重要極限證明 e(六篇)

無論是身處學(xué)校還是步入社會，大家都嘗試過寫作吧，借助寫作也可以提高我們的語言組織能力。大家想知道怎么樣才能寫一篇比較優(yōu)質(zhì)的范文嗎？以下是我為大家搜集的優(yōu)質(zhì)范文，僅供參考，一起來看看吧

重要極限證明 e篇一

復(fù)數(shù)方程 z^(2n＋1)＝1的根是 a1，a2，a3，...，a(2n)，1。

其中，ak＝cos(2kπ/(2n+1))＋i sin(2kπ/(2n+1))，k＝1，2，...，2n。所以，ak＝(a1)^k 所以，z^(2n＋1)－1＝(z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))(z－1)，即

(z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))＝(z^(2n＋1)－1)/(z－1)＝z^(2n)＋z^(2n－1)＋...＋z＋1。

兩邊令z＝1，并取模，則：

|1－a1|×|1－a2|×......×|1－a2n|＝2n＋1.........（*)因為，|1－ak|＝√|(cos(2kπ/(2n+1))－1))＋i sin(2kπ/(2n+1))|＝2×sin(kπ/(2n+1))，所以由(*)式得：

2^n×sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))＝2n＋1。

所以，sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))＝√(2n＋1)/2^n 2.三角函數(shù)

求證：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))=√(2n +1)/2^n.證:sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ/(2n+1))=√(2n +1)/2^n 設(shè)z=cos2π/(2n+1)+ isin2π/(2n+1)則x^(2n+1)=1的根為1,z,...z^2n 得x^2n+...+x+1=(x-z)(x-z^2)...(x-z^2n)2n+1=｜(1-z)｜｜(1-z^2)｜...｜(1-z^2n)｜...(1)又｜(1-z^k)｜=2sinkπ/(2n+1)...(2)|1-z^k| = |1-(cos(2kπ/(2n+1))+sin(2kπ/(2n+1)))| =|1-cos(2kπ/(2n+1)))-sin(2kπ/(2n+1)))| =√((1-2cos(2kπ/(2n+1))+cos^2(2kπ/(2n+1)))+ sin^2(2kπ/(2n+1)))=√(2-2cos(2kπ/(2n+1)))=√(4sin^2(kπ/(2n+1))=2sin(kπ/(2n+1)故

2n+1 =(n(π/(2n+1)).n(2π/(2n+1))n(3π/(2n+1))........n(2nπ/(2n+1))兩邊開方,得

sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ/(2n+1))=√(2n+1)/ 2^n 另外那個類似,可以嘗試自己證一下.3.為什么sinπ／n+sin2π／n......+sin(n-1)π／n=cotπ／2n? 解：2 sin [π／(2n)]·sin(π／n)= cos [π／n-π／(2n)]-cos [π／n +π／(2n)]= cos [π／(2n)]-cos [3π／(2n)]2 sin [π／(2n)]·sin(2π／n)= cos [2π／n-π／(2n)]-cos [2π／n+π／(2n)]= cos [3π／(2n)]-cos [5π／(2n)]2 sin [π／(2n)]·sin(3π／n)= cos [3π／n-π／(2n)]-cos [3π／n +π／(2n)]= cos [5π／(2n)]-cos [7π／(2n)]……2 sin [π／(2n)]·sin[(n-1)π／n]= cos [(n-1)π／n-π／(2n)]-cos [(n-1)π／n +π／(2n)]= cos [(2n-3）π／(2n)]-cos [(2n-1)π／(2n)] 故：2 sin [π／(2n)] ·｛sin(π／n)+sin(2π／n)+......+sin[(n-1)π／n]｝= cos [π／(2n)]-cos [(2n-1)π／(2n)]= cos [π／(2n)]-cos [π-π／(2n)]=2 cos [π／(2n)] 故：sin(π／n)+sin(2π／n)+......+sin[(n-1)π／n]= cos[π／(2n)]/ sin [π／(2n)]= cot [π／(2n)]

4.級數(shù)sin n/(n+1)收斂還是發(fā)散,如果收斂,是絕對收斂還是條件收斂,為什么? sol:收斂,的部分和＝[sin1/2(sin1+sin2+...+sinn)]/sin1/2（積化和差公式）＝[cos1/2-cos(2n+1)/2)]/sin1/2,于是有界,1/(n+1)單調(diào)遞減趨于0,收斂.不絕對收斂.|sinn/(n+1)|>=sin^2n/(n+1)=[1-cos(2n)]/2(n+1).類似用dirichlet判別法知道級數(shù)cos2n/(n+1)收斂,但級數(shù)1/(n+1)發(fā)散,?lnc1n?...?lncn求lim?i.2x??n2nnlnonlncn?lnc1?...?lncn?nln2?lnn?ln2?1lnnnnsol:? n2n2nni=ln2

5.求sinπ/n*sin2π/n*…*sin(n-1)π/n的值,用復(fù)數(shù)思想

6.三角函數(shù)連乘(正弦)求證：sin[π/(2n+1)]*sin[2π/(2n+1)]*sin[3π/(2n+1)]*……*sin[nπ/(2n+1)]=(根號下2n-1)/2^n sol: 7.證一般項級數(shù)∑sin√(n^2+1)π條件收斂 sol:∵sin√(n2+1)π

=[(-1)^n]sin[√(n2+1)π-nπ] =[(-1)^n]sin[√(n2+1)-n]π =[(-1)^n]sin{1/[√(n2+1)+n]}π

lim(n→∞)[sin{1/[√(n2+1)+n]}π]/(1/n)=lim(n→∞)nπ/[√(n2+1)+n] =π/2 ∴∑sin{1/[√(n2+1)+n]}與∑1/n有相同的斂散性,即∑sin{1/[√(n2+1)+n]}π發(fā)散

lim(n→∞)sin{1/[√(n2+1)+n]}π=0,且sin{1/[√[(n+1)2+1]+(n+1)]}π≤sin{1/[√(n2+1)+n]}π

由萊布尼茲判別法知lim[(-1)^n]sin{1/[√(n2+1)+n]}π收斂 ∴原級數(shù)條件收斂

其他回答:sin√(n^2+1)π=(-1)^n sin(√(n^2+1)π+nπ)再利用分子有理化可得：(-1)^n sin(π/[根號(n^2+1)+n])利用 dirichlet判別法可知級數(shù)收斂。

而它的絕對值級數(shù)可以等價為：sin(π/[根號(n^2+1)+n])~π/[根號(n^2+1)+n]~1/n即發(fā)散。(π/n)×sin(2π/n)×sin(3π/n)×…×sin[(n-1)π/n]=n×2^(1-n)這等式怎么證?大概要從哪個方面入手? sin(π/n)×sin(2π/n)×sin(3π/n)×…×sin[(n-1)π/n]=n×2^(1-n)用復(fù)數(shù)

w=cos(2π/n)+isin(2π/n)w=cos(2π/n)-isin(2π/n)z^n=1(z-1)(z^(n-1)+z^(n-2)＋……＋z+1)=0 z^(n-1)+z^(n-2)＋……＋z+1=(z-w)(z-w^2)(z-w^3)……（z-w^(n-1)）令 z=1 n＝(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^(n-1)）1-w^k=2sinkπ/n(sinkπ/n+icoskπ/n)|1-w^k|=|2sinkπ/n(sinkπ/n+icoskπ/n)|=|2sinkπ/n||(sinkπ/n+icoskπ/n)|=|2sinkπ/n|=2sin(kπ/n)取模

|n|＝|(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^(n-1))| |n|＝|(1-w)||(1-w^2)||(1-w^3)|…|(1-w^(n-1))| n=2^(n-1)sin(π/n)sin(2π/n)……sin[(n-1)π/n]

得證

重要極限證明 e篇二

兩個重要極限的證明第六節(jié) 極限存在準則、兩個重要極限

教學(xué)目的：1 使學(xué)生掌握極限存在的兩個準則；并會利用它們求極限； 2使學(xué)生掌握利用兩個重要極限求極限的方法； 教學(xué)重點：利用兩個重要極限求極限 教學(xué)過程： 一、講授新課：

準則i：如果數(shù)列 滿足下列條件：(i)對;(ii)那么，數(shù)列 的極限存在，且。證明：因為，所以對，當(dāng) 時，有，即，對，當(dāng) 時，有，即，又因為，所以當(dāng) 時，有，即有：，即，所以。

準則i′如果函數(shù) 滿足下列條件：(i)當(dāng) 時，有。(ii)當(dāng) 時，有。

那么當(dāng) 時，的極限存在，且等于。第一個重要極限：

作為準則i′的應(yīng)用，下面將證明第一個重要極限：。證明：作單位圓，如下圖：

設(shè) 為圓心角，并設(shè) 見圖不難發(fā)現(xiàn)：，即：，即，(因為，所以上不等式不改變方向)當(dāng) 改變符號時，及1的值均不變，故對滿足 的一切，有。又因為，所以 而，證畢?！纠?】?！纠?】?！纠?】?！纠?】。

準則ⅱ：單調(diào)有界數(shù)列必有極限

如果數(shù)列 滿足：，就稱之為單調(diào)增加數(shù)列;若滿足：，就稱之為單調(diào)減少數(shù)列;同理亦有嚴格單增或單減，以上通稱為單減數(shù)列和嚴格單減數(shù)列。

如果，使得：，就稱數(shù)列 為有上界;若，使得：，就稱 有下界。準則ⅱ′：單調(diào)上升，且有上界的數(shù)列必有極限。準則ⅱ″: 單調(diào)下降，且有下界的數(shù)列必有極限。

注1：由前已知，有界數(shù)列未必有極限，若加單調(diào)性，就有極限。2：準則ⅱ，ⅱ′，ⅱ″可推廣到函數(shù)情形中去，在此不一一陳述了。第二個重要極限：

作為準則ⅱ的一個應(yīng)用，下面來證明極限 是不存在的。先考慮 取正整數(shù)時的情形： 對于，有不等式：，即：，即：(i)現(xiàn)令，顯然，因為 將其代入，所以，所以 為單調(diào)數(shù)列。(ii)又令，所以，即對，又對 所以{ }是有界的。

由準則ⅱ或ⅱ′知 存在，并使用 來表示，即 注 1：關(guān)于此極限存在性的證明，書上有不同的方法，希望同學(xué)自己看!2：我們可證明：，具體在此不證明了，書上也有，由證明過程知：。3：指數(shù)函數(shù) 及自然對數(shù) 中的底就是這個常數(shù)。

重要極限證明 e篇三

極限的證明

利用極限存在準則證明：

(1)當(dāng)x趨近于正無窮時，(inx/x^2)的極限為0;

(2)證明數(shù)列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收斂，并求其極限。

1)用夾逼準則:

x大于1時,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2

故(inx/x^2)的極限為0

2)用單調(diào)有界數(shù)列收斂:

分三種情況,x0=√a時,顯然極限為√a

x0>√a時,xn-x(n-1)=/2

且xn=/2>√a,√a為數(shù)列下界,則極限存在.設(shè)數(shù)列極限為a,xn和x(n-1)極限都為a.對原始兩邊求極限得a=/2.解得a=√a

同理可求x0

綜上,數(shù)列極限存在,且為√

(一)時函數(shù)的極限：

以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗證例2驗證例3驗證證……

(二)時函數(shù)的極限：

由考慮時的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由=

為使需有為使需有于是,倘限制,就有

例7驗證例8驗證(類似有(三)單側(cè)極限:

1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.

幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:

th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時)

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性等。

教學(xué)重點：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。

教學(xué)難點：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

教學(xué)方法：講練結(jié)合。

一、組織教學(xué)：

我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有)

註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性:

6.四則運算性質(zhì):(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限：

(注意前四個極限中極限就是函數(shù)值)

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.例1(利用極限和)

例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時的極限.例4

例5例6例7

重要極限證明 e篇四

極限證明-證明范文

第一篇：極限證明 極限證明

1.設(shè)fx在??,??上無窮次可微，且fx??xnn???，求證當(dāng)k?n?1時，?x，limfkx?0． x??? 2.設(shè)fx??0sinntdt，求證：當(dāng)n為奇數(shù)時，fx是以2?為周期的周期函數(shù)；當(dāng)n為

偶數(shù)時fx是一線性函數(shù)與一以2?為周期的周期函數(shù)之和． x fnx?0．?{xn}?3.設(shè)fx在??,??上無窮次可微；f0f?0?0xlim求證：n?1，??? ?n，0?xn?xn?1，使fnxn?0．

sinf(x)?1．求證limfx存在． 4.設(shè)fx在a,??上連續(xù)，且xlim???x??? 5.設(shè)a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,證明權(quán)限limn??xn存在并求極限值。

6.設(shè)xn?0,n?1,2,?.證明：若limxn?1?x,則limxn?x.n??xn??n 7.用肯定語氣敘述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求證：ai有極限存在。 an?1 t?x9.設(shè)函數(shù)f定義在?a,b?上，如果對每點x??a,b?,極限limf?t?存在且有限（當(dāng)x?a或b時，為單側(cè)極限）。證明：函數(shù)f在?a,b?上有界。10.設(shè)limn??an?a,證明：lima1?2a2???nana?.n??2n2 11.敘述數(shù)列?an?發(fā)散的定義，并證明數(shù)列?cosn?發(fā)散。12.證明：若??? af?x?dx收斂且limx???f?x???，則??0.11?an?收

斂。

?,n?1,2,?.求

證

：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2? n 14.證明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是與n無關(guān)的常數(shù)，limn???n?0.15.設(shè)f?x?在[a,??)上可微且有界。證明存在一個數(shù)列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f?xn??0.16.設(shè)f?u?具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且limu???f?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0

?? ?r?0?.i ?1?證明：limu??f?u????;?2?求ir???f?x2?y2?dxdy;?3?求limr2 r?? d r 17.設(shè)f?x?于[a,??)可導(dǎo)，且f?x??c?0?c為常數(shù)?,證明： ?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。

18.設(shè)limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??n語言證明lim ana?.n???bbn ?sn?x??19.設(shè)函數(shù)列?sn?x??的每一項sn?x?都在x0連續(xù)，u是以x0為中心的某個開區(qū)間，在u??x0?內(nèi)閉一致收斂于s?x?,又limn??sn?x0????,證明：lims?x????.x?x0 20.敘述并證明limx???f?x?存在且有限的充分必要條件?柯西收斂原理? ??a 23.設(shè)? fx= 0.證明xlimfxdx收斂,且fx在?a,???上一致連續(xù)，??? 24.設(shè)a1 0，an?1＝an＋，證明＝1 nan25.設(shè)f?x?在a的某領(lǐng)域內(nèi)有定義且有界，對于充分小的h，m?h?與m?h?分別表示f?x?在?a?h,a?h?上的上、下確界，又設(shè)?hn?是一趨于0的遞減數(shù)列，證明：

1）limn??m?hn?與limn??m?hn?都存在；

2)limn?0m?h??limn??m?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;27.設(shè)an?a,用定義證明:limn???an?a 28.設(shè)x1?0，xn?1? 31?xn ,n?1,2,?，證明limxn存在并求出來。

n??3?xn ?? 29.用“???語言”證明lim30.設(shè)fx? x?2x?1 ?0 x?1x?3 x?2，數(shù)列?xn?由如下遞推公式定義：x0?1，xn?1?fxn，n?0，x?1 n?? 1，2，?，求證：limxn?2。

31.設(shè)fnx?cosx?cos2x???cosnx，求證：

（a）對任意自然數(shù)n，方程fnx?1在[0,?/3)內(nèi)有且僅有一個正根；

（b）設(shè)xn?[0,1/3)是fnx?1的根，則limxn??/3。n?? 32.設(shè)函數(shù)ft在a,b連續(xù)，若有數(shù)列xn?a,yn?axn,yn?(a,b)使

limfxn?an??及l(fā)imfyn?bn??，則對a，b之間的任意數(shù)?，可找到數(shù)列xn?a，使得limfzn?? 33.設(shè)函數(shù)f在[a,b]上連續(xù)，且 f?0,記fvn?fa?v?n,?n? ?exp{ b?a，試證明：n 1b lnfxdx}n??并利用上述等式證明下?ab?a 式 2? ? 2? ln1?2rcosx?r2dx?2lnrr?1 fb?fa

?k b?a 34.設(shè)f‘0?k,試證明lim a?0?b?0? 35.設(shè)fx連續(xù)，?x??0fxtdt，且lim x?0 論?x在x?0處的連續(xù)性。fx，求?x，并討?a（常數(shù)）x 36． 給出riemann積分?afxdx的定義，并確定實數(shù)s的范圍使下列極限收斂

i1 lim?s。n??ni?0n ?x322 ,x?y?0?2

37.定義函數(shù)f?x???x?y2.證明f?x?在?0,0?處連續(xù)但不可微。 ?0,x?y?0? n?1 b 38.設(shè)f是?0,??上有界連續(xù)函數(shù)，并設(shè)r1,r2,?是任意給定的無窮正實數(shù)列，試證存在無窮正實數(shù)列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.39.設(shè)函數(shù)f?x?在x?0連續(xù)，且limx?0 f?2x??f?x??a,求證：f?0?存在且等于a.x 1n 40.無窮數(shù)列?an??,bn?滿足limn??an?a,limn??bn?b,證明:lim?aibn?1-i?ab.n??ni?1 41.設(shè)f是?0,??上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的正函數(shù)，且f?x??0,f有界，則limt??f?t??0 42.用???分析定義證明limt??1

x?31 ? x2?92 43.證明下列各題

?1?設(shè)an??0,1?，n?1,2,?,試證明級數(shù)?2nann?1?an?n收斂； n?1 ? ?2?設(shè)?an?為單調(diào)遞減的正項數(shù)列，級數(shù)?n2014an收斂，試證明limn2014an?0;n?? n?1 ? ?3?設(shè)f?x?在x?0附近有定義，試證明權(quán)限limx?0f?x?存在的充要條件是：對任何趨于0的數(shù)列?xn??,yn?都有l(wèi)imn???f?xn??f?yn???0.?1?44.設(shè)?an?為單調(diào)遞減數(shù)列的正項數(shù)列，級數(shù)?anln?1?an?0???收斂，試證明limn??n?n?1? a?1。45.設(shè)an?0，n=1,2，an?a?0,n??,證 limn

n?? ? 46.設(shè)f為上實值函數(shù)，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1，＋?〕 limf（x）存在且小于1＋。x?＋?4，證明x?1）2 x2＋f（x）? 47.已知數(shù)列{an}收斂于a，且

a?a???asn?，用定義證明{sn}也收斂于a n 48.若f?x?在?0,???上可微，lim n?? fx ?0，求證?0,???內(nèi)存在一個單

x??x 調(diào)數(shù)列{?n}，使得lim?n???且limf??n?0 n?? x??e?sinx?cosx?,x?0 49.設(shè)f?x???2,確定常數(shù)a,b,c,使得f?x?在???,??處處存在。??ax?bx?c,x?0 第二篇：極限的證明

極限的證明利用極限存在準則證明： 1當(dāng)x趨近于正無窮時，inx/x 的極限為0;2證明數(shù)列{xn}，其中a 0，xo 0,xn=/2,n=1,2,…收斂，并求其極限。

1)用夾逼準則: x大于1時,lnx 0,x 0,故lnx/x 0 且lnx1),lnx/x x-1/x.而x-1/x 極限為0 故inx/x 的極限為0 2)用單調(diào)有界數(shù)列收斂:

分三種情況,x0=√a時,顯然極限為√a x0 √a時,xn-xn-1=/2 0,單調(diào)遞減

且xn=/2 √a,√a為數(shù)列下界,則極限存在.設(shè)數(shù)列極限為a,xn和xn-1極限都為a.對原始兩邊求極限得a=/2.解得a=√a 同理可求x0 √a時,極限亦為√a 綜上,數(shù)列極限存在,且為√ 一時函數(shù)的極限： 以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義和.幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗證例2驗證例3驗證證…… 二時函數(shù)的極限： 由考慮時的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由= 為使需有為使需有于是,倘限制,就有 例7驗證例8驗證類似有(三單側(cè)極限: 1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有 =§2函數(shù)極限的性質(zhì)3學(xué)時

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性等。

教學(xué)重點：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。

教學(xué)難點：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。教學(xué)方法：講練結(jié)合。一、組織教學(xué)：

我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：

一函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保號性: 4.單調(diào)性不等式性質(zhì): th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設(shè)=現(xiàn)證對有

註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性: 6.四則運算性質(zhì):只證“+”和“”

二利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限： 注意前四個極限中極限就是函數(shù)值

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.例1利用極限和

例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時的極限.例4 例5例6例7 第三篇：數(shù)列極限的證明

數(shù)列極限的證明x1=2,xn+1=2+1/xn,證明xn的極限存在，并求該極限

求極限我會 |xn+1-a| |xn-a|/a 以此類推，改變數(shù)列下標可得|xn-a| |xn-1-a|/a;

|xn-1-a| |xn-2-a|/a;…… |x2-a| |x1-a|/a;向上迭代，可

以得到

|xn+1-a|

|xn-a|/a

2 只要證明{xn}單調(diào)增加有上界就可以了。用數(shù)學(xué)歸納法： ①證明{xn}單調(diào)增加。x2=√=√5 x1;設(shè)xk+1 xk，則

xk+2-xk+1)=√-√分子有理化 =/【√+√】 0。②證明{xn}有上界。x1=1 4，設(shè)xk 4，則 xk+im=0 n→∞(2lim=3/2

n→∞ 3lim=0 n→∞

4lim0.999…9=1 n→∞n個9 5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個忙。。lim就省略不打了。。n/n +1=0 √n +4/n=1 sin1/n=0 實質(zhì)就是計算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進去就行 第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達法則不知樓主學(xué)了沒，沒學(xué)的話以后會學(xué)的第三題，n趨于無窮時1/n=0，sin1/n=0 不知樓主覺得我的解法對不對呀

limn/n +1=lim1/n/1+1/n =lim1/n/1+lim(1+n =0/1=0 lim√n +4/n=lim√1+4/n =√1+lim4/n =√1+4lim1/n =1 limsin1/n=lim=lim1/n*lim/1/n=0*1=0 第四篇：函數(shù)極限的證明

函數(shù)極限的證明一時函數(shù)的極限： 以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義和.幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗證例2驗證例3驗證證…… 二時函數(shù)的極限： 由考慮時的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由= 為使需有為使需有于是,倘限制,就有 例7驗證例8驗證類似有(三單側(cè)極限: 1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有 =§2函數(shù)極限的性質(zhì)3學(xué)時

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性等。

教學(xué)重點：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。教學(xué)難點：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。教學(xué)方法：講練結(jié)合。一、組織教學(xué)：

我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：

一函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保號性: 4.單調(diào)性不等式性質(zhì): th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設(shè)=現(xiàn)證對有

註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性: 6.四則運算性質(zhì):只證“+”和“”

二利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限： 注意前四個極限中極限就是函數(shù)值

這些極限可作為公使用，即刻完成寫稿任務(wù)。下載全文：

重要極限證明 e篇五

兩個重要的極限

1．證明：lim

sinxx

x?0

?1

證明：如圖（a）作單位圓。當(dāng)0

12x?

?2

時，顯然有δoad面積

xsinx

?

1cosx

tgx，sinx

?2

或1?

sinxx

?cosx

?2

?x?0

時也成立。

圖（a）

故（1）式對一切滿足不等式0?|x|?的x都成立。

sinxx

?1。

由limcosx=1及函數(shù)極限的迫斂性定理立刻可得lim

x?0

x?0

函數(shù)f(x)=

sinxx的圖象如圖（b）所示。

2．證明：lim(1?)n存在。

n??

n

證明：先建立一個不等式，設(shè)b>a>0，于是對任一自然數(shù)n有

b

n?1

圖（b）

n?1

?a

n?1

b?a

?(n?1)b或b

n

n?1

?a

n?1

?(n?1)b(b?a)，整理后得不等式a

n（1）?b[(n?1)a?nb]。

n

令a=1+故有(1?

1n?1)

n?1，b=1+

1n)

1n

n，將它們代入（1）。由于(n?1)a?nb?(n?1)(1?

1n?1)?n(1?

1n)?1，n?1

?(1?

12n，這就是說{(1?)n}為遞增數(shù)列。

n

12n)?

再令a=1，b=1+代入（1）。由于(n?1)a?nb?(n?1)?n(1?

12n)

2n，故有1?(1?

12n)

n，2?(1?

12n1n)

n。

不等式兩端平方后有4?(1?，它對一切自然數(shù)n成立。聯(lián)系數(shù)列的單調(diào)性，由此又推得數(shù)列{(1?)n}

是有界的。于是由單調(diào)有界定理知道極限lim(1?)n是存在的。

n??

n

3．證明：lim(1?)x?e。

x??

x

證明：所求證的極限等價于同時成立下述兩個極限：

x???

lim(1?

1x)?e

x

（1）

x???

lim(1?

1x)?e

x

（2）

現(xiàn)在先應(yīng)用2中數(shù)列極限lim(1?)n?e，證明（1）式成立。

n??

n

設(shè)n≤x

1n?1

?1?

1x

?1?

1n

及(1?

1n?1)

n

1n?1)?(1?

n

1x)?(1?

x

1n)

n?1，（3）

作定義在[1，+?)上的階梯函數(shù)。f(x)?(1?，n≤x

n

由（3）有f(x)

x

x???

n??

11n?1

(1?)?lim

n

n??

n?1

11?

n?)

n?1

?e

x???limg(x)?lim(1?n??1n)n?1?lim(1?n??1n)(1?n1

n)?e，根據(jù)迫斂性定理便得（1）式。

y)?y現(xiàn)在證明（2）式。為此作代換x=-y，則(1?)x?(1?x?(1?1

y?1)?(1?y1

y?1)y?1(1?1

y?1)

因為當(dāng)x→-∞時，有y-1→+∞，故上式右端以e為極限，這就證得lim(1?)x?e。

x???1x

以后還常常用到e的另一種極限形式lim(1?a)a?e a?0

1x（4）1

a?0因為，令a?1x，則x→∞和a→0是等價的，所以，lim(1?)?lim(1?a)a。x??x

重要極限證明 e篇六

兩個重要極限的證明

兩個重要極限的證明

那么，數(shù)列 的極限存在，且。證明：因為，所以對，當(dāng) 時，有，即，對，當(dāng) 時，有，即，又因為，所以當(dāng) 時，有，即有：，即，所以。

準則i′如果函數(shù) 滿足下列條件： 當(dāng) 時，有。當(dāng) 時，有。

那么當(dāng) 時，的極限存在，且等于。如果數(shù)列 滿足：，就稱之為單調(diào)增加數(shù)列;若滿足：，就稱之為單調(diào)減少數(shù)列;同理亦有嚴格單增或單減，以上通稱為單減數(shù)列和嚴格單減數(shù)列。

如果，使得：，就稱數(shù)列 為有上界;若，使得：，就稱 有下界。

準則ⅱ′：單調(diào)上升，且有上界的數(shù)列必有極限。準則ⅱ″: 單調(diào)下降，且有下界的數(shù)列必有極限。

注1：由前已知，有界數(shù)列未必有極限，若加單調(diào)性，就有極限。

2：準則ⅱ，ⅱ′，ⅱ″可推廣到函數(shù)情形中去，在此不一一陳述了。

【例1】 【例2】 【例3】 【例4】 二、課堂練習(xí)： 三、布置作業(yè)：

附送：

兩會“富民惠民安民”民生觀心得體會兩會“富民惠民安民”民生觀心得體會

總理報告凸顯“富民惠民安民”民生觀：

3月5日9時，十一屆全國人大一次會議在人民大會堂開幕，國務(wù)院總理溫家寶作政府工作報告。報告強調(diào)要更加注重社會建設(shè)，著力保障和改善民生，安排和部署了今年保障和改善民生的各項工作。報告雖然沒有對保障和改善民生問題做更多的理論闡述，但審視改善民生的總體安排和具體政策措施，人們不難體會到報告凸顯了“富民惠民安民”的民生觀，深化了我們對民生問題的認識，是貫徹科學(xué)發(fā)展觀、自覺走科學(xué)發(fā)展道路的生動體現(xiàn)。富民實現(xiàn)全體人民的富裕幸福，是們建設(shè)社會主義的根本目的。富民是改善民生的首義，是社會主義的本質(zhì)要求。報告提出要調(diào)整國民收入分配格局，深化收入分配制度改革，逐步提高居民收入在國民收入分配中的比重，提高勞動報酬在初次分配中的比重。今年國家將進一步落實支農(nóng)惠農(nóng)政策，加強農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)建設(shè)，促進農(nóng)業(yè)發(fā)展和農(nóng)民增收。必須清醒地看到，我國農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)薄弱、農(nóng)村發(fā)展滯后的局面尚未改變，農(nóng)民持續(xù)增收的難度加大。富民的重點、難點在“富農(nóng)”，沒有廣大農(nóng)民的富裕就不會有全省乃至全國人民的富裕。因此，必須強化強農(nóng)惠農(nóng)政策，不斷加大科

技投入，推進農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)化經(jīng)營，大力發(fā)展鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)，多渠道轉(zhuǎn)移農(nóng)民就業(yè)，推進城鄉(xiāng)一體化進程，促進農(nóng)民持續(xù)增收。建立企業(yè)職工工資正常增長機制和支付保障機制，體現(xiàn)了發(fā)展依靠人民，發(fā)展為了人民，發(fā)展成果由人民共享的思想。從需求結(jié)構(gòu)，也就是投資、消費和出口的比例關(guān)系來看，近年來我國宏觀經(jīng)濟的突出矛盾是，投資、外貿(mào)增長過快，消費增長相對緩慢，而消費需求增長相對較慢，說明有貨幣支付能力的需求相對較少。因此，提高居民收入是當(dāng)前的重要任務(wù)。低收入者往往只有自身的勞動力可以作為獲取財富的來源，提高勞動報酬，將使那些只能憑勞動力賺取收入的低收入者更多地分享到經(jīng)濟發(fā)展的成果。富民是個整體性概念，均等和公平是它的應(yīng)有之義。建立工資正常增長機制和支付保障機制，是深化收入分配制度改革、解決地區(qū)和行業(yè)工資收入差距、保障和改善民生的重要舉措。富民與經(jīng)濟發(fā)展是辯證統(tǒng)一的關(guān)系。發(fā)展是硬道理，解決人民群眾的一切困難和問題，從根本上說靠發(fā)展。只有經(jīng)濟不斷發(fā)展，才能逐步實現(xiàn)全體人民的富裕幸福。同時，通過“富民”讓群眾得其利，又會拉動經(jīng)濟增長，實現(xiàn)經(jīng)濟發(fā)展的良性循環(huán)。經(jīng)濟增長主要靠“三套馬車”拉動，投資、消費、出口，民不富直接導(dǎo)致消費市場低迷，難以拉動經(jīng)濟增長。富民與經(jīng)濟發(fā)展相輔相成，富民既是經(jīng)濟發(fā)展的手段，也是經(jīng)濟發(fā)展的目的。惠民 惠民就是要解決好教育、醫(yī)療、住房、社會保障等與百姓生活息息相關(guān)的問題，是全面應(yīng)對民生升級，實現(xiàn)人的全面發(fā)展之必須。教育是民族振興的基石，教育公平是社會公平的重要基礎(chǔ)。實施惠民政策，繼續(xù)優(yōu)先發(fā)展教育事業(yè)，在全國城鄉(xiāng)普遍實行義務(wù)教育，進一步增加教育投入，加強教師隊伍特別是農(nóng)村教師隊伍建設(shè)，完善和落實教師工資、津補貼制度，提高教育水

平，推進教育公平化，是保障和改善民生的重要內(nèi)容。地區(qū)和群體性的教育差距，根源在于地區(qū)經(jīng)濟和居民收入水平的差距，縮小這種差距離不開黨和政府的惠民政策。實施惠民政策，推進公平化教育工程，是著重解決人民群眾最關(guān)心、最直接、最現(xiàn)實的利益問題的務(wù)實之舉。就業(yè)是民生之本。保障和改善民生的要義是充分就業(yè)。報告提出要堅持實施積極的就業(yè)政策，落實以創(chuàng)業(yè)帶動就業(yè)的方針，加強就業(yè)和創(chuàng)業(yè)培訓(xùn)，鼓勵自謀職業(yè)和自主創(chuàng)業(yè)，支持創(chuàng)辦小型企業(yè)；快建設(shè)城鄉(xiāng)統(tǒng)一規(guī)范的人力資源市場，完善公共就業(yè)服務(wù)體系，促進形成城鄉(xiāng)勞動者平等就業(yè)制度；善就業(yè)援助制度，落實促進殘疾人就業(yè)政策，建立幫助零就業(yè)家庭解決就業(yè)困難的長效機制。報告還提出建立和完善覆蓋城鄉(xiāng)的社會保障體系。以社會保險、社會救助、社會福利為基礎(chǔ)，以基本養(yǎng)老、基本醫(yī)療、最低生活保障制度為重點，以慈善事業(yè)、商業(yè)保險為補充，加快完善社會保障體系，是最大的“惠民”工程。當(dāng)前，要注重解決好特困群眾的生活問題，努力實現(xiàn)“四個全覆蓋”，即城鄉(xiāng)困難群眾最低生活保障全覆蓋，農(nóng)村和城市困難家庭學(xué)生義務(wù)教育免除學(xué)雜費全覆蓋，農(nóng)村新型合作醫(yī)療全覆蓋，城市特困群眾廉租住房應(yīng)保戶全覆蓋，讓困難群眾也能過上舒心的生活。