得所求極限.例1(利用極限和)

例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限.例4

例5例6例7