每個(gè)人都曾試圖在平淡的學(xué)習(xí)、工作和生活中寫一篇文章。寫作是培養(yǎng)人的觀察、聯(lián)想、想象、思維和記憶的重要手段。寫范文的時(shí)候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？這里我整理了一些優(yōu)秀的范文，希望對大家有所幫助，下面我們就來了解一下吧。
證明函數(shù)連續(xù)且可導(dǎo)篇一
函數(shù)連續(xù)性
有關(guān)知識：
（1）連續(xù)與間斷的概念及間斷點(diǎn)分類．
（2）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用（中間值存在性證明及方程根存在性證明）．（3）f(x)在x0處連續(xù)?f(x)在x0處既左連續(xù)又右連續(xù)．
例1：設(shè)f(x)在(0,1)內(nèi)有定義，且函數(shù)exf(x),e?f(x)在(0,1)內(nèi)都是單增函數(shù)，證明f(x)在(0,1)內(nèi)連續(xù)．
分析：欲證f(x)在?x0?(0,1)處連續(xù)，需證左，右都連續(xù) 證明：對?x0?(0,1)，由題設(shè)知當(dāng)x?(x0,1)時(shí)，有
e所以 ex0?xx0f(x0)?exf(x),，e?f(x0)?e?f(x)
f(x0)?f(x)?f(x0)
x?x0?f(x)?f(x0)，即f(x)在x0處右連續(xù) 令x?x0，由夾逼定理得lim?類似地，可證f(x)在x0處左連續(xù)，于是得結(jié)論．
例２：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且對?x?[a,b]，存在y?[a,b]，使得|f(y)|?證明：至少存在一點(diǎn)??[a,b]，使得f(?)?0． 分析：初一看無處下手，此時(shí)可試一試反證法。
證明：若對x?[a,b]，f(x)?0，則f(x)在[a,b]上恒正或恒負(fù)，不妨設(shè)f(x)?0,?x?[a,b]，則?x0?[a,b]，使得 f(x0)?minf(x)?m?0
x?[a,b]1|f(x)|，2對此x0，存在y，使得 f(y)?|f(y)|?從而得出矛盾．故結(jié)論成立．
1m|f(x0)|? 22例３設(shè)f是定義在一個(gè)圓周上的連續(xù)函數(shù)，證明存在一條直徑，使得f在直經(jīng)的兩端取相同值． 分析：首先要將問題用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，設(shè)圓周的圓心為o，取圓周上一點(diǎn)a，b為圓周上任一點(diǎn)，記?aob??,??[0,2?]，則該問題用數(shù)學(xué)語言表達(dá)為：
已知f(?)在[0,2?]上連續(xù)，且f(0)?f(2?)，求證存在?0?[0,?]，使得f(?0)?f(?0??)． 此問題的證明不困難：
pageof 3 令f(?)?f(?)?f(???)，則f(0)f(?)?0，從而由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知 ??0?[0,?]，使得
f(?0)?0，即可得結(jié)論．
或 令f(?)?f(?)?f(???)，則f(0)?f(?)?0，從而由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知
??0?[0,?]，使得
f(?0)?f(0)?f(?)?0，即可得結(jié)論．
2或 可用反證法證明，請同學(xué)們完成。
由閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)推得的兩個(gè)結(jié)論是可以直接用的：
（1）設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，若f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值分別為m和m，則f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)閇m,m]。
（2）設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則對任意的x1,x2,???,xn?[a,b]，存在??[a,b]，使得1nf(?)??f(xi)。
ni?1練習(xí)題
x2n?1?ax2?bxb?_______1．設(shè)f(x)?lim 為連續(xù)函數(shù)，則a?_______,．
n??x2n?1(答案:０，１)11?２．求f(x)?x1?x的間斷點(diǎn)，并確定其類型．
11?x?1xex?bx?1為可去間斷點(diǎn)，３．設(shè)f(x)?，且已知x?e為無窮間斷點(diǎn)，則b?_______．
(x?a)(x?b)(答案:ｅ)
４．設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)至多只有第一類間斷點(diǎn)，且對?x,y?(a,b)，有
f(x?yf(x)?f(y))? 22 證明：f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)．
（任取 x0?(a,b)，由題設(shè)有f(x?x0f(x)?f(x0)?)?，令x?x0，可得 22pageof 3
f(x0?0)?f(x0)，令x?x0，可得f(x0?0)?f(x0)；
又f(x0)?f(?x0?h?x0?hf(x0?h)?f(x0?h)?)?，令h?0，可得
22f(x0?0)?f(x0?0)?2f(x0)，所以有 f(x0?0)?f(x0?0)?f(x0)）
５．設(shè)f(x)在(??,??)內(nèi)連續(xù)，且limf(x)???，f(x)的最小值f(a)?a，求證f(f(x))x???至少在兩個(gè)不同的點(diǎn)處取得它的最小值．
（易見 f(f(x))的最小值為f(a)，故只需證存在x1?x2，使得f(x1)?f(x2)?a）６．設(shè)f(x)在(??,??)內(nèi)連續(xù)，且f(f(x))?x，求證存在一點(diǎn)?，使得f(?)??．（用反證法證明）
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證明函數(shù)連續(xù)且可導(dǎo)篇二
····· ········密············································訂·········線·································裝·····系·····封················· ··················__ __：_ ：___： ___________名______________業(yè)_姓_____ _號_____ _：：___級_ ____別年專______學(xué)
· ·····密·········· ·············································卷···線·································閱·······封········································
函數(shù) 極限 連續(xù)試題
1.
設(shè)f(x)?
求
(1)f(x)的定義域;(2)12?f[f(x)]?2
;(3)lim
f(x)x?0x
.2.試證明函數(shù)f(x)?x3e?x2
為r上的有界函數(shù).3.求lim1n??nln[(1?1n)(1?2
n)
(1?nn)].4.設(shè)在平面區(qū)域d上函數(shù)f(x,y)對于變量x連續(xù)，對于變量y 的一階偏導(dǎo)數(shù)有界，試證：f(x,y)在d上連續(xù).（共12頁）第1頁
5.求lim(
2x?3x?4x1
x?03)x.1(1?x)x
6.求lim[
x?0e]x.7.設(shè)f(x)在[?1,1]上連續(xù)，恒不為0，求x?0
8.求lim(n!)n2
n??
.9.設(shè)x??
ax?b)?2,試確定常數(shù)a和b的值.（共12頁）第2頁
10.設(shè)函數(shù)f(x)=limx2n?1?ax?b
n??1?x
2n連續(xù)，求常數(shù)a,b的值.11.若limsin6x?xf(x)6?f(xx?0x3?0，求lim)
x?0x2
.12.設(shè)lim
ax?sinx
x?0?c(c?0),求常數(shù)a,b,c的值.?xln(1?t3)btdt
13.判斷題：當(dāng)x?0時(shí)，?x
1?cost2
0t
是關(guān)于x的4階無窮小量.114.設(shè)a為常數(shù)，且lim(
ex
??x?0
2?a?arctan1
x)存在，求a的值，?1
（共12頁）第3頁
215.設(shè)lim[
ln(1?ex)x?0
1?a?[x]]存在，且a?n?，求a的值，(1?ex)
16.
求n(a?0).?n
17.
求limn?????2(a?0,b?0).?
ln(1?
f(x)
18.設(shè)lim)
x?0
3x?1
=5，求limf(x)x?0x2.19.設(shè)f(x)為三次多項(xiàng)式，且xlim
f(x)f(x)f?2ax?2a?xlim?4ax?4a?1，求xlim(x)
?3ax?3a的值.（共12頁）第4頁
24.設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)在[1,??)上是正的，單調(diào)遞減的，且
dn??f(k)??f(x)dx，試證明：數(shù)列?dn?收斂.n
n
20.設(shè)x?1,求lim(1?x)(1?x2)(1?x4n
n??)
(1?x2).21.試證明：(1)?（?1n111?1+n)?1?
?
?
為遞減數(shù)列；(2)n?1?ln(1?n)?n,n?1,2,3,.limnn
22.求n??3nn!
.23.已知數(shù)列：a1
11?2，a2?2?2，a3?2?，2?2
a4?2?
12?
1的極限存在，求此極限.2?2
（共12頁）第5頁
k?1
25.設(shè)數(shù)列?xn?，x0?a，x1?b，求limn??
xn.26.求lima2n
n??1?a2n
.28.
求limx???
.x1
n?2
(xn?1?xn?2)(n?2)，（共12頁）第6頁
29.設(shè)函數(shù)f(x)是周期為t(t?0)的連續(xù)函數(shù)，且f(x)?0,試證：
xlim1x???x?0f(t)dt?1t?t0f(t)dt.30.求lim?1
1n??0
(1?x)n
n
31.設(shè)lim(
1?x)?x
???tetx??x
??dt，求?的值.32.判斷函數(shù)f(x)?limxn?1
n??xn?1的連續(xù)性.33.
判斷函數(shù)f(x.（共12頁）第7頁
34.設(shè)f(x)為二次連續(xù)可微函數(shù)，f(0)=0，定義函數(shù)
?g(x)??
f?(0)當(dāng)x?0?，試證：g(x)?f(x)
?x當(dāng)x?0連續(xù)可微.35.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)?f(b)，對x?(a,b)，g(x)?lim
f(x?t)?f(x?t)
t?0
t
存在，試證：存在c?(a,b),使g(c)?0.36.若f(x)為[a,b]上定義的連續(xù)函數(shù)，如果?b
a[f(x)]2dx?0，試證：
f(x)?0(a?x?b).37.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且lim
f(2x)?f(x)
x?0
x
?a，試證：f?(0)=a.（共12頁）第8頁
38.設(shè)f(x)在[a,b]上二階可導(dǎo)，過點(diǎn)a(a,f(a))與b(b,f(b))的直線與曲線
y?f(x)相交于c(c,f(c))，其中a?c?b.試證：至少存在一點(diǎn)??(a,b)，使得f??(?)=0.39.設(shè)f(x)，g(x)，h(x)在a?x?b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，試證：
f(a)
g(a)
h(a)
至少存在一點(diǎn)??(a,b)，使得f(b)
g(b)h(b)=0,并說明拉格朗日中值 f?(?)g?(?)h?(?)
定理和柯西中值定理是它的特例.40.試證明函數(shù)y?sgnx在x?[?1,1]上不存在原函數(shù).
41.
設(shè)函數(shù)f(x)=nf(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù).（共12頁）第9頁
42.
設(shè)f(x(0?x?
?),求f?(x).43.
設(shè)xn?1?(n?1,2,3,)，0?x1?3，試說明數(shù)列?xn?的極限存在.?x?0
44.求函數(shù)f(x)=??sin1?
x2?1
?x(??2x)的間斷點(diǎn).??2cosx
x?0
45.求曲線??
3???的斜漸近線.（共12頁）第10頁
??1?
46.求數(shù)列?nn?的最小項(xiàng).
??
50.求lim
x.x?0
sin1
x
47.求limtan(tanx)?sin(sinx)
x?0tanx?sinx
.48.設(shè)f(x)在[0,2]上連續(xù)，在（0,2)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且lim
f(x)
x?1(x?1)2
?1，?
f(x)dx?f(2)，試證：存在??(0,2)，使得f??(?)=(1+??1)f?(?).49.試證：若函數(shù)f(x)在點(diǎn)a處連續(xù)，則函數(shù)f+(x)=max?f(x),0?與
f-(x)=min?f(x),0?在點(diǎn)a處都連續(xù).（共12頁）第11頁
12頁）第12頁
（共
