pp教學(xué)t教案(五篇)

作為一位兢兢業(yè)業(yè)的人民教師，常常要寫(xiě)一份優(yōu)秀的教案，教案是保證教學(xué)取得成功、提高教學(xué)質(zhì)量的基本條件。既然教案這么重要，那到底該怎么寫(xiě)一篇優(yōu)質(zhì)的教案呢？那么下面我就給大家講一講教案怎么寫(xiě)才比較好，我們一起來(lái)看一看吧。

pp教學(xué)t教案篇一

一、說(shuō)教材

（一）教材分析

《數(shù)學(xué)歸納法及應(yīng)用舉例》是人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2第二章第一節(jié)的內(nèi)容,在整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中起到承上啟下的作用.承上;前面學(xué)生已經(jīng)通過(guò)數(shù)列一章內(nèi)容和其它相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，初步掌握了由有限多個(gè)特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法。不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要手段。但是，由有限多個(gè)特殊事例得出的結(jié)論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法。因此，在不完全歸納法的基礎(chǔ)上，必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)的論證方法─數(shù)學(xué)歸納法。啟下;數(shù)學(xué)歸納法安排在數(shù)列之后極限之前，是促進(jìn)學(xué)生從有限思維發(fā)展到無(wú)限思維的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。并且，本節(jié)內(nèi)容有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的推理能力和抽象思維能力、為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).（二）教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)教學(xué)大綱的要求以及本教材的地位和作用，結(jié)合高三學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)確定教學(xué)目標(biāo)如下： 1.知識(shí)目標(biāo)

（1）初步了解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實(shí)質(zhì)。

（2）理解和掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的兩個(gè)步驟。（3）會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的恒等式。2.能力目標(biāo)

（1）通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)、應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力。

（2）讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，體會(huì)類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想。3.情感目標(biāo)

（1）通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、?shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和不怕困難，勇于探索的精神。（2）讓學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，感受數(shù)學(xué)內(nèi)在美的振憾力，從而使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)。

（三）教學(xué)重難點(diǎn)

根據(jù)教學(xué)大綱要求、本節(jié)課內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平，確定如下教學(xué)重難點(diǎn)：

1.重 點(diǎn)；對(duì)歸納法意義的認(rèn)知和數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生過(guò)程

2.難 點(diǎn)；對(duì)數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解

二、說(shuō)教學(xué)法

對(duì)認(rèn)知主體—學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們已經(jīng)具備了初步探究問(wèn)題的能力，但對(duì)知識(shí)的主動(dòng)遷移能力較弱，為使學(xué)生更好地構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，本課將采用啟發(fā)探究式教學(xué)方法

四、說(shuō)教學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)以問(wèn)題為中心，以探究解決問(wèn)題的方法為主線展開(kāi)。這種安排強(qiáng)調(diào)過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生對(duì)書(shū)本知識(shí)的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。具體過(guò)程安排如下：

（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引發(fā)感性認(rèn)識(shí) 1.情景創(chuàng)設(shè)

情景一：明朝劉元卿編的《應(yīng)諧錄》中有一個(gè)笑話：財(cái)主的兒子學(xué)寫(xiě)字．這則笑話中財(cái)主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結(jié)論，這里財(cái)主兒子用的就是“歸納法”。

情景二：有一位師傅想考考他的兩個(gè)徒弟，看誰(shuí)更聰明一些．他給每人一筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?，看誰(shuí)先給出答案．大徒弟費(fèi)了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個(gè)飽滿的，幾個(gè)干癟的，幾個(gè)熟好的，幾個(gè)沒(méi)熟的，幾個(gè)三仁的，幾個(gè)一仁、兩仁的，總共不過(guò)一把花生．顯然，二徒弟先給出答案，他比大徒弟聰明．

情景三；在數(shù)列{an}中，a1＝1, an?1?an1?ana3，(n∈n*), 先計(jì)算a2，a4的值，再推測(cè)通項(xiàng)an的公式

2.通過(guò)生活中實(shí)際的例子回顧不完全歸納法，讓學(xué)生在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上思考一下兩個(gè)問(wèn)題。

（1）像上述三個(gè)由有限多個(gè)特殊實(shí)例得出的一般結(jié)論一定正確嗎？（2）既然由有限多個(gè)特殊實(shí)例得出的一般結(jié)論不一定正確，那我們是不是必需像情景二中的大徒弟那樣“剝完全部的花生”才能得出結(jié)論呢？

3.教師啟發(fā)學(xué)生觀察、分析以上三個(gè)情景，由這兩個(gè)問(wèn)題的思考過(guò)程即可自然過(guò)渡到本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容—數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生過(guò)程

（二）類(lèi)比數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立數(shù)學(xué)模型

1.多媒體演示多米諾骨牌游戲。

師生共同探討多米諾骨牌全部依次倒下的條件：

（1）第一塊要倒下;（2）當(dāng)前面一塊倒下時(shí)，后面一塊必須倒下;當(dāng)滿足這兩個(gè)條件后，多米諾骨牌全部都倒下。再舉幾個(gè)生活事例;推倒自行車(chē),早操排隊(duì)對(duì)齊等

2.啟發(fā)學(xué)生類(lèi)比多米諾骨牌依順序倒下的原理，探究證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法，概括出數(shù)學(xué)模型。（1）n取第一個(gè)值n0(例如 n0（2）假設(shè) n=k(k?n也成立。

滿足這兩個(gè)條件后，命題對(duì)一切n?n*均成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．

（三）方法嘗試

師生共同用探究出的方法嘗試證明情景三的猜想

*?1)時(shí)命題成立;,k?n0)命題成立，利用它證明n=k+1 時(shí)命題 在證明過(guò)程中應(yīng)充分暴露“猜想——證明”的數(shù)學(xué)思想，明確“假設(shè)n=k時(shí)等式成立，證明n=k+1時(shí)等式成立”的這一證明目標(biāo)，啟發(fā)學(xué)生利用已有假設(shè)來(lái)進(jìn)行推理，使學(xué)生意識(shí)到要證明n=k+1時(shí)等式成立，就必須要用n=k時(shí)等式成立這一假設(shè)。

（四）基礎(chǔ)反饋練習(xí)，鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)

例 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1?3?5???(2n?1)?n2

本例主要由學(xué)生完成，教師適時(shí)作必要引導(dǎo)。這樣處理有利于培養(yǎng)學(xué)生用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

教師主要引導(dǎo)學(xué)生參與討論的內(nèi)容是： 1 當(dāng)n?k?1時(shí)，證明的目標(biāo)是什么？

2 要證明n?k?1時(shí)等式成立，要用到哪一個(gè)條件？ 例2.首項(xiàng)是a1，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是a該例完全由學(xué)生自主完成(五）小結(jié)（師生共同完成）

小結(jié)主要以問(wèn)題串的形式展開(kāi)，內(nèi)容包括

1本節(jié)課的中心內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法，這是一種科學(xué)的證明方法；利用它可以證明一些關(guān)于正整數(shù)n的命題。

2用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩步驟缺一不可

3證明n=k+1命題成立時(shí)，首先要明確證明的目標(biāo)，并且一定要利用假設(shè)。

4 本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類(lèi)比思想、1?a1qn?1 分類(lèi)思想、歸納思想。

（六）布置作業(yè)

本課作業(yè)分為a組題和b組題，a組題為必做題，b組題為能力提升題，這樣的安排可以照顧到不同發(fā)展水平的學(xué)生，切實(shí)落實(shí)因材施教的教學(xué)原則。

pp教學(xué)t教案篇二

六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)比的應(yīng)用教案

教學(xué)內(nèi)容：

課本第49頁(yè)例2，教學(xué)目標(biāo)：

1、理解按一定比來(lái)分配一個(gè)數(shù)的意義。

2、掌握按比例分配應(yīng)用題的特征和解題方法。 重難點(diǎn)、關(guān)鍵： 重難點(diǎn)：

1、理解按一定比來(lái)分配一個(gè)數(shù)量的意義。

2、根據(jù)題中所給的比，掌握各部分量占總數(shù)量的幾分之幾，能熟練地用乘法求各部分量。 關(guān)鍵：運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)準(zhǔn)備： 課件

教學(xué)過(guò)程：

一、導(dǎo)入新課：

王叔叔和李叔叔合開(kāi)一個(gè)雜貨店，王叔叔投資了3萬(wàn)元，李叔叔投資了4萬(wàn)元，店一開(kāi)張，生意特別好，年底凈賺了14萬(wàn)元，年底分紅時(shí)，他們各分得了7萬(wàn)元。你覺(jué)得這樣平分合理嗎？ 在日常生活、工作和生產(chǎn)常會(huì)遇到不是平均分的問(wèn)題，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)生活中常用的一種分配方法，按比例分配。（板書(shū)：按比例分配）

二、探索新知

1、出示例題：

某種清潔劑濃縮液和水按1：4的比可以配制成稀釋液，如果配制500ml的稀釋液，其中濃縮液和水各有多少毫升？（1）學(xué)生認(rèn)真讀題，弄清題意。

（2）說(shuō)一說(shuō)1：4表示什么？從中你可以得到哪些信息？ 學(xué)生回答，教師板書(shū)：

①水的體積是濃縮液的4倍；

②濃縮液的體積是水的四分之一 ； ③水的體積占稀釋液的五分之四 ； ④濃縮液的體積占稀釋液的五分之一。

（3）解決問(wèn)題需要哪些信息？你想怎樣解答？

小組討論，交流一下你的想法，有不同的方法都可以寫(xiě)下來(lái)。師巡視輔導(dǎo) 先畫(huà)線段圖：（板書(shū)）學(xué)生可能的解答方法是： 方法一：每份是：500÷（1+4）=100(ml)

濃縮液：100×1=100(ml)

水：100×4=400(ml)

追問(wèn)：（引導(dǎo)提問(wèn)：稀釋液是幾份的數(shù)？“5”是怎樣得出的？）為什么要“÷（1＋4）”？

方法二：稀釋液的份數(shù)：1+4=5

濃縮液：500×

1 =100（ml）

5水：500×

4 =400(ml)5答：略。

2、練習(xí)：六一班和六二班訂《少年科學(xué)》的人數(shù)比是3：4，兩個(gè)班共訂49份。兩個(gè)班各訂了多少份？

3、小結(jié)解按比例分配應(yīng)用題的方法：先求總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾，最后

用總量乘各部分占總量的幾分之幾，求出各部分量。

pp教學(xué)t教案篇三

《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案

教學(xué)目標(biāo)：

1．認(rèn)知目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。2．能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨(dú)立實(shí)踐的能力。

3．情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。

教學(xué)重點(diǎn)：

了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。

教學(xué)難點(diǎn)：

數(shù)學(xué)歸納法原理的了解及遞推思想在解題中的體現(xiàn)。

教學(xué)過(guò)程：

一．創(chuàng)設(shè)情境，回顧引入

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》（板書(shū)）。首先給大家講一個(gè)故事：從前有一個(gè)員外的兒子學(xué)寫(xiě)字，當(dāng)老師教他寫(xiě)數(shù)字的時(shí)候，告訴他一、二、三的寫(xiě)法時(shí)，員外兒子很高興，告訴老師他會(huì)寫(xiě)數(shù)字了。過(guò)了不久，員外要寫(xiě)請(qǐng)?zhí)缯?qǐng)親朋好友到家里做客，員外兒子自告奮勇地要寫(xiě)請(qǐng)?zhí)?。結(jié)果早晨開(kāi)始寫(xiě)，一直到了晚間也沒(méi)有寫(xiě)完，請(qǐng)問(wèn)同學(xué)們，這是為什么呢？

生：因?yàn)橛行铡叭f(wàn)”的。

師：對(duì)！有姓“萬(wàn)”的。員外兒子萬(wàn)萬(wàn)也沒(méi)有想到“萬(wàn)”不是一萬(wàn)橫，而是這么寫(xiě)的“萬(wàn)”。通過(guò)這個(gè)故事，你對(duì)員外兒子有何評(píng)價(jià)呢？

生：（學(xué)生的評(píng)價(jià)主要會(huì)有兩種，一是員外兒子愚蠢，二是員外兒子還是聰明的。）

師：其實(shí)員外兒子觀察、歸納、猜想的能力還是很不錯(cuò)的，但遺憾的是他猜錯(cuò)了！在數(shù)學(xué) 上，我們很多時(shí)候是通過(guò)觀察→歸納→猜想，這種思維過(guò)程去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論，它是一種創(chuàng)造性的思維過(guò)程。那么，我們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，有沒(méi)有也像員外兒子那樣猜想過(guò)某些結(jié)論呢？

生：有。例如等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。

師：很好。我們是由等差數(shù)列前幾項(xiàng)滿足的規(guī)律：a1?a1?0d，a2?a1?d，a3?a1?2d，a4?a1?3d，??歸納出了它的通項(xiàng)公式的。其實(shí)我們推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法和員外兒子猜想數(shù)字寫(xiě)法的方法都是歸納法。那么你能說(shuō)說(shuō)什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn)嗎？

生：由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。特點(diǎn)：特殊→一般。師：對(duì)。（投影展示有關(guān)定義）

像這種由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。根據(jù)推理過(guò)程中考察的對(duì)象是涉及事物的一部分還是全部，分為不完全歸納法和完全歸納法。

完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法。那么，用完全歸納法得出的結(jié)論可靠嗎？

生：（齊答）可靠。

師：用不完全歸納法得出的結(jié)論是不是也是可靠的呢？為什么？

生：不可靠。這是因?yàn)橹豢疾炝瞬糠智闆r，結(jié)論不一定具有普遍性。

師：是不可靠的。不妨再舉一例an??n?1??n?2??n?3???n?1000?容易驗(yàn)證a1?0，a2?0，a3?0，?，a1000?0，如果由此作出結(jié)論——對(duì)于任何n?n*，an??n?1??n?2??n?3??

1 ?n?1000??0都成立，那就是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，a1001?1000!?0。

二．設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)探究

師：請(qǐng)問(wèn)同學(xué)們你們玩過(guò)多米諾骨牌嗎？ 生：（沒(méi)）玩過(guò)。（課堂氣氛由剛才的沉思變得開(kāi)始活躍）師：無(wú)論玩沒(méi)玩過(guò)，下面我們一起來(lái)玩一下。（投影儀上進(jìn)行生動(dòng)、形象的骨牌演示）在觀看骨牌玩法時(shí)，請(qǐng)思考：滿足什么條件，骨牌可以全部倒下？

生：假設(shè)第kk?n*張骨牌倒下，保證第k?1張骨牌倒下。

師：這樣就保證了可以遞推下去，骨牌就可以全部倒下了，是嗎？

生：不是。我們不知道第k張骨牌是否倒下了，從而我們是假設(shè)第k張骨牌倒下。若第k張骨牌倒下，需要第k?1張骨牌倒下；若第k?1張骨牌倒下，需要第k?2張骨牌倒下，??，最后遞歸到需要第1張骨牌倒下，所以，還要有一個(gè)條件：第一張骨牌倒下。

師：大家說(shuō)有了這兩個(gè)條件，骨牌是不是可以順次的倒下呢？ 生：是。

師：上面同學(xué)說(shuō)得很好，要使骨牌全部倒下應(yīng)滿足兩個(gè)條件（投影顯示）第一個(gè)條件是：第一張骨牌倒下；第二個(gè)條件是：假設(shè)第k張骨牌倒下，第k?1張骨牌一定倒下。

現(xiàn)在你能不能利用這種思想（遞推思想）來(lái)證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式呢？是不是應(yīng)該建立一種遞推順序呢？

生：n?1時(shí)結(jié)論正確?n?2時(shí)結(jié)論正確?n?3時(shí)，結(jié)論正確，???n?k時(shí)結(jié)論正確?n?k?1時(shí)結(jié)論正確??

師：由于這個(gè)過(guò)程推理方法是一樣的，能否把這個(gè)過(guò)程一般化呢？ 生：假設(shè)n?k時(shí)結(jié)論正確?n?k?1時(shí)結(jié)論也正確。

師：這樣就保證了遞推。下面你能證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式了嗎？ 三．解決問(wèn)題，引出概念（學(xué)生共答，教師板書(shū)）

證明：（1）當(dāng)n?1時(shí)，左邊?a，右邊?a1?0?d?a1，等式是成立的。

（2）假設(shè)當(dāng)n?k時(shí)等式成立，就是ak?a1?(k?1)d，下面看看是否能推出n?k?1時(shí)等式也成立，那么ak?1等于什么？

生：ak?1?a1??(k?1)?1?d。

師：哦！看來(lái)n?k?1時(shí)等式也成立，這樣做對(duì)嗎？ 生：（齊答）不對(duì)。

師：注意在證n?k?1時(shí)，一定要用到歸納假設(shè)，n?k時(shí)等式成立這一步，因?yàn)檫@樣才能保證遞推，那么ak?1與ak有什么關(guān)系呢？（學(xué)生齊答，教師繼續(xù)板書(shū)）??ak?1?ak?d??a1?(k?1)d??d?a1??(k?1)?1?d。這就是說(shuō)，當(dāng)n?k?1時(shí)，等式也成立，大家說(shuō)有了這兩步，是不是就證明了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性了呢？

生：n?1時(shí)等式成立?n?2時(shí)等式成立?n?3時(shí)等式成立???所以n取任何正整數(shù)等式都成立。

2 師：這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，那么你能談?wù)勈裁词菙?shù)學(xué)歸納法，及其用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟是怎樣的呢？

生：（在學(xué)生交流，教師引導(dǎo)完善下）數(shù)學(xué)歸納法（證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟）是：（投影跟蹤給出）。

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（例如n0?1或2等）時(shí)結(jié)論正確；

（2）假設(shè)當(dāng)n?k（k?n*，且k?n0）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n?k?1時(shí)結(jié)論也正確。根據(jù)（1）和（2），可知命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確。所以數(shù)學(xué)歸納法是證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法。概括起來(lái)就是“兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論?！?/p>

師：用數(shù)學(xué)歸納法證題，實(shí)質(zhì)是一種什么思想？ 生：遞推思想。

師：在遞推中，兩個(gè)步驟各起到了怎樣的作用呢？

生：第一步是奠基，是遞推的基礎(chǔ)，第二步是保證能夠遞推，是遞推的依據(jù)。（此時(shí)投影上注明）

師：這兩步可以缺少哪一步嗎？ 生：（學(xué)生舉例說(shuō)明，教師點(diǎn)評(píng)，投影上也舉出實(shí)例，從而明確）兩步缺一不可。

師：我們已經(jīng)知道，由不完全歸納法得到的結(jié)論不可靠，因而必須作證明。若命題是與正整數(shù)有關(guān)的，證明可考慮用數(shù)學(xué)歸納法。下面請(qǐng)同學(xué)們看一道例題。

例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1?3?5????2n?1??n2（師生共同證題，總結(jié)出用數(shù)學(xué)歸納法證題的技巧是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。）

練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1．1?2?3???n?1n?n?1?。22．1?2?22???2n?1?2n?1。

3．首項(xiàng)是a1，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an?a1qn?1。

四．歸納小結(jié)，深化主題

師：本節(jié)的中心內(nèi)容是什么？為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法？什么是數(shù)學(xué)歸納法？體現(xiàn)什么思想？

生：（學(xué)生積極回答，從而自主地構(gòu)建本節(jié)課的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。）（投影展示）小結(jié)：

?不完全歸納法1．歸納法?

完全歸納法?特點(diǎn)：特殊→一般

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法概念及證題步驟。3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法實(shí)質(zhì)是遞推思想。五．布置作業(yè)： p76 1，2

3 《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案說(shuō)明

一、數(shù)學(xué)歸納法的地位與作用

1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法在教材中的地位與作用

數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)命題的一種重要的證明方法，它起源于正整數(shù)的歸納公理或最小數(shù)原理，而演變成各種形式?！稊?shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》是人教版高中數(shù)學(xué)新教材第三冊(cè)第二章“極限”中第一部分的知識(shí)。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，可對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論，如等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、二項(xiàng)式定理以及中小學(xué)很多思維上開(kāi)拓創(chuàng)新的題目可以進(jìn)行很好地證明，使很多數(shù)學(xué)結(jié)論更加嚴(yán)密，也為后繼學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法對(duì)思維發(fā)展的地位與作用

人類(lèi)對(duì)問(wèn)題的研究，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)認(rèn)同，思維流程通常是觀察→歸納→猜想→證明。猜想的結(jié)論對(duì)不對(duì)，證明是尤為關(guān)鍵的。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題時(shí)，有助于學(xué)生對(duì)等式的恒等變形，不等式的放縮，數(shù)、式、形的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化等知識(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練與掌握。對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，蘊(yùn)含著遞 歸與遞推，歸納與推理，特殊到一般，有限到無(wú)限等數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)思維的發(fā)展起到了完善與推動(dòng)的作用。

二、數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)與教學(xué)目標(biāo)定位

數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)了遞推的思想，數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)就是利用遞推思想去證題的一種方法。一堂精彩的課不僅僅是傳授給學(xué)生知識(shí)，更重要的是對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)和情感的熏陶。根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)及布魯納的教學(xué)目標(biāo)，特設(shè)置一條明線：如何驗(yàn)證等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性；一條暗線：如何驗(yàn)證由不完全歸納法得到的與正整數(shù)有關(guān)命題的真假。將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為三重目標(biāo)：①認(rèn)知目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法與技巧；②能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨(dú)立實(shí)踐的能力；③情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。

三、學(xué)法、教法特點(diǎn)及預(yù)期效果

1．學(xué)法指導(dǎo)

高中學(xué)生具有一定的邏輯思維和推理演算能力，并且對(duì)事物的認(rèn)識(shí)逐步的由感性上升到理性，個(gè)體的發(fā)展由外顯轉(zhuǎn)化為內(nèi)隱，這些都是我們學(xué)好本節(jié)的有利因素。但不足的是，學(xué)生考慮問(wèn)題的全面性及課堂氣氛的活躍性還不夠好。為此，根據(jù)教育學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾關(guān)于學(xué)科和認(rèn)知結(jié)構(gòu)組織的假設(shè)及其“先行組織者”技術(shù)與美國(guó)心理學(xué)家布魯納倡導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)法教育理論，在學(xué)法方面我采用“導(dǎo)—思—點(diǎn)撥—練”的學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生自主參與知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中對(duì)學(xué)生進(jìn)行以下學(xué)法指導(dǎo)。

（1）溫故知新法

引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，從而引出歸納法的概念，其又分為完全歸納法和不完全歸納法，如何驗(yàn)證等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性呢？進(jìn)而引出數(shù)學(xué)歸納法。

（2）體驗(yàn)感悟法

讓學(xué)生認(rèn)真觀看多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)，從而感悟數(shù)學(xué)歸納法原理。（3）質(zhì)疑法

引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)質(zhì)疑，解決問(wèn)題，得到方法。（4）練習(xí)法

通過(guò)類(lèi)比，練習(xí)用數(shù)學(xué)歸納法證題，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法原理。2．教學(xué)特點(diǎn)

4 本節(jié)課在教法上貫徹如下兩個(gè)原則：

一是建構(gòu)主義原則。學(xué)生是教學(xué)的主體，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一種再創(chuàng)造過(guò)程，他們通過(guò)吸收與融合原知識(shí)的過(guò)程來(lái)建立理解的層次結(jié)構(gòu)。皮亞杰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)說(shuō)：“所有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)再構(gòu)建，構(gòu)成復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，不斷發(fā)展?！睌?shù)學(xué)知識(shí)不能從一個(gè)人遷移到另一個(gè)人，一個(gè)人的數(shù)學(xué)知識(shí)必須基于個(gè)人對(duì)經(jīng)驗(yàn)的歸納、交流，通過(guò)反思來(lái)主動(dòng)建構(gòu)，這就是建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀。為此教學(xué)設(shè)計(jì)是通過(guò)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明及多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)的進(jìn)行建構(gòu)。

二是寓教于樂(lè)原則。實(shí)踐證明，學(xué)生在積極愉快的情形下，學(xué)習(xí)效率會(huì)大幅提高；在寬松的情形下，能夠最大限度地激發(fā)其聰明才智和創(chuàng)造性。結(jié)合本節(jié)課特點(diǎn)，將知識(shí)性與趣味性相結(jié)合，以吸引學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，自覺(jué)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以調(diào)動(dòng)學(xué)生的“心理場(chǎng)”。比如，通過(guò)講員外兒子學(xué)寫(xiě)數(shù)字，引進(jìn)了歸納法的概念，同時(shí)學(xué)生也體會(huì)到通過(guò)觀察、歸納、猜想一些結(jié)論，是很好的一個(gè)思維流程，但其結(jié)果不可靠。通過(guò)多米諾骨牌玩法的演示，詮釋了遞推思想。

3．預(yù)期效果

通過(guò)學(xué)法指導(dǎo)，教法特點(diǎn)實(shí)現(xiàn)三重目標(biāo)。

四、教學(xué)診斷與評(píng)價(jià)

1．教學(xué)診斷

證明數(shù)學(xué)歸納法的第一步是容易實(shí)現(xiàn)的，第二步是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，在驗(yàn)證n?k?1命題的正確性時(shí)，極易脫離歸納假設(shè)，為此應(yīng)重申遞推思想，總結(jié)出證題技巧“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。

2．教學(xué)評(píng)價(jià)

整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)重點(diǎn)突出，層次分明，環(huán)環(huán)緊扣，溫故知新。抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，教師處處啟發(fā)學(xué)生自己主動(dòng)去獲取知識(shí)，使教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用得以充分發(fā)揮，體現(xiàn)了素質(zhì)教育的指導(dǎo)思想。生活事例貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程，使數(shù)學(xué)知識(shí)人文化，使抽象的問(wèn)題具體化，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性。使學(xué)生學(xué)有所得，學(xué)有所用，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)的思維態(tài)度。

pp教學(xué)t教案篇四

《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案

云南省曲靖市第一中學(xué)

李德安

教學(xué)目標(biāo)：

1．認(rèn)知目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。2．能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨(dú)立實(shí)踐的能力。

3．情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。

教學(xué)重點(diǎn)：

了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。

教學(xué)難點(diǎn)：

數(shù)學(xué)歸納法原理的了解及遞推思想在解題中的體現(xiàn)。

教學(xué)過(guò)程：

一．創(chuàng)設(shè)情境，回顧引入

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》（板書(shū)）。首先給大家講一個(gè)故事：從前有一個(gè)員外的兒子學(xué)寫(xiě)字，當(dāng)老師教他寫(xiě)數(shù)字的時(shí)候，告訴他一、二、三的寫(xiě)法時(shí)，員外兒子很高興，告訴老師他會(huì)寫(xiě)數(shù)字了。過(guò)了不久，員外要寫(xiě)請(qǐng)?zhí)缯?qǐng)親朋好友到家里做客，員外兒子自告奮勇地要寫(xiě)請(qǐng)?zhí)＝Y(jié)果早晨開(kāi)始寫(xiě)，一直到了晚間也沒(méi)有寫(xiě)完，請(qǐng)問(wèn)同學(xué)們，這是為什么呢？

生：因?yàn)橛行铡叭f(wàn)”的。

師：對(duì)！有姓“萬(wàn)”的。員外兒子萬(wàn)萬(wàn)也沒(méi)有想到“萬(wàn)”不是一萬(wàn)橫，而是這么寫(xiě)的“萬(wàn)”。通過(guò)這個(gè)故事，你對(duì)員外兒子有何評(píng)價(jià)呢？

生：（學(xué)生的評(píng)價(jià)主要會(huì)有兩種，一是員外兒子愚蠢，二是員外兒子還是聰明的。）

師：其實(shí)員外兒子觀察、歸納、猜想的能力還是很不錯(cuò)的，但遺憾的是他猜錯(cuò)了！在數(shù)學(xué) 上，我們很多時(shí)候是通過(guò)觀察→歸納→猜想，這種思維過(guò)程去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論，它是一種創(chuàng)造性的思維過(guò)程。那么，我們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，有沒(méi)有也像員外兒子那樣猜想過(guò)某些結(jié)論呢？

生：有。例如等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。

師：很好。我們是由等差數(shù)列前幾項(xiàng)滿足的規(guī)律：a1?a1?0d，a2?a1?d，a3?a1?2d，a4?a1?3d，??歸納出了它的通項(xiàng)公式的。其實(shí)我們推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法和員外兒子猜想數(shù)字寫(xiě)法的方法都是歸納法。那么你能說(shuō)說(shuō)什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn)嗎？

生：由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。特點(diǎn)：特殊→一般。師：對(duì)。（投影展示有關(guān)定義）

像這種由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。根據(jù)推理過(guò)程中考察的對(duì)象是涉及事物的一部分還是全部，分為不完全歸納法和完全歸納法。

完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法。那么，用完全歸納法得出的結(jié)論可靠嗎？

生：（齊答）可靠。

師：用不完全歸納法得出的結(jié)論是不是也是可靠的呢？為什么？

生：不可靠。這是因?yàn)橹豢疾炝瞬糠智闆r，結(jié)論不一定具有普遍性。

1 師：是不可靠的。不妨再舉一例an??n?1??n?2??n?3???n?1000?容易驗(yàn)證a1?0，a2?0，a3?0，?，a1000?0，如果由此作出結(jié)論——對(duì)于任何n?n*，an??n?1??n?2??n?3??

?n?1000??0都成立，那就是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，a1001?1000!?0。

二．設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)探究

師：請(qǐng)問(wèn)同學(xué)們你們玩過(guò)多米諾骨牌嗎？ 生：（沒(méi)）玩過(guò)。（課堂氣氛由剛才的沉思變得開(kāi)始活躍）師：無(wú)論玩沒(méi)玩過(guò)，下面我們一起來(lái)玩一下。（投影儀上進(jìn)行生動(dòng)、形象的骨牌演示）在觀看骨牌玩法時(shí)，請(qǐng)思考：滿足什么條件，骨牌可以全部倒下？

生：假設(shè)第kk?n*張骨牌倒下，保證第k?1張骨牌倒下。

師：這樣就保證了可以遞推下去，骨牌就可以全部倒下了，是嗎？

生：不是。我們不知道第k張骨牌是否倒下了，從而我們是假設(shè)第k張骨牌倒下。若第k張骨牌倒下，需要第k?1張骨牌倒下；若第k?1張骨牌倒下，需要第k?2張骨牌倒下，??，最后遞歸到需要第1張骨牌倒下，所以，還要有一個(gè)條件：第一張骨牌倒下。

師：大家說(shuō)有了這兩個(gè)條件，骨牌是不是可以順次的倒下呢？ 生：是。

師：上面同學(xué)說(shuō)得很好，要使骨牌全部倒下應(yīng)滿足兩個(gè)條件（投影顯示）第一個(gè)條件是：第一張骨牌倒下；第二個(gè)條件是：假設(shè)第k張骨牌倒下，第k?1張骨牌一定倒下。

現(xiàn)在你能不能利用這種思想（遞推思想）來(lái)證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式呢？是不是應(yīng)該建立一種遞推順序呢？

生：n?1時(shí)結(jié)論正確?n?2時(shí)結(jié)論正確?n?3時(shí)，結(jié)論正確，???n?k時(shí)結(jié)論正確?n?k?1時(shí)結(jié)論正確??

師：由于這個(gè)過(guò)程推理方法是一樣的，能否把這個(gè)過(guò)程一般化呢？ 生：假設(shè)n?k時(shí)結(jié)論正確?n?k?1時(shí)結(jié)論也正確。

師：這樣就保證了遞推。下面你能證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式了嗎？ 三．解決問(wèn)題，引出概念（學(xué)生共答，教師板書(shū)）

證明：（1）當(dāng)n?1時(shí)，左邊?a，右邊?a1?0?d?a1，等式是成立的。

（2）假設(shè)當(dāng)n?k時(shí)等式成立，就是ak?a1?(k?1)d，下面看看是否能推出n?k?1時(shí)等式也成立，那么ak?1等于什么？

生：ak?1?a1??(k?1)?1?d。

師：哦！看來(lái)n?k?1時(shí)等式也成立，這樣做對(duì)嗎？ 生：（齊答）不對(duì)。

師：注意在證n?k?1時(shí)，一定要用到歸納假設(shè)，n?k時(shí)等式成立這一步，因?yàn)檫@樣才能保證遞推，那么ak?1與ak有什么關(guān)系呢？（學(xué)生齊答，教師繼續(xù)板書(shū)）??ak?1?ak?d??a1?(k?1)d??d?a1??(k?1)?1?d。這就是說(shuō)，當(dāng)n?k?1時(shí)，等式也成立，2 大家說(shuō)有了這兩步，是不是就證明了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性了呢？

生：n?1時(shí)等式成立?n?2時(shí)等式成立?n?3時(shí)等式成立???所以n取任何正整數(shù)等式都成立。

師：這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，那么你能談?wù)勈裁词菙?shù)學(xué)歸納法，及其用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟是怎樣的呢？

生：（在學(xué)生交流，教師引導(dǎo)完善下）數(shù)學(xué)歸納法（證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟）是：（投影跟蹤給出）。

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（例如n0?1或2等）時(shí)結(jié)論正確；

（2）假設(shè)當(dāng)n?k（k?n*，且k?n0）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n?k?1時(shí)結(jié)論也正確。根據(jù)（1）和（2），可知命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確。所以數(shù)學(xué)歸納法是證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法。概括起來(lái)就是“兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論?！?/p>

師：用數(shù)學(xué)歸納法證題，實(shí)質(zhì)是一種什么思想？ 生：遞推思想。

師：在遞推中，兩個(gè)步驟各起到了怎樣的作用呢？

生：第一步是奠基，是遞推的基礎(chǔ)，第二步是保證能夠遞推，是遞推的依據(jù)。（此時(shí)投影上注明）

師：這兩步可以缺少哪一步嗎？ 生：（學(xué)生舉例說(shuō)明，教師點(diǎn)評(píng)，投影上也舉出實(shí)例，從而明確）兩步缺一不可。

師：我們已經(jīng)知道，由不完全歸納法得到的結(jié)論不可靠，因而必須作證明。若命題是與正整數(shù)有關(guān)的，證明可考慮用數(shù)學(xué)歸納法。下面請(qǐng)同學(xué)們看一道例題。

例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1?3?5????2n?1??n2（師生共同證題，總結(jié)出用數(shù)學(xué)歸納法證題的技巧是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。）

練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1．1?2?3???n?1n?n?1?。22．1?2?22???2n?1?2n?1。

3．首項(xiàng)是a1，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an?a1qn?1。

四．歸納小結(jié)，深化主題

師：本節(jié)的中心內(nèi)容是什么？為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法？什么是數(shù)學(xué)歸納法？體現(xiàn)什么思想？

生：（學(xué)生積極回答，從而自主地構(gòu)建本節(jié)課的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。）（投影展示）小結(jié)：

?不完全歸納法1．歸納法?

?完全歸納法特點(diǎn)：特殊→一般

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法概念及證題步驟。3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法實(shí)質(zhì)是遞推思想。

3 五．布置作業(yè)： p76 1，2

pp教學(xué)t教案篇五

數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用

山東省惠民地區(qū)教研室 王學(xué)賢

作者簡(jiǎn)歷

王學(xué)賢 山東濰坊人，1960年畢業(yè)于淄博師范專(zhuān)科學(xué)校數(shù)學(xué)系，同年留校任教，后在博興一中任數(shù)學(xué)教師．1980年被評(píng)為中學(xué)特級(jí)教師，1988年被評(píng)為中學(xué)高級(jí)教師．現(xiàn)任山東惠民地區(qū)教研室副主任，山東省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì)副理事長(zhǎng)．

教學(xué)目的(1)了解歸納法的意義，培養(yǎng)學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納猜想和發(fā)現(xiàn)的能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的能力．

(2)使學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)自然數(shù)的命題．

教學(xué)過(guò)程

一、引入新課

師：四邊形、五邊形、六邊形分別有多少條對(duì)角線？你是怎樣考慮的？

[提出問(wèn)題，讓學(xué)生在解答的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律．]

生：四邊形、五邊形、六邊形分別有兩條對(duì)角線、5條對(duì)角線和9條對(duì)角線．以六邊形為例，每個(gè)頂點(diǎn)可引3條，六個(gè)頂點(diǎn)可引18條，但因每條對(duì)角線都計(jì)算了兩次，所以六邊形實(shí)際有9條對(duì)角線．

師：n邊形(n≥4)有多少條對(duì)角線？為什么？

[由特例到一般問(wèn)題的提出，符合由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識(shí)過(guò)程．]

師：這一公式適合四邊形、五邊形、六邊形嗎？

[由一般再回到特殊，特例的正確性提高了學(xué)生探索問(wèn)題的積極性，增強(qiáng)了猜想的信心．]

生：適合．

師：觀察等差數(shù)列的前幾項(xiàng)：

a1=a1＋0d，a2=a1＋1d，a3=a1＋2d，a4=a1＋3d，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？試用a

1、n和d表示an．

生：an=a1＋(n－1)d．

師：像這種由一系列特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，叫做歸納法．用歸納法可以幫助我們從特殊事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律．但是，由歸納法得出的一般結(jié)論并不一定可靠．

例如，一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是

an=(n2－5n＋5)2，請(qǐng)算出a1，a2，a3，a4．你能得到什么結(jié)論？

生：由a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，可知an=1．

師：由an=(n2－5n＋5)2計(jì)算a5．

[由a5=25≠1，否定了學(xué)生的猜想．舉出反例是否定命題正確性的簡(jiǎn)單而基本的方法．]

師：由歸納法得到的一般結(jié)論是不一定可靠的．法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬曾由n=0，1，2，3，4得到22n＋1均為質(zhì)數(shù)而推測(cè)：n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，22n＋1都是質(zhì)數(shù)，但這一結(jié)論是錯(cuò)誤的．因?yàn)閿?shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，n=5時(shí)22n＋1是一個(gè)合數(shù)：

225＋1=4294967297=641×6700417．

[數(shù)學(xué)史例使學(xué)生興趣盎然，學(xué)習(xí)積極性大為提高．至此，歸納法作為一種發(fā)現(xiàn)規(guī)律的推理方法的教學(xué)已告結(jié)束．]

師：既然由歸納法得到的結(jié)論不一定可靠，那么，就必須想辦法對(duì)所得到的結(jié)論進(jìn)行證明．對(duì)于由歸納法得出的某些與自然數(shù)有關(guān)的命題p(n)，能否通過(guò)一一驗(yàn)證的辦法來(lái)加以證明呢？

生：不能．因?yàn)檫@類(lèi)命題中所涉及的自然數(shù)有無(wú)限多個(gè)，所以無(wú)法一個(gè)一個(gè)加以驗(yàn)證．

[新問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考：既然對(duì)于p(n0)、p(n0＋1)、p(n0＋2)、?的正確性無(wú)法一一驗(yàn)證，那么如何證明p(n)(n≥n0)的正確性呢？至此，數(shù)學(xué)歸納法的引入水到渠成．]

二、新課

師：我們將采用遞推的辦法解決這個(gè)問(wèn)題．同學(xué)們?cè)陔娨曋锌赡芸吹竭^(guò)“多米諾”骨牌的游戲，由于骨牌之間特殊的排列方法，只要推倒第一塊骨牌，第二塊就會(huì)自己倒下，接著第三塊就會(huì)倒下，第四塊也會(huì)倒下，??如此傳遞下去，所有的骨牌都會(huì)倒下．這種傳遞相推的方法，就是遞推．

從一個(gè)袋子里第一次摸出的是一個(gè)白球．接著，如果我們有這樣的一個(gè)保證：“當(dāng)你這一次摸出的是白球，則下一次摸出的一定也是白球”，能否斷定這個(gè)袋子里裝的全是白球？

生：能斷定．

[為數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟提供具體生動(dòng)的模型，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)．]

師：要研究關(guān)于自然數(shù)的命題p(n)，我們先來(lái)看自然數(shù)有什么性質(zhì)．自然數(shù)數(shù)列本身具有遞推性質(zhì)：第一個(gè)數(shù)是1；如果知道了一個(gè)數(shù)，就可知道下一個(gè)數(shù)．有了這兩條，所有自然數(shù)盡管無(wú)限多，但我們就可全部知道了．類(lèi)似地，我們可采用下面的方法來(lái)證明有關(guān)連續(xù)自然數(shù)的命題p(n)：先驗(yàn)證n取第一個(gè)值n0時(shí)命題正確；再證明如果n=k(k≥n0)時(shí)命題正確，則n=k＋1時(shí)命題正確．只要有了這兩條，就可斷定對(duì)從n0開(kāi)始的所有自然數(shù)．命題正確．這就是數(shù)學(xué)歸納法的基本思想．

[先通俗了解數(shù)學(xué)方法的基本思想，對(duì)深刻理解數(shù)學(xué)方法的實(shí)質(zhì)至關(guān)重要！]

師：用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題p(n)的步驟是：

(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如n0=1或n0=2等)時(shí)結(jié)論成立，即驗(yàn)證p(n0)正確；

(2)假設(shè)n=k(k∈n，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確，證明n=k＋1時(shí)結(jié)論正確．即由p(k)

由(1)和(2)，就可斷定命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有自然數(shù)n都正確．

這兩步實(shí)質(zhì)上是證明p(n)的正確具有遞推性．(1)是遞推的始點(diǎn)；(2)是遞推的依據(jù)．

步驟(1)是一次驗(yàn)證，步驟(2)是以一次邏輯推理代替了無(wú)限次驗(yàn)證過(guò)程．步驟②用的是演繹推理．

由(1)與(2)可知，遞推的過(guò)程是：

正確→?

上述無(wú)窮“鏈條”一環(huán)扣一環(huán)，形象地說(shuō)明了用數(shù)學(xué)歸納法證明p(n)正確性的過(guò)程．

[先明確步驟，然后在運(yùn)用中加深理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)．]

師：用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1＋(n－1)d對(duì)一切n∈n都成立．

(證明由學(xué)生完成，并得出：

師：至此，對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的“觀察——猜想——證明”的研究結(jié)束．觀察特例，歸納一般結(jié)論，用數(shù)學(xué)歸納法證明，這是解答有關(guān)連續(xù)自然數(shù)命題的有效途徑．

下面，我們來(lái)看教材中的例題：證明

1＋3＋5＋?＋(2n－1)=n2．

請(qǐng)同學(xué)們自己完成，然后將自己的證明與教材中的證明對(duì)照，如發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，找出錯(cuò)誤的原因．

師：用數(shù)學(xué)歸納法證明

1＋3＋5＋?＋(2n－1)=n2，如采用下面的證法，對(duì)嗎？

(1)n=1時(shí)，通過(guò)驗(yàn)證，等式成立；

(2)假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即

1＋3＋5＋?＋(2k－1)=k2．

則

1＋3＋5＋?＋(2k－1)+[2(k+1)-1]

這就是說(shuō)，當(dāng)n=k＋1時(shí)等式也成立．由(1)和(2)，可知對(duì)任何n∈n等式都成立．

生甲：證明是對(duì)的．

生乙：證明方法不是數(shù)學(xué)歸納法．因?yàn)榈诙阶C明時(shí)，未用到歸納假設(shè)．

[指出錯(cuò)誤，并分析出錯(cuò)原因，是澄清學(xué)生模糊認(rèn)識(shí)的有效方法．]

師：從形式上看這種證法，用的是數(shù)學(xué)歸納法，實(shí)質(zhì)上不是，因?yàn)樽C明n=k＋1正確時(shí)，未用到歸納假設(shè)，而用的是等差數(shù)列求和公式．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的核心，是在驗(yàn)證n取第一值n0正確的基礎(chǔ)上，由p(k)正確證明p(k＋1)正確．也就是說(shuō)，核心是證明命題的正確具有遞推性．因此，今后用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第二步必須由歸納假設(shè)

歸納假設(shè)，是用數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵．

[教師的概括與強(qiáng)調(diào)，能使學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題的思路進(jìn)一步清晰和明確，不再機(jī)械地套用兩個(gè)步驟，而且能深入理解實(shí)質(zhì)及兩個(gè)步驟之間的內(nèi)在聯(lián)系．]

師：用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟中，僅有第一步驟驗(yàn)證而沒(méi)有第二步驟遞推性的證明是不行的．那么，沒(méi)有第一步行嗎？

[新的問(wèn)題引起學(xué)生新的思索．]

生甲：第一步僅是驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論正確．其實(shí)，這是顯然的，可以省略．

生乙：第一步是第二步遞推的基礎(chǔ)，沒(méi)有第一步是不行的．

師：讓我們舉一個(gè)例子來(lái)看一下：

試問(wèn)等式2＋4＋6＋?＋2n=n2＋n＋1成立嗎？

設(shè)n=k時(shí)成立，即

2＋4＋6＋?＋2k=k2＋k＋1，則 2＋4＋6＋?＋2k＋2(k＋1)

=k2＋k＋1＋2k＋2=(k＋1)2＋(k＋1)＋1．

這就是說(shuō)，n=k＋1時(shí)等式也成立．若僅由這一步就得出等式對(duì)任何n∈n都成立的結(jié)論，那就錯(cuò)了．事實(shí)上，當(dāng)n=1時(shí)，左邊=2，右邊=3，左邊≠右邊．可能有的同學(xué)已經(jīng)看出，該式左邊總是偶數(shù)，而右邊總是奇數(shù)，因此對(duì)任何n∈n，該式都是不成立的．

因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟，缺一不可．第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)．缺了第一步，遞推失去基礎(chǔ)；缺了第二步，遞推失去依據(jù)，因此無(wú)法遞推下去．

三、練習(xí)

四、小結(jié)

師：本節(jié)課主要講了數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用，應(yīng)掌握下列幾個(gè)要點(diǎn)：

(1)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟：

①驗(yàn)證p(n0)成立；

②假設(shè)p(k)成立(k∈n且k≥n0)，推證p(k＋1)成立．

(2)數(shù)學(xué)歸納法的核心，是在驗(yàn)證p(n0)正確的基礎(chǔ)上，證明p(n)的正確具有遞推性(n≥n0)．第一步是遞推的基礎(chǔ)或起點(diǎn)，第二步是遞推的依據(jù)．因此，兩步缺一不可．證明中，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用歸納假設(shè)是關(guān)鍵．

(3)數(shù)學(xué)歸納法適用的范圍是：證明某些與連續(xù)自然數(shù)有關(guān)的命題．

(4)歸納法是一種推理方法，數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法．歸納法幫助我們提出猜想，而數(shù)學(xué)歸納法的作用是證明猜想．

(5)“觀察——猜想——證明”是解答與自然數(shù)有關(guān)命題的有效途徑．

五、布置作業(yè)

略．

自我評(píng)述

(1)現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教材，主要是演繹推理的體系．對(duì)定理和公式，多偏重于證明，很少研究其發(fā)現(xiàn)過(guò)程．本節(jié)課第一次明確介紹歸納法，應(yīng)充分利用教材提供的素材，通過(guò)實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生觀察，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納推理．本節(jié)課利用“觀察———?dú)w納——證明”這一思維方法解答問(wèn)題．對(duì)思路進(jìn)行概括，有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，也有助于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維的能力．

(2)在教學(xué)中，先通過(guò)實(shí)例，形象生動(dòng)地說(shuō)明數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，然后講解數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟，最后揭示兩個(gè)步驟的內(nèi)在聯(lián)系，逐步深入，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)識(shí)由表及里，深化理解．

(3)提出反例，說(shuō)明運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法沒(méi)有第二步不行；再提出反例，說(shuō)明沒(méi)有第一步也不行．由此得到結(jié)論：兩步缺一不可．構(gòu)造反例，是否定命題正確的基本而重要的數(shù)學(xué)方法．

本節(jié)課針對(duì)學(xué)生僅從形式上運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的通病，設(shè)計(jì)出不用歸納假設(shè)進(jìn)行論證的例子讓學(xué)生找出錯(cuò)誤的原因．這有助于學(xué)生從實(shí)質(zhì)上理解數(shù)學(xué)歸納法，進(jìn)而正確加以運(yùn)用．

(4)教學(xué)過(guò)程是不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維過(guò)程．因此，教師應(yīng)及時(shí)提出問(wèn)題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，然后開(kāi)拓學(xué)生思路，啟迪其智慧，求得問(wèn)題的解決．一個(gè)問(wèn)題解決后，及時(shí)地提出新問(wèn)題，提高學(xué)生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質(zhì)，把學(xué)生的思維步步引向深入，直至完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)．總之，本節(jié)課的教學(xué)方法是，讓學(xué)生的思維由問(wèn)題開(kāi)始，到問(wèn)題深化，始終處于積極主動(dòng)狀態(tài)．思維的浪花隨著問(wèn)題的深入起伏跳躍．

本節(jié)課練中有講，講中有練，講與練結(jié)合．在講與練的相互作用下，使學(xué)生的思維逐步深化．教師提出的問(wèn)題和例題，先由學(xué)生自己解答，然后教師分析與概括．在教師講解新課中，又不斷提出問(wèn)題讓學(xué)生解答和練習(xí)，以求在練習(xí)中加深理解，盡量改變課堂上教師包辦代替的做法．