函數(shù)極限證明題例子(五篇)

每個(gè)人都曾試圖在平淡的學(xué)習(xí)、工作和生活中寫一篇文章。寫作是培養(yǎng)人的觀察、聯(lián)想、想象、思維和記憶的重要手段。范文書寫有哪些要求呢？我們?cè)鯓硬拍軐懞靡黄段哪?？接下?lái)小編就給大家介紹一下優(yōu)秀的范文該怎么寫，我們一起來(lái)看一看吧。

函數(shù)極限證明題例子篇一

1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

(1)lim(3x?1)?8;x?3

(2)lim(5x?2)?12;x?2

x2?4??4;(3)limx??2x?2

1?4x3

(4)lim?2.x??2x?12

1證明(1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3

1證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?3|??時(shí), 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33

1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5

1證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?2|??時(shí), 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25

(3)分析

|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2

x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?2)|??時(shí), 有x??2x?2x?2

(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222

1?4x3111?4x3

?2??, 所以lim證明 因?yàn)?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?)|??時(shí), 有?2.12x?12x?122x??2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

(1)lim1?x3

2x3

sinxx???1;2(2)limx???x?0.證明(1)分析

|x|?1

1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.證明 因?yàn)?? ?0, ?x?(2)分析

sinxx?0?

12?, 當(dāng)|x|?x時(shí), 有1x

1?x32x311?x31???, 所以lim?.x??2x322

1x

??, 即x?

sinxx

|sinx|x

?, 要使

sinx

證明 因?yàn)???0, ?x?

?2, 當(dāng)x?x時(shí), 有

xsinxx

?0??, 只須

?

.?0??, 所以lim

x???

?0.3.當(dāng)x?2時(shí),y?x2?4.問?等于多少, 使當(dāng)|x?2|n

解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨設(shè)|x?2|?1, 即1?x?3.要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0.001, 只要

|x?2|?

0.001

?0.0002, 取??0.0002, 則當(dāng)0?|x?2|??時(shí), 就有|x2?4|?0.001.5

x2?1x?

34.當(dāng)x??時(shí), y?

x2?1x2?3

?1, 問x等于多少, 使當(dāng)|x|>x時(shí), |y?1|n

解 要使?1?

4x2?3

?0.01, 只|x|?

?3?397, x?.0.01

5.證明函數(shù)f(x)?|x| 當(dāng)x?0時(shí)極限為零.x|x|

6.求f(x)?, ?(x)?當(dāng)x?0時(shí)的左﹑右極限, 并說(shuō)明它們?cè)趚?

證明 因?yàn)?/p>

x

limf(x)?lim?lim1?1，x?0?x?0?xx?0?x

limf(x)?lim?lim1?1，x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??

x?0

x?0

所以極限limf(x)存在.x?0

因?yàn)?/p>

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

|x|?x

?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

lim?(x)?lim?(x),??

x?0

x?0

所以極限lim?(x)不存在.x?0

7.證明: 若x???及x???時(shí), 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于a, 則limf(x)?a.x??

證明 因?yàn)閘imf(x)?a, limf(x)?a, 所以??>0，x???

x???

?x1?0, 使當(dāng)x??x1時(shí), 有|f(x)?a|??;?x2?0, 使當(dāng)x?x2時(shí), 有|f(x)?a|??.取x?max{x1, x2}, 則當(dāng)|x|?x時(shí), 有|f(x)?a|?? , 即limf(x)?a.x??

8.根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x?x0 時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.證明 先證明必要性.設(shè)f(x)?a(x?x0), 則??>0, ???0, 使當(dāng)0n

|f(x)?a|n

因此當(dāng)x0??n

|f(x)?a|n

這說(shuō)明f(x)當(dāng)x?x0時(shí)左右極限都存在并且都等于a.再證明充分性.設(shè)f(x0?0)?f(x0?0)?a, 則??>0,??1>0, 使當(dāng)x0??10, 使當(dāng)x0n

取??min{?1, ?2}, 則當(dāng)0n

| f(x)?a|n

即f(x)?a(x?x0).9.試給出x??時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明.解 x??時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理? 如果f(x)當(dāng)x??時(shí)的極限存在? 則存在x?0及m?0? 使當(dāng)|x|?x時(shí)? |f(x)|?m?

證明 設(shè)f(x)?a(x??)? 則對(duì)于? ?1? ?x?0? 當(dāng)|x|?x時(shí)? 有|f(x)?a|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?a?a|?|f(x)?a|?|a|?1?|a|?

這就是說(shuō)存在x?0及m?0? 使當(dāng)|x|?x時(shí)? |f(x)|?m? 其中m?1?|a|?

函數(shù)極限證明題例子篇二

二元函數(shù)極限證明

二元函數(shù)極限證明

設(shè)p=f(x,y),p0=(a,b)，當(dāng)p→p0時(shí)f(x,y)的極限是x,y同時(shí)趨向于a,b時(shí)所得到的稱為二重極限。

此外，我們還要討論x,y先后相繼地趨于a,b時(shí)的極限,稱為二次極限。

我們必須注意有以下幾種情形：’

(1)兩個(gè)二次極限都不存在而二重極限仍有可能存在(2)兩個(gè)二次極限存在而不相等

(3)兩個(gè)二次極限存在且相等，但二重極限仍可能不存在 2 函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在，不妨設(shè)：limf(x)=a(x→x0)根據(jù)定義:對(duì)任意ε>0,存在δ>0,使當(dāng)|x-x0|

而|x-x0|

又因?yàn)棣庞腥我庑?故可取ε=1,則有:|f(x)-a|0,當(dāng)任意x屬于x0的某個(gè)鄰域u(x0;δ)時(shí),有|f(x)| 證畢

3首先，我的方法不正規(guī)，其次，正確不正確有待考察。

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二元函數(shù)極限證明

1，y以y=x^2-x的路徑趨于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路徑趨于0結(jié)果是無(wú)窮大。

2，3可以用類似的方法，貌似同濟(jì)書上是這么說(shuō)的，二元函數(shù)在該點(diǎn)極限存在，是p(x,y)以任何方式趨向于該點(diǎn)。

4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)顯然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在當(dāng)x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0處是波動(dòng)的所以不存在而當(dāng)x->0,y->0時(shí)

由|sin(1/x)|0,y->0時(shí)，f的極限就為0 這個(gè)就是你說(shuō)的，唯一不一樣就是非正常極限是不存在而不是你說(shuō)的正無(wú)窮或負(fù)無(wú)窮或無(wú)窮，我想這個(gè)就可以了 就我這個(gè)我就線了好久了 5

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二元函數(shù)極限證明

(一)時(shí)函數(shù)的極限： 以時(shí)和為例引入.介紹符號(hào):的意義,的直觀意義.定義(和.)幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語(yǔ)言介紹幾何意義.例1驗(yàn)證例2驗(yàn)證例3驗(yàn)證證……(二)時(shí)函數(shù)的極限： 由考慮時(shí)的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.例4驗(yàn)證例5驗(yàn)證例6驗(yàn)證證由= 為使需有為使需有于是,倘限制,就有 例7驗(yàn)證例8驗(yàn)證(類似有(三)單側(cè)極限: 1.定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗(yàn)證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

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二元函數(shù)極限證明

=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí))教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。教學(xué)方法：講練結(jié)合。一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保號(hào)性: 4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)): th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對(duì)有)註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說(shuō)明.5.迫斂性: 6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)

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二元函數(shù)極限證明

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過(guò)以下幾個(gè)極限： (注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值)這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過(guò)有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計(jì)算得所求極限.例1(利用極限和)例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限.例4 例5例6例7 §2二元函數(shù)的極限(一)教學(xué)目的：

掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系．

(二)教學(xué)內(nèi)容：二元函數(shù)的極限的定義；累次極限． 基本要求：

(1)掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，熟悉判別極限存在性的基本方法．

(2)較高要求：掌握重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，能用來(lái)處理極限存在性問題．

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二元函數(shù)極限證明

(三)教學(xué)建議：

(1)要求學(xué)生弄清一元函數(shù)極限與多元函數(shù)極限的聯(lián)系與區(qū)別，教會(huì)他們求多元函數(shù)極

限的方法．

(2)對(duì)較好學(xué)生講清重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，通過(guò)舉例介紹判別極限存在性的較完整的方法．

一二元函數(shù)的極限

先回憶一下一元函數(shù)的極限：limf(x)?a的“???”定義(c31)： x?x0 0設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一空心鄰域u(x0,?1)內(nèi)由定義，如果對(duì) ???0,當(dāng)

x?u(x0,?)，即

|x?x0|??

時(shí)，都

有|f(x)?a|??，???0,???1，則稱x?x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是a.類似的，我們也可以定義二元函數(shù)的極限如下：

設(shè)二元函數(shù)f(x,y)為定義在d?r2上的二元函數(shù)，在點(diǎn)p0(x0,y0)為d的一個(gè)聚點(diǎn)，a是一個(gè)確定的常數(shù)，如果對(duì)???0,???0，使得當(dāng)p(x,y)?u(p0,?)?d時(shí)，0都有|f(p)?a|??，則稱f在d上當(dāng)p?p0時(shí)，以a為極限。記作

p?p0p?dlimf(p)?a

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二元函數(shù)極限證明

也可簡(jiǎn)寫為limf(p)?a或 p?p0(x,y)?(x0,y0)2limf(x,y)?a例1用定義驗(yàn)證 2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7222明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1| ?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1| 限制在（2，1）的鄰域{(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1} |x?3|?6, |x?y?1|?6 取??min{1,?/6}，則有 |x?xy?y|?? 由二元函數(shù)極限定義lim(x,y)?(2,1)(x?xy?y)?7 22 22 ?x?y ,(x,y)?(0,0)?xy22 例2f(x,y)??x?y，?0,(x,y)?(0,0)?

證

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二元函數(shù)極限證明

證明lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?0 x?yx?y 22 22 證|f(x,y)|?|xy 所以 lim(x,y)?(0,0)|?|xy| lim(x,y)?(0,0)|f(x,y)|?lim(x,y)?(0,0)|xy|?0 |f(x,y)|?0 對(duì)于二元函數(shù)的極限的定義，要注意下面一點(diǎn)： p?p0

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二元函數(shù)極限證明

limf(p)?a是指：p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0)，包括沿任何直線，沿任

何曲線趨于p0(x0,y0)時(shí)，f(x,y)必須趨于同一確定的常數(shù)。對(duì)于一元函數(shù)，x僅需沿x軸從x0的左右兩個(gè)方向趨于x0，但是對(duì)于二元函數(shù)，p趨于p0的路線有無(wú)窮多條，只要有兩條路線，p趨于p0時(shí)，函數(shù)f(x,y)的值趨于不同的常數(shù)，二元函數(shù)在p0點(diǎn)極限就不存在。

?1,0?y?x2 例1二元函數(shù)f(x,y)?? ?0,rest 請(qǐng)看圖像（x62），盡管p(x,y)沿任何直線趨于原點(diǎn)時(shí)f(x,y)都趨于零，但也不能說(shuō)該函數(shù)在原點(diǎn)的極限就是零，因?yàn)楫?dāng)p(x,y)沿拋物線y?kx,0?k?1時(shí)，f(x,y)的值趨于１而不趨于零，所以極限不存在。

(考慮沿直線y?kx的方向極限).?x2y ,? 例2設(shè)函數(shù)f(x,y)??x2?y2 ?0,?(x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)求證limf(x,y)?0

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二元函數(shù)極限證明

x?0 y?0 證明因?yàn)閨f(x,y)?0|? x|y|x?y ? x|y|x ?|y| 所以，當(dāng)(x,y)?(0,0)時(shí)，f(x,y)?0。

請(qǐng)看它的圖像，不管p(x,y)沿任何方向趨于原點(diǎn)，f(x,y)的值都趨于零。

通常為證明極限limf(p)不存在,可證明沿某個(gè)方向的極限不存在,或證明沿某兩

p?p0 個(gè)方向的極限不相等,或證明方向極限與方向有關(guān).但應(yīng)注意,沿任何方向的極限存在且相等??全面極限存在.例3 設(shè)函數(shù)

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)?xy ,?22 f(x,y)??x?y

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二元函數(shù)極限證明

?0,? 證明函數(shù)f(x,y)在原點(diǎn)處極限不存在。證明盡管p(x,y)沿ｘ軸和ｙ軸

趨于原點(diǎn)時(shí)(f(x,y)的值都趨于零，但沿直線y?mx趨于原點(diǎn)時(shí) x?mxx?(mx)f(x,y)?? mx 22(1?m)x ? m1?m 沿斜率不同的直線趨于原點(diǎn)時(shí)極限不一樣，請(qǐng)看它的圖象,例１沿任何路線趨于原點(diǎn)時(shí)，極

限都是0，但例２沿不同的路線趨于原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)趨于不同的值，所以其極限不存在。

例4 非正常極限極限 lim(x,y)?(x0,y0)

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二元函數(shù)極限證明

判別函數(shù)f(x,y)? xy?1?1x?y 在原點(diǎn)是否存在極限.f(x,y)???的定義: 12x?3y 例1設(shè)函數(shù)f(x,y)?證明limf(x,y)?? x?0y?0 證| 12x?3y |?| 13(x?y)| 只要取?? 16m |x?0|??,|y?0|??時(shí)，都有 | 12x?3y16? 22 |?| 13(x?y)

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二元函數(shù)極限證明

| ??m 12x?3y 請(qǐng)看它的圖象，因此是無(wú)窮大量。例2求下列極限:i)lim xyx?y 22;ii)(x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0)lim sinxyy;iii)(x,y)?(0,0)lim xy?1?1xy;iv)(x,y)?(0,0)lim

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二元函數(shù)極限證明

ln(1?x?y)x?y 22.二.累次極限:累次極限

前面講了p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0)時(shí)的極限，我們稱它為二重極限，對(duì)于兩個(gè)自變量x,y依一定次序趨于x0,y0時(shí)f(x,y)的極限，稱為累次極限。對(duì)于二元函數(shù)f(x,y)在p0(x0,y0)的累次極限由兩個(gè)

limlimf(x,y)和limlimf(x,y)y?y0x?x0 x?x0y?y0 例1 f(x,y)? xyx?yx?yx?y 222 ,求在點(diǎn)(0,0)的兩個(gè)累次極限.22 例2f(x,y)?,求在點(diǎn)(0,0)的兩個(gè)累次極限.例3f(x,y)?xs(請(qǐng)你支持：)in

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二元函數(shù)極限證明

1y ?ysin 1x ,求在點(diǎn)(0,0)的兩個(gè)累次極限.二重極限與累次極限的關(guān)系:（１）兩個(gè)累次極限可以相等也可以不相等，所以計(jì)算累次極限

例函數(shù)f(x,y)? x?y?x?y x?y 22 的兩個(gè)累次極限是y?yyx?xx 22 limlim x?y?x?y x?yx?y?x?y x?y y?0x?0 ?lim y?0

15 / 29 時(shí)一定要注意不能隨意改變它們的次序。二元函數(shù)極限證明

?lim(y?1)??1 y?0 ?lim(x?1)?1 x?0 limlim x?0y?0 ?lim x?0（２）兩個(gè)累次極限即使都存在而且相等，也不能保證二重極限存在例f(x,y)? xyx?y xyx?y，兩個(gè)累次極限都存在 limlim y?0x?0 ?0,limlim xyx?y x?0y?0 ?0

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二元函數(shù)極限證明

但二重極限卻不存在，事實(shí)上若點(diǎn)p(x,)沿直線y?kx趨于原點(diǎn)時(shí)，kx f(x,y)? x?(kx)? k1?k 二重極限存在也不能保證累次極限存在二重極限存在時(shí),兩個(gè)累次極限可以不存在.例函數(shù)f(x,y)?xsin 1y?ysin 1x 由|f(x,y)|?|x|?|y|?0,(x,y)?(0,0).可見二重極限存在,但 1x limsin x?0 和limsin y?0 1y 不存在，從而兩個(gè)累次極限不存在。（4）二重極限極限lim

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二元函數(shù)極限證明

(x,y)?(x0,y0)f(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存 x?x0y?y0 在,則必相等.(證)（5）累次極限與二重極限的關(guān)系

若累次極限和二重極限都存在，則它們必相等 二元函數(shù)極限的研究 作者：鄭露遙指導(dǎo)教師：楊翠

摘要函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容，二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，本文討論了二元函數(shù)極限的定義、二元函數(shù)極限存在或不存在的判定方法、求二元函數(shù)極限的方法、簡(jiǎn)單討論二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限的關(guān)系以及二元函數(shù)極限復(fù)雜的原因、最后討論二重極限與累次極限的關(guān)系。

關(guān)鍵詞二元函數(shù)極限、累次極限、二重極限、連續(xù)性、判別法、洛必達(dá)法則、運(yùn)算定理

1引言

函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容,關(guān)于一元函數(shù)的極限及其求法,各種教材中都有詳盡的說(shuō)明。二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的,兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。例如,在極運(yùn)算法則上,它們是一致的,但隨著變量個(gè)數(shù)的增加,二元函數(shù)極限比一元函數(shù)

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二元函數(shù)極限證明

極限變得復(fù)雜得多,但目前的各類教材、教學(xué)參考書中有關(guān)二元函數(shù)極限的求法介紹不夠詳二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的一個(gè)基本概念,它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個(gè)定值時(shí),函數(shù)值的變化趨勢(shì)。是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的問題。但是,一般來(lái)說(shuō),二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限,無(wú)論從計(jì)算還是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問題作如下探討求一元函數(shù)的極限問題,主要困難多數(shù)集中于求未定型極限問題,而所有未定型的極限又總可轉(zhuǎn)化為兩類基本型即00與∞∞型,解決這兩類基本未定型的有力工具是洛泌達(dá)(lhospital)法則。類似地,二元函數(shù)基本未定型的極限問題也有相似的洛泌達(dá)法則。為了敘述上的方便,對(duì)它的特殊情形(即(x0,y0)=(0,0))作出如下研究,并得到相應(yīng)的法則與定理。二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的一個(gè)基本概念,它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個(gè)定值時(shí),函數(shù)

值的變化趨勢(shì)。是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的問題。但是,一 般來(lái)說(shuō),二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限,無(wú)論從計(jì)算還 是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問題作如 下探討。

§2.3二元函數(shù)的極限與連續(xù) 定義

設(shè)二元函數(shù)有意義,若存在19 / 29

二元函數(shù)極限證明

常數(shù)a, 都有

則稱a是函數(shù)當(dāng)點(diǎn)趨于點(diǎn) 或 或

趨于點(diǎn)時(shí)的極限,記作。的方式無(wú)關(guān),即不,當(dāng)（即）時(shí)，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)或 必須注意這個(gè)極限值與點(diǎn) 論p以什么方

向和路徑（也可是跳躍式地，忽上忽下地）趨向

分接近,就能使。只要p與充與a接近到預(yù)先任意指定的程度。注意：點(diǎn)p趨于點(diǎn)點(diǎn)方式可有無(wú)窮多

種,比一元函數(shù)僅有左,右兩個(gè)單側(cè)極限要復(fù)雜的多（圖8-7）。圖8-7 同樣我們可用歸結(jié)原則,若發(fā)現(xiàn)點(diǎn)p按兩個(gè)特殊的路徑趨于點(diǎn)時(shí), 極限 在該點(diǎn)

存在,但不相等,則可以判定元函數(shù)極限不存在的重要方法之一。極限不存在。這是判斷多

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二元函數(shù)極限證明

一元函數(shù)極限中除了單調(diào)有界定理外,其余的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論,在二元函數(shù)極

限理論中都適用，在這里就不一一贅述了。例如若 有 ,其中。

求多元函數(shù)的極限,一般都是轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限來(lái)求,或利用夾逼定理

來(lái)計(jì)算。例4求。解由于 , 而,根據(jù)夾逼定理知 ,所以。a≠0)。解 例 求（。例6求。解

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二元函數(shù)極限證明

由于理知

且,所以根據(jù)夾逼定.例7 研究函數(shù) 在點(diǎn)

處極限是否存在。解當(dāng)x2 +y2≠0時(shí)，我們研究函數(shù)，沿x→0,y=kx→0這一方式趨于（0，0）的極限，有值，可得到不同的極限值,所以極限 不存在,但,。很顯然，對(duì)于不同的k。

注意：極限方式的 的區(qū)別,前面兩個(gè)求

本質(zhì)是兩次求一元函數(shù)的極限,我們稱為累次極限,而最后一個(gè)是求二元函數(shù)的極限,我們稱為求二重極限。例8 設(shè)函數(shù)極限都不存在,因 為對(duì)任何

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二元函數(shù)極限證明,當(dāng) 時(shí) ,。它關(guān)于原點(diǎn)的兩個(gè)累次 的第二項(xiàng)不存在極限；同理對(duì)任何 時(shí),的第一項(xiàng)也不存在極限, 但是因此。

由例7知,兩次累次極限存在,但二重極限不存在。由例8可知,二重極限存

在,但二個(gè)累次極限不存在。我們有下面的結(jié)果:定理1若累次極限

都存在,則

三者相等（證明略）。推論 若但不相等, 則二重極限 不 存在 和二重極 限

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二元函數(shù)極限證明, 由于 , 存在。定義設(shè)

在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有意義, 且稱 函 數(shù) ,則 在 點(diǎn) 處 連 續(xù) , 記

上式稱為函數(shù)(值)的全增量。則。

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二元函數(shù)極限證明

定義 增量。

為函數(shù)(值)對(duì)x的偏 二元函數(shù)連續(xù)的定義可寫為 偏增量。若 斷點(diǎn),若 在點(diǎn)

為函數(shù)（值）對(duì)y的 處不連續(xù), 則稱點(diǎn) 是 的間 在某區(qū)域

在區(qū)域g上連續(xù)。若 在閉區(qū)域g g上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱的每一內(nèi)點(diǎn)都連續(xù),并在g的連界點(diǎn) 處成立 , 則稱

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二元函數(shù)極限證明

為連續(xù)曲面。

在閉域g上連續(xù)。閉域上連續(xù)的二元函數(shù)的圖形稱

關(guān)于一元函數(shù)連續(xù)的有關(guān)性質(zhì),如最值定理、介值定理、cantor 定理,對(duì)于

二元函數(shù)也相應(yīng)成立?？梢宰C明如下的重要結(jié)果：定理2設(shè) 在平面有界閉區(qū)域g上連續(xù),則

（1）必在g上取到最大值,最小值及其中間的一切值;（2）,當(dāng) 時(shí),都有

。以上關(guān)于二元函數(shù)的 在g上一致連續(xù),即

極限和連續(xù)的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論在n元函數(shù)中仍然成立。函數(shù)極限的證明(一)時(shí)函數(shù)的極限： 以時(shí)和為例引入.介紹符號(hào):的意義,的直觀意義.定義(和.)幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語(yǔ)言介紹幾何意義.26 / 29

二元函數(shù)極限證明

例1驗(yàn)證例2驗(yàn)證例3驗(yàn)證證……(二)時(shí)函數(shù)的極限： 由考慮時(shí)的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.例4驗(yàn)證例5驗(yàn)證例6驗(yàn)證證由= 為使需有為使需有于是,倘限制,就有 例7驗(yàn)證例8驗(yàn)證(類似有(三)單側(cè)極限: 1.定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗(yàn)證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有 =§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí))教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

27 / 29 等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。二元函數(shù)極限證明

教學(xué)方法：講練結(jié)合。一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保號(hào)性: 4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)): th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對(duì)有)註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說(shuō)明.5.迫斂性: 6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過(guò)以下幾個(gè)極限： (注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值)這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過(guò)有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計(jì)算得所求極限.28 / 29

二元函數(shù)極限證明

例1(利用極限和)例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限.例4 例5例6例7 函數(shù)極限證明 函數(shù)極限的性質(zhì)證明 函數(shù)極限的定義證明 利用函數(shù)極限定義證明11 用定義證明函數(shù)極限方法總結(jié)29 / 29

函數(shù)極限證明題例子篇三

函數(shù)極限的性質(zhì)證明x1=2,xn+1=2+1/xn,證明xn的極限存在，并求該極限 求極限我會(huì)

|xn+1-a|

|x2-a|

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。②證明{x(n)}有上界。x(1)=1

x(k+1)=√[2+3x(k)]1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x/(t^x)](分子分母分別求導(dǎo))=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0 所以，對(duì)于數(shù)列n*a^n，其極限為0 4 用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞

(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞

(3)lim[根號(hào)(n+1)-根號(hào)(n)]=0 n→∞

(4)lim0.999…9=1 n→∞ n個(gè)9 5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個(gè)忙。。lim就省略不打了。。

函數(shù)極限證明題例子篇四

習(xí)題

1.按定義證明下列極限:

(1)limx???6x?5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x?2x

x2?5?1;(4)lim?(3)lim2x???x?1x?2

(5)limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據(jù)定義2敘述limf (x)≠ a.x?x0

3.設(shè)limf (x)= a.,證明limf(x0+h)= a.x?x0h?0

4.證明:若limf (x)= a,則lim| f(x)| = |a|.當(dāng)且僅當(dāng)a為何值時(shí)反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數(shù)在x0→0 時(shí)的極限或左、右極限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

?2x;x?0.?(3)f(x)=?0;x?0.?1?x2,x?0.?

7.設(shè) limf(x)= a,證明limf(x???x?x01)= a x

8.證明:對(duì)黎曼函數(shù)r(x)有l(wèi)imr (x)= 0 , x0∈[0,1](當(dāng)x0=0或1時(shí),考慮單側(cè)極限).x?x0

習(xí)題

1． 求下列極限：

x2?1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3)lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5)limm(n,m 為正整數(shù))；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70；

a2?x?a?3x?6??8x?5?.（a>0）;(8)lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限：(1)lim

x???

x?cosxxsinx

;(2)lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設(shè) limf(x)=a, limg(x)=b.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=a±b;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=ab;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)a

=(當(dāng)b≠0時(shí))g(x)b

4． 設(shè)

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設(shè)f(x)>0, limf(x)=a.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=a，其中n≥2為正整數(shù).6.證明limax=1(0n

x?0

7.設(shè)limf(x)=a, limg(x)=b.x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x)

（2）證明：若a>b,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x)> g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數(shù)）：(1)lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3)lim;(4)lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5)lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問是否成立limf(x)=limf(x2)?

x?0

x?0

x?0

習(xí)題

1.敘述函數(shù)極限limf(x)的歸結(jié)原則,并應(yīng)用它證明limcos x不存在.n???

n???

2.設(shè)f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數(shù).證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在n???

[a,+?)上有上(下)界.3.(1)敘述極限limf (x)的柯西準(zhǔn)則;

n???

(2)根據(jù)柯西準(zhǔn)則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應(yīng)用它證明limsin x不存在.n???

n???

4.設(shè)f在∪0(x0)內(nèi)有定義.證明:若對(duì)任何數(shù)列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.提示: 參見定理3.11充分性的證明.5設(shè)f為∪0(x0)上的遞減函數(shù).證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff(x)

6.設(shè) d(x)為狄利克雷函數(shù),x0∈r證明limd(x)不存在.x?x0

7.證明:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習(xí)題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x?0x?0sinx2x

(3)lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

x???x?axx?a

;(4)lim

x?0

tanx

;x

?cosx2

(9)lim;(10)lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1)lim(1?);(2)lim?1?ax?x(a為給定實(shí)數(shù));

n??x?0x

x

(3)lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4)lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5)lim（x???

3x?22x?1?);(6)lim(1?)?x(?,?為給定實(shí)數(shù))

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結(jié)原則計(jì)算下列極限: (1)limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習(xí)題

1． 證明下列各式

(1)2x－x2=o(x)(x→0);(2)x sinx?o(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數(shù))(5)2x3 + x2=o(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 應(yīng)用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1)lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數(shù)所表示曲線的漸近線：

13x3?4

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→0時(shí)為同階無(wú)窮小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→∞時(shí)為同階無(wú)窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若s為無(wú)上界數(shù)集，則存在一遞增數(shù)列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時(shí)的無(wú)窮大量，而函數(shù)g在某u0(r)上滿足g(x)≥k>0，則fg為x→r

時(shí)的無(wú)窮大量。

9． 設(shè) f(x)~g(x)(x→x0)，證明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

總 練習(xí)題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1)lim;(2)??

x?3

x?1

(3)lim（x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4)lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6)lim

?x??x?x??x

x?0

(7)lim?

n??m,m,n 為正整數(shù) ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿足下述條件的常數(shù)a與b：

?x2?1?

(1)lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3)limx

(2)lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數(shù)f：

(1)limf(x)?f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 試給出函數(shù)f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點(diǎn)x0處有l(wèi)imf(x)?0。這同極限的x?x0

局部保號(hào)性有矛盾嗎？

5． 設(shè)limf(x)?a，limg(u)?b，在何種條件下能由此推出

x?a

g?a

limg(f(x))?b?

x?a

6． 設(shè)f(x)=x cos x。試作數(shù)列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數(shù)列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無(wú)窮大數(shù)列：

(1)liman?r?1

n??

(2)lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結(jié)論求極限：

(1)lim?1?

?n??

?1??1??(2)lim?1??

n??n??n?

9． 設(shè)liman???，證明

n??

(1)lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結(jié)果求極限：

(1)limn!(2)lim

n??

in(n!)

n??n

11.設(shè)f為u-0(x0)內(nèi)的遞增函數(shù)。證明：若存在數(shù)列{xn}?u-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?a，則有

n??

f(x0－0)=

supf(x)?a

0x?u?(x0)

12.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?a。證明：f(x)?a，x∈(0,+∞)

x???

13.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)此上滿足方程f (x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設(shè)函數(shù)f定義在(a,+∞)上，f在每一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)(a,b)有界，并滿足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?a證明

x???

lim

f(x)

?a x

函數(shù)極限證明題例子篇五

函數(shù)極限的性質(zhì)證明

x1=2,xn+1=2+1/xn,證明xn的極限存在，并求該極限

求極限我會(huì)

|xn+1-a|

以此類推，改變數(shù)列下標(biāo)可得|xn-a|

|xn-1-a|

……

|x2-a|

向上迭代，可以得到|xn+1-a|

2只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。

用數(shù)學(xué)歸納法：

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1

設(shè)x(k)

x(k+1)=√

3當(dāng)0

當(dāng)0

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導(dǎo))

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對(duì)于數(shù)列n*a^n，其極限為0

用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個(gè)9

5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個(gè)忙。。lim就省略不打了。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實(shí)質(zhì)就是計(jì)算題，只不過(guò)題目把答案告訴你了，你把過(guò)程寫出來(lái)就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無(wú)窮帶進(jìn)去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達(dá)法則(不知樓主學(xué)了沒，沒學(xué)的話以后會(huì)學(xué)的)

第三題，n趨于無(wú)窮時(shí)1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對(duì)不對(duì)呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0