任意角三角函數(shù)定義教學(xué)設(shè)計(5篇)

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任意角三角函數(shù)定義教學(xué)設(shè)計篇一

會寧縣第二中學(xué)數(shù)學(xué)教研組

曹蕊

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎(chǔ)，主要是從通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。

二、學(xué)生情況分析

本課時研究的是任意角的三角函數(shù)，學(xué)生在初中階段曾經(jīng)研究過銳角三角函數(shù)，其研究范圍是銳角；其研究方法是幾何的，沒有坐標(biāo)系的參與；其研究目的是為解直角三角形服務(wù)。以上三點都是與本課時不同的，因此在教學(xué)過程中要發(fā)展學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗，發(fā)揮其正遷移。

三、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo):借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；能根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出具體的角的各三角函數(shù)值；能根據(jù)定義探究出三角函數(shù)值在各個象限的符號。

方法與過程目標(biāo):在定義的學(xué)習(xí)及概念同化和精致的過程中培養(yǎng)學(xué)生類比、分析以及研究問題的能力。

情感態(tài)度與價值觀: 在定義的學(xué)習(xí)過程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

四、教學(xué)重、難點分析：

重點：理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。難點：引導(dǎo)學(xué)生將任意角的三角函數(shù)的定義同化，幫助學(xué)生真正理解定義。

五、教學(xué)方法與策略：

教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，采用學(xué)生自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程.根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容、高一學(xué)生認(rèn)知特點，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的方法組織教學(xué).六、教具、教學(xué)媒體準(zhǔn)備：

為了加強學(xué)生對三角函數(shù)定義的理解，幫助學(xué)生克服在理解定義過程中可能遇到的障礙，本節(jié)課準(zhǔn)備在計算機的支持下，利用幾何畫板動態(tài)地研究任意角與其終邊和單位圓交點坐標(biāo)的關(guān)系，構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學(xué)情境，使學(xué)生能夠更好地數(shù)形結(jié)合地進(jìn)行思維．

七、教學(xué)過程

（一）教學(xué)情景

1．復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義

問題1：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)．如圖1（課件中）在直角△pom中，∠m是直角，那么根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，∠o的正弦、余弦和正切分別是什么？

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生回顧初中銳角三角函數(shù)的定義．

師生活動：教師提出問題，學(xué)生回答． 2．認(rèn)識任意角三角函數(shù)的定義

問題2：在上節(jié)教科書的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)將角的概念推廣到了任意角，現(xiàn)在所說的角可以是任意大小的正角、負(fù)角和零角．那么任意角的三角函數(shù)又該怎樣定義呢？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)．

師生活動：在教學(xué)中，可以根據(jù)學(xué)生的實際情況，利用下列問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：

（1）能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？ 以此來引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)．

（2）在上節(jié)教科書中，將銳角的概念推廣到任意角時，我們是把角放在哪里進(jìn)行研究的？

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)．在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生討論。

（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，如何定義任意角θ的三角函數(shù)呢？

（4）終邊是op的角一定是銳角嗎？如果不是，能利用直角三角形的邊長來定義嗎？如圖3，如果角θ的終邊不在第i象限又該怎么辦？

問題3：大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？ 設(shè)計意圖：為引入單位圓進(jìn)行鋪墊．

師生活動：教師提出問題后，可組織學(xué)生展開討論．在學(xué)生不能正確回答時，可啟發(fā)他們思考下列問題：

我們在定義1弧度的角的時候，利用了一個什么圖形？所用的圓與半徑大小有關(guān)嗎？用半徑多大的圓定義起來更簡單易懂些？

問題4：大家現(xiàn)在能不能給出任意角三角函數(shù)的定義了？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生在借助單位圓定義銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出任意角三角函數(shù)的定義．

師生活動：由學(xué)生給出任意角三角函數(shù)的定義，教師進(jìn)行整理． 例1：（題目在課件中）

設(shè)計意圖：從最簡單的問題入手，通過變式，讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何利用定義求不同情況下函數(shù)值的問題，進(jìn)而加深對定義的理解，加強定義應(yīng)用中與幾何的聯(lián)系，體會數(shù)形結(jié)合的思想．

問題5：你能否給出正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域？ 設(shè)計意圖：通過利用定義求定義域，既完善了三角函數(shù)概念的內(nèi)容，同時又可幫助學(xué)生進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念．

師生活動：學(xué)生求出定義域，教師進(jìn)行整理． 問題6：上述三種函數(shù)的值在各象限的符號會怎樣？

設(shè)計意圖：通過定義的應(yīng)用，讓學(xué)生了解三種函數(shù)值在各象限的符號的變化規(guī)律，并從中進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念，體會數(shù)形結(jié)合的思想．

師生活動：學(xué)生回答，教師整理． 例2：（題目在課件中）

設(shè)計意圖：通過問題的解決，熟悉和記憶函數(shù)值在各象限的符號的變化規(guī)律，并進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念．

師生活動：在完成本題的基礎(chǔ)上，可視情況改變題目的條件或結(jié)論，作變式訓(xùn)練．

問題7：既然我們知道了三角函數(shù)的函數(shù)值是由角的終邊的位置決定的，那么角的終邊每繞原點旋轉(zhuǎn)一周，它的大小將會怎樣變化？它所對應(yīng)的三角函數(shù)值又將怎樣變化？

設(shè)計意圖：引出公式一，突出函數(shù)周期變化的特點，以及數(shù)形結(jié)合的思想． 師生活動：在教師引導(dǎo)下，由學(xué)生討論完成． 例3：（題目在課件中）

設(shè)計意圖：將確定函數(shù)值的符號與求函數(shù)值這兩個問題合在一起，通過應(yīng)用公式一解決問題，讓學(xué)生熟悉和記憶公式一，并進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念．

例

4、例5（題目在課件中）3．練習(xí)（在課件中）

設(shè)計意圖：通過應(yīng)用三角函數(shù)的定義，熟悉和記憶特殊角的三角函數(shù)值、三角函數(shù)值的符號、公式一，以及求三角函數(shù)值，加強對三角函數(shù)概念的理解．

4．小結(jié)

問題8：銳角三角函數(shù)與解直角三角形直接相關(guān)，初中我們是利用直角三角形邊的比值來表示其銳角的三角函數(shù)．通過今天的學(xué)習(xí)，我們知道任意角的三角函數(shù)雖然是銳角三角函數(shù)的推廣，但它與解三角形已經(jīng)沒有什么關(guān)系了．我們是利用單位圓來定義任意角的三角函數(shù)，借助直角坐標(biāo)系中的單位圓，我們建立了角的變化與單位圓上點的變化之間的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而利用單位圓上點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值來表示圓心角的三角函數(shù)．你能再回顧一下我們是如何借助單位圓給出任意角三角函數(shù)的定義嗎？

設(shè)計意圖：回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容．

八、作業(yè)設(shè)計：

教科書p.24習(xí)題1.2a組第6、8題．

設(shè)計意圖：根據(jù)本節(jié)課所涉及到的三角函數(shù)定義應(yīng)用的幾個方面，從教科書中選擇作業(yè)題．試圖通過作業(yè)，讓學(xué)生進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念，并從中評價學(xué)生對三角函數(shù)概念理解的情況．

九、教學(xué)反思：

上述教學(xué)設(shè)計及具體教學(xué)實施過程我認(rèn)為有以下幾點意義：

1.教學(xué)設(shè)計緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，重點放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生的認(rèn)知特點和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象，現(xiàn)象到本質(zhì)，特殊到一般，這樣有利學(xué)生的思考。

2.情景設(shè)計的數(shù)學(xué)模型很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好引入在直角坐標(biāo)系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，同時能夠揭示函數(shù)的本質(zhì)。

3.通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，讓學(xué)生在情境中活動，在活動中體驗數(shù)學(xué)與自然和社會的聯(lián)系、新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，在體驗中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學(xué)習(xí)的策略，使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。這和課程標(biāo)準(zhǔn)的理念是一致的。

任意角三角函數(shù)定義教學(xué)設(shè)計篇二

任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計方案 師大附中

鄧貴業(yè)

課題名稱

任意角的三角函數(shù)

科

目 數(shù)學(xué) 年級 高一

教學(xué)時間

一課時（40分鐘）

學(xué)習(xí)者分析

在初中學(xué)生學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)。因此本課的內(nèi)容對于學(xué)生來說，有比較厚實的基礎(chǔ)，新課的引入會比較容易和順暢。學(xué)生要面對的新的學(xué)習(xí)問題是，角的概念推廣了，原先學(xué)生所熟悉的銳角三角函數(shù)的定義是否也可以推廣到任意角呢？通過這個問題，讓學(xué)生體會到新知識的發(fā)生是可能的，自然的。

教學(xué)目標(biāo)

一、情感態(tài)度與價值觀 1.激發(fā)學(xué)生興趣

2.激發(fā)學(xué)生探求新知欲望

3、數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性

二、過程與方法

1.通過三角函數(shù)的幾何表示，使學(xué)生進(jìn)一步加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解，拓展思維空間。通過學(xué)生積極參與知識的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過程，培養(yǎng)合情猜測的能力，從中感悟數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性。

三、知識與技能

1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；

2、理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；掌握并能初步運用公式一；樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù).

3、通過單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數(shù)值的求法,最終得到任意角三角函數(shù)的定義.根據(jù)角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數(shù)的定義域以及這三種函數(shù)的值在各象限的符號.借助有向線段進(jìn)一步認(rèn)識三角函數(shù).

4、通過任意三角函數(shù)的定義，認(rèn)識銳角三角函數(shù)是任意三角函數(shù)的一種特例，加深特殊與一般關(guān)系的理解。

教學(xué)重點、難點

1.任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）.2.

任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；

教學(xué)資源

多媒體

《《任任意意角的三角函數(shù)的三角函數(shù)》》 教學(xué)過程描述教學(xué)過程描述

教學(xué)活動1 導(dǎo)入新課

一、復(fù)習(xí)引入、回想再認(rèn)

（情景1）我們在初中通過銳角三角形的邊角關(guān)系，學(xué)習(xí)了銳角的正弦、余弦、正切等三個三角函數(shù).請回想：這三個三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？

學(xué)生口述后再投影展示，教師再根據(jù)投影進(jìn)行強調(diào)：

教學(xué)活動2

1.引伸鋪墊、創(chuàng)設(shè)情景

（情景2）我們已經(jīng)把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數(shù)概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨立思考和探索，也可以互相討論！

留時間讓學(xué)生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學(xué)困生作啟發(fā)引導(dǎo).能推廣嗎？怎樣推廣？針對剛才的問題點名讓學(xué)生回答.用角的對邊、臨邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于1.1節(jié)已經(jīng)以直角坐標(biāo)系為工具來研究任意角了，學(xué)生一般會想到（否則教師進(jìn)行提示）繼續(xù)用直角坐標(biāo)系來研究任意角的三角函數(shù).教師對學(xué)生回答情況進(jìn)行點評后布置任務(wù)情景：請同學(xué)們用直角坐標(biāo)系重新研究銳角三角函數(shù)定義！

師生共做（學(xué)生口述，教師板書圖形和比值）：

把銳角α安裝（如何安裝？角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸非負(fù)半軸重合）在直角坐標(biāo)系中，在角α終邊上任取一點p，作pm⊥x軸于m，構(gòu)造一個rtδomp，則∠ mop=α（銳角），設(shè)p（x,y）（x＞0、y＞0），α的臨邊om =x、對邊mp=y，斜邊長|op∣=r.根據(jù)銳角三角函數(shù)定義用x、y、r列出銳角α的正弦、余弦、正切三個比值，并補充對應(yīng)列出三個倒數(shù)比值：

（情景3）思考：對于確定的角，這三個比值是否會隨點在的終邊上的位置的改變而改變呢？ 顯然，我們可以將點取在使線段的長的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)：;;.思考：上述銳角的三角函數(shù)值可以用終邊上一點的坐標(biāo)表示.那么,角的概念推廣以后，我們應(yīng)該如何對初中的三角函數(shù)的定義進(jìn)行修改，以利推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個問題――任意角的三角函數(shù).先讓學(xué)生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：引導(dǎo)學(xué)生觀察圖3，聯(lián)系相似三角形知識，探索發(fā)現(xiàn)：對于銳角α的每一個確定值，三個比值都是 確定的，不會隨p在終邊上的移動而變化.教學(xué)活動3

三、探究新知

1.探究:結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求法,我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢?

顯然,我們只需在角的終邊上找到一個點,使這個點到原點的距離為1,然后就可以類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了.所以,我們在此引入單位圓的定義:在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點為圓心,以單位長度為半徑的圓.2.思考:如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義? 如圖,設(shè)是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點,那么:(1)叫做的正弦(sine),記做,即；

（2）叫做的余弦(coine),記做,即；（3）叫做的正切(tangent),記做,即.注意:當(dāng)α是銳角時，此定義與初中定義相同（指出對邊，鄰邊，斜邊所在）；當(dāng)α不是銳角時，也能夠找出三角函數(shù)，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值.教學(xué)活動4

1.探索定義域

（情景4）

1、函數(shù)概念的三要素是什么？ 函數(shù)三要素：對應(yīng)法則、定義域、值域.正弦函數(shù)sinα的對應(yīng)法則是什么？

正弦函數(shù)sinα的對應(yīng)法則，實質(zhì)上就是sinα的定義：對α的每一個確定的值，有唯一確定的比值y/r與之對應(yīng)，即α→ y/r= sinα.2、布置任務(wù)情景：什么是三角函數(shù)的定義域？請求出三個三角函數(shù)的定義域，填寫下表： 三角函數(shù) sinα cosα tanα

定義域

引導(dǎo)學(xué)生自主探索： 如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的定義域自然是指：使比值有意義的角α的取值范圍.關(guān)于sinα=y/r、cosα=x/r，對于任意角α（弧度數(shù)），r＞0，y/r、x/r恒有意義，定義域都是實數(shù)集r.對于tanα=y/x，α= kπ+π/2 時x=0，y/x無意義，tanα的定義域是：{α|α∈r，且α≠kπ+π/2 }.? ? ?

教師指出: sinα、cosα、tanα的定義域必須緊扣三角函數(shù)定義在理解的基礎(chǔ)上記熟。

教學(xué)活動4

五、符號判斷、形象識記

（情景5）能判斷三角函數(shù)值的正、負(fù)嗎？試試看！

引導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住三角函數(shù)定義來分析，r＞0,三角函數(shù)值的符號決定于x、y值的正負(fù)，根據(jù)終邊所在位置總結(jié)出形象的識記口訣：

sinα= y/r：上正下負(fù)橫為0

cosα=x/r：左負(fù)右正縱為0

tanα=y/x：交叉正負(fù)

教學(xué)活動六

練習(xí)鞏固、理解記憶

自學(xué) 例1：求的正弦、余弦和正切值。角α的終邊經(jīng)過點p（－3，-4），求α的正弦，余弦及正切值.教學(xué)活動七 課堂練習(xí)： p17題

1、2、3 處理：要求取點用定義求解，針對計算過程提問、點評，理解鞏固定義.強調(diào)：終邊在坐標(biāo)軸上的角叫軸線角，如0、π/2、π、3π/2 等，今后經(jīng)常用到軸線角的三角函數(shù)值，要結(jié)合三角函數(shù)定義記熟這些值.教學(xué)活動八

回顧小結(jié)、建構(gòu)網(wǎng)絡(luò)

要求全體學(xué)生根據(jù)教師所提問題進(jìn)行總結(jié)識記，提問檢查并強調(diào)：

1．你是怎樣把銳角三角函數(shù)定義推廣到任意角的？或者說任意角三角函數(shù)具體是怎樣定義的？（建立直角坐標(biāo)系，使角的頂點與坐標(biāo)原點重合，---，在終邊上任意取定一點p，---）2．你如何判斷和記憶正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域？（根據(jù)定義，------）

3．你如何記憶正弦、余弦、正切函數(shù)值的符號？（根據(jù)定義，想象坐標(biāo)位置，-----）

任意角三角函數(shù)定義教學(xué)設(shè)計篇三

“任意角三角函數(shù)定義”的教學(xué)認(rèn)識與設(shè)計

浙江金華第一中學(xué) 孔小明

本文首先對三角函數(shù)定義的教學(xué)進(jìn)行從整體到局部的分析，并在此基礎(chǔ)上給出定義教學(xué)的主干問題設(shè)計.1．整體把握，使教學(xué)線索清晰，層次分明

三角函數(shù)是以函數(shù)為主線，刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.高中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)是在初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過用旋轉(zhuǎn)的觀點將角的概念推廣到任意角，并使角與實數(shù)建立一一對應(yīng)關(guān)系，然后結(jié)合坐標(biāo)系和單位圓重新定義任意角的三角函數(shù).因此，三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念，同時又是銳角三角函數(shù)的上位概念，教學(xué)要以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以坐標(biāo)系和單位圓為定義工具，以初中銳角三角函數(shù)概念為認(rèn)知的起點，促進(jìn)任意角三角函數(shù)定義的有效生成.教科書在完成任意角三角函數(shù)定義基礎(chǔ)上衍生出：(1)三角函數(shù)值在各個象限的符號；(2)單位圓中的三角函數(shù)線；(3)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；(4)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式；(5)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等.可見，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學(xué)中可謂重中之重,是整個三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵作用.本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)是理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)定義過渡到任意角三角函數(shù)定義的推廣過程,體驗三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程,領(lǐng)悟直角坐標(biāo)系和單位圓的功能,豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗.由于三角函數(shù)的定義內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，同時，用單位圓上點的坐標(biāo)表示的任意角三角函數(shù)定義,與學(xué)生初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)定義有一定的距離,一個側(cè)重幾何的邊與邊的比值表示,一個側(cè)重代數(shù)的坐標(biāo)（比值）表示.與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)定義也有距離,一般函數(shù)是實數(shù)到實數(shù)的對應(yīng),而三角函數(shù)首先是實數(shù)（弧度數(shù)）到點的坐標(biāo)的對應(yīng),然后才是實數(shù)（弧度數(shù)）到實數(shù)（橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)）的對應(yīng).學(xué)生理解該定義很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高.促進(jìn)學(xué)生理解定義的關(guān)鍵是讓學(xué)生經(jīng)歷定義的形成過程,增強學(xué)習(xí)活動的體驗,在教師的引導(dǎo)下獨立思考、自主探究,完成定義的意義建構(gòu).教材中任意角三角函數(shù)定義的得出經(jīng)歷了以下四個循序漸進(jìn)、不斷深化的過程：（1）回憶用直角三角形邊長的比產(chǎn)生的銳角三角函數(shù)的定義；（2）把銳角α放在直角坐標(biāo)系中，用角的終邊上點的坐標(biāo)表示銳角α的三角函數(shù)；（3）由相似三角形的知識可知，三角函數(shù)值只與α的大小有關(guān)，與點在終邊上的位置無關(guān)，因此可用單位圓上點的坐標(biāo)表示銳角α的三角函數(shù)；（4）類比得出用單位圓定義任意角三角函數(shù)，并將它納入到一般函數(shù)概念的范疇.教科書這樣設(shè)計改變了以往純學(xué)術(shù)形態(tài)的形式,一定程度上具有了教育形態(tài)的特征,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程,反映了數(shù)學(xué)的“來龍去脈”,通過有效的鋪墊,使之符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,使從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)過渡自然,有利于學(xué)生步步加深對三角函數(shù)定義本質(zhì)的理解.因此,筆者認(rèn)為,教學(xué)設(shè)計時無須“另起爐灶”,只要在此基礎(chǔ)上,依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點,進(jìn)行教學(xué)法的深加工即可.2．抓住關(guān)鍵，使教學(xué)精煉、簡約而高效

由于教科書自身特點的限制,教科書還不能成為教師教學(xué)用的教學(xué)設(shè)計,根據(jù)教材的內(nèi)容、要求以及編寫意圖,教師還需要一個再加工、再創(chuàng)造的過程.具體的,就是將教材中得出任意角三角函數(shù)定義經(jīng)歷的四個環(huán)節(jié)進(jìn)一步教學(xué)化,使之符合學(xué)生的認(rèn)知特點和規(guī)律,包括內(nèi)容研究的必要性，坐標(biāo)系、單位圓引入的自然性，以及用單位圓定義的可行性、合理性等.把它變成適合學(xué)生認(rèn)知特點的具體的教育形態(tài),使學(xué)生感受“數(shù)學(xué)是自然的、清楚的、水到渠成的”.當(dāng)前,高中數(shù)學(xué)課標(biāo)課程比大綱課程的內(nèi)容有所增加，初中數(shù)學(xué)對高中數(shù)學(xué)支持減弱，新課程賦予數(shù)學(xué)教學(xué)更多的價值取向，要讓課堂的所有環(huán)節(jié)都讓學(xué)生有深度思考、自主探究并展示結(jié)果是不現(xiàn)實也是沒必要的.事實上，學(xué)生在校以學(xué)習(xí)間接經(jīng)驗為主,學(xué)生的學(xué)習(xí)主要是“接受——建構(gòu)”式的,因此,對教學(xué)起關(guān)鍵作用的內(nèi)容，要留足時間讓學(xué)生充分思考、交流與展示,其它內(nèi)容教師可多講授與引導(dǎo)，發(fā)揮先行組織者作用,使教與學(xué)達(dá)到平衡，讓教學(xué)效益達(dá)到最大化.在引導(dǎo)學(xué)生回憶初中銳角三角函數(shù)定義之前,先解決“學(xué)習(xí)的必要性”問題,明確要研究的內(nèi)容.教材將“三角函數(shù)”作為重要的基本初等函數(shù),是周期現(xiàn)象的基本模型,教師可借助本章的章頭語,完成課題的引入.由于初中的銳角三角函數(shù)定義不能推廣到任意角的情形，從而引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望.用什么定義、怎樣定義、這樣定義是否合理等,成為繼續(xù)研究的自然問題.之前,在任意角內(nèi)容的學(xué)習(xí)中,學(xué)生已經(jīng)有了在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的經(jīng)驗，但教學(xué)實踐表明,學(xué)生仍不能自然想到引入坐標(biāo)系工具,利用坐標(biāo)來定義任意角三角函數(shù).筆者認(rèn)為，從幫助學(xué)生理解定義的實質(zhì)，體會坐標(biāo)思想與數(shù)形結(jié)合思想的角度，教師可利用適當(dāng)?shù)恼Z言,引導(dǎo)學(xué)生重點解決“如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)”的關(guān)鍵問題.需要提及的是,陶老師的問題設(shè)計具有啟示性：

現(xiàn)在，角的范圍擴大了,由銳角擴展到了0°~360°內(nèi)的角,又?jǐn)U展到了任意角,并且在直角坐標(biāo)系中,使得角的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境中,你認(rèn)為,對于任意角α，sinα怎樣定義好呢？

上述問題提得“大氣”，既能使學(xué)生的學(xué)習(xí)圍繞關(guān)鍵問題展開，又突出正弦函數(shù)的概念分析.當(dāng)然，若能依教材先作銳角情形的鋪墊，教學(xué)更符合學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”，提高效率.這里，需要引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的觀點認(rèn)識用坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)，有助于從函數(shù)的本質(zhì)特征來認(rèn)識三角函數(shù).在第三個環(huán)節(jié)中，首先是如何自然引入單位圓的問題.用單位圓上點的坐標(biāo)定義三角函數(shù)有許多優(yōu)點，其中最主要的是使正弦函數(shù)、余弦函數(shù)從自變量（角的弧度數(shù)）到函數(shù)值（單位圓上點的橫、縱坐標(biāo)）之間的對應(yīng)關(guān)系更清楚、簡單，突出了三角函數(shù)的本質(zhì)，有利于學(xué)生利用已有的函數(shù)概念來理解三角函數(shù)，其次是使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論函數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).但單位圓的這些“優(yōu)點”要在引入單位圓后才能逐步體會到.因此，引入單位圓的“理由”應(yīng)該另辟蹊徑，白老師在引導(dǎo)學(xué)生完成用角的終邊上任意一點的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)之后，從求簡的角度設(shè)置問題,不愧為“棋高一招”：

大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？

在學(xué)生得出時定義式最簡單后,白老師引入單位圓,引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓定義銳角三角函數(shù).至此，學(xué)生就有了第四環(huán)節(jié)中用單位圓定義任意角三角函數(shù)的認(rèn)知準(zhǔn)備.由于“定義”是一種“規(guī)定”，因此，第四環(huán)節(jié)中，教師可類比用單位圓定義銳角三角函數(shù)情形，直接給出任意角三角函數(shù)定義，對學(xué)生而言，關(guān)鍵是理解這樣“規(guī)定”的合理性，對定義合理性認(rèn)知基礎(chǔ)就是三角函數(shù)的“函數(shù)”本質(zhì)——定義要符合一般函數(shù)的內(nèi)涵（函數(shù)三要素）.3．精心設(shè)計問題，讓課堂成為學(xué)生思維閃光的舞臺 基于上述認(rèn)識，對定義部分的教學(xué)，給出如下先行組織者和主干問題設(shè)計.先行組織者1：周期現(xiàn)象是社會生活和科學(xué)實踐中的基本現(xiàn)象，大到宇宙運動，小到粒子變化，這些現(xiàn)象的共同特點是具有周期性，另外，如潮汐現(xiàn)象、簡諧振動、交流電等，也具有周期性，而“三角函數(shù)”正是刻畫這些變化的基本函數(shù)模型.三角函數(shù)到底是一種怎樣的函數(shù)？它具有哪些特別的性質(zhì)？在解決具有周期性變化規(guī)律的問題中到底能發(fā)揮哪些作用？本課從研究第一個問題入手.意圖：明確研究方向與內(nèi)容.問題1：在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，它是怎樣定義的？ 意圖：從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗出發(fā)，為用坐標(biāo)定義三角函數(shù)作準(zhǔn)備.問題2：現(xiàn)在，角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，上述定義方法能推廣到任意角嗎？ 意圖：引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生求知欲望.問題3：如何定義任意角的三角函數(shù)？ 意圖：引導(dǎo)學(xué)生探索任意角三角函數(shù)的定義.先行組織者2：我們知道，直角坐標(biāo)系是展示函數(shù)規(guī)律的載體，是構(gòu)架“數(shù)形結(jié)合”的天然橋梁，上堂課我們把任意角放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行研究，借助坐標(biāo)系，可以使角的討論簡化，也能有效地表現(xiàn)出角的終邊位置“周而復(fù)始”的現(xiàn)象.坐標(biāo)系也為我們從“數(shù)”的角度定義任意角三角函數(shù)提供有效載體.意圖：引導(dǎo)學(xué)生借助坐標(biāo)系來定義任意角三角函數(shù).問題4：先考慮銳角的情形，如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，你能用點的坐標(biāo)來表示銳角α的三角函數(shù)嗎？

意圖：引導(dǎo)學(xué)生用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù).問題5：各個比值與角之間有怎樣的關(guān)系？比值是角的函數(shù)嗎？

意圖：扣準(zhǔn)函數(shù)概念的內(nèi)涵，把三角函數(shù)知識納入函數(shù)知識結(jié)構(gòu)，突出變量之間的依賴關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，增強函數(shù)觀念.先讓學(xué)生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，得出結(jié)論：三個比值分別是以銳角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù).問題6：既然可在終邊上任取一點，那有沒有辦法讓所得的對應(yīng)關(guān)系變得更簡單一點？ 意圖：為引入單位圓進(jìn)行鋪墊.教師給出單位圓定義之后，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確：正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點的坐標(biāo)（或比值）為函數(shù)值的函數(shù).問題7：類比上述做法，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交點為p（x，y），定義正弦函數(shù)為，余弦函數(shù)為，正切函數(shù)為.你認(rèn)為這樣定義符合函數(shù)定義要求嗎? 意圖：給出任意角三角函數(shù)的定義,引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)三要素說明定義的合理性，明確任意角三角函數(shù)的對應(yīng)法則、定義域、值域.引導(dǎo)學(xué)生思考定義的合理性，先讓學(xué)生作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明，得出結(jié)論：正弦、余弦、正切都是以任意角α為自變量、以單位圓上的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值（如果存在的話）為函數(shù)值的函數(shù).接著給出任意角三角函數(shù)的定義域、值域.“任意角三角函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計

陶維林（江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)，210003）

一．內(nèi)容和內(nèi)容解析

三角函數(shù)是一個重要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型．它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)中的圖象分析和式子變形，三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來．它在物理學(xué)、天文學(xué)、測量學(xué)等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，它是解決實際問題的重要工具，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中其他學(xué)科的基礎(chǔ)．

角的概念已經(jīng)由銳角擴展到0°~360°內(nèi)的角，再擴充到任意角，相應(yīng)地，銳角三角函數(shù)概念也必須有所擴充．任意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴充的必然結(jié)果．

比較銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)這兩個概念，共同點是，它們都是“比值”，不同點是銳角三角函數(shù)是“線段長度的比值”，而任意角三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中“坐標(biāo)與長度的比值，或者是坐標(biāo)的比值”．正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點的位置無關(guān)的特點，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)（或坐標(biāo)的比值）來表示任意角的三角函數(shù)，這是概念的核心．這樣定義，不僅簡化了任意角三角函數(shù)的表示，也為后續(xù)研究它的性質(zhì)帶來了方便．

從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)類似于從自然數(shù)到整數(shù)擴充的過程，產(chǎn)生了“符號問題”．因此，學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)可以與銳角三角函數(shù)相類比，借助銳角三角函數(shù)的概念建立起任意角三角函數(shù)的概念．

任意角三角函數(shù)概念的重點是任意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節(jié)，乃至本章的基本概念，是學(xué)習(xí)其他與三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有根本的重要的作用．解決這一重點的關(guān)鍵，是學(xué)會用直角坐標(biāo)系中，角的終邊上的點的坐標(biāo)來表示三角函數(shù)．因為正切函數(shù)并不獨立，最主要的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)．

任意角三角函數(shù)自然具有函數(shù)的一切特征，有它的定義域，對應(yīng)法則以及值域．任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集），這是因為，在建立弧度制以后，角的集合與實數(shù)集合間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，從這個意義上說，“角是實數(shù)”，三角函數(shù)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)．各種不同的三角函數(shù)定義了不同的對應(yīng)法則，因而可能有不同的定義域與值域．

任意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問題的基點．無論是研究三角函數(shù)在各象限中的符號、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關(guān)系，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，等等，都具有基本的重要的意義．

在建立任意角三角函數(shù)這個定義的過程中，學(xué)生可以感受到數(shù)與形結(jié)合，以及類比、運動、變化、對應(yīng)等數(shù)學(xué)思想方法． 二．目標(biāo)和目標(biāo)解析

本節(jié)課的目標(biāo)是，理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義．

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)sinα，cosα，tanα，了解三角函數(shù)是直角三角形中邊長的比值，這個比值僅與銳角的大小有關(guān)，是隨著銳角取值的變化而變化的，其值是惟一確定的，等函數(shù)的要素．這是任意角三角函數(shù)概念的“生長點”．

理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義的關(guān)鍵是由銳角三角函數(shù)這個線段長度的比值擴展為點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值．因此，對銳角三角函數(shù)理解得怎樣，對理解任意角三角函數(shù)有決定意義，復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)的理解是必要的．

要實現(xiàn)讓學(xué)生“理解”任意角三角函數(shù)定義的教學(xué)目標(biāo)，莫過于讓學(xué)生參與任意角三角函數(shù)定義的過程．讓學(xué)生感受到因角的概念的擴展，銳角三角函數(shù)概念擴展的必要性，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)概念的自然延伸．反過來，既然銳角集合是任意角集合的子集，那么，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該是任意角三角函數(shù)的特殊情況，是一個包含關(guān)系．讓學(xué)生參與定義，可以感受到這樣定義的合理性，感受到這個定義是自然的．

三．教學(xué)問題診斷分析

從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，從認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的角度來說，是屬于“下、上位關(guān)系學(xué)習(xí)”，是一個從特殊到一般的過程，“先行組織者”是銳角三角函數(shù)的概念．教學(xué)策略上先復(fù)習(xí)包容性小、抽象概括程度低的銳角三角函數(shù)的概念，然后讓學(xué)生“再創(chuàng)造”抽象程度高的上位概念（參與定義），并形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓原有的銳角三角函數(shù)的概念類屬于抽象程度更高的任意角三角函數(shù)的概念之中．

學(xué)生過去在直角三角形中研究過銳角三角函數(shù)，這對研究任意角三角函數(shù)在認(rèn)識上會有一定的局限性，所以學(xué)生在用角的終邊上的點的坐標(biāo)來研究三角函數(shù)可能會有一定的困難．可以讓學(xué)生在原有的對銳角三角函數(shù)的幾何認(rèn)識的基礎(chǔ)上，嘗試讓學(xué)生建立用終邊上的點的坐標(biāo)定義任意角三角函數(shù)，或者嘗試用終邊上的點的坐標(biāo)定義銳角三角函數(shù)，然后再定義任意角的三角函數(shù)．

教學(xué)的另一個難點是，任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集）．因為學(xué)生剛剛接觸弧度制，未必能理解“把角的集合與實數(shù)集建立一一對應(yīng)”到底是為了什么．可以在復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)時，把銳角說成區(qū)間（0，四．教學(xué)支持條件分析

利用幾何畫板軟件，可以動態(tài)改變角的終邊位置，從而改變角的終邊上點的坐標(biāo)大小的特點，便于學(xué)生認(rèn)識任意角的位置的改變，所對應(yīng)的三角函數(shù)值也改變的特點，感受函數(shù)的本質(zhì)；感受終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值；也便于觀察各三角函數(shù)在各象限中符號的變化情況，加深對任意角三角函數(shù)概念的理解，增強教學(xué)效果．）內(nèi)的角，以便分散這個難點． 五．教學(xué)過程設(shè)計 1．理解銳角三角函數(shù)

要理解任意角三角函數(shù)首先要理解銳角三角函數(shù)．銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的先行組織者．

問題1 任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．

教師用幾何畫板任意畫一個銳角．要求學(xué)生自己任意也畫一個銳角，利用手中的三角板畫直角三角形，度量角α的對邊長、斜邊長，計算比值．

意圖：復(fù)習(xí)初中所學(xué)習(xí)過的銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)概念的理解，它是學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ)．突出：

（1）與點的位置的選取無關(guān)；（2）是直角三角形中線段長度的比值． 問題2 能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數(shù)值不用計算就可以得到？

意圖：學(xué)生根據(jù)自己實際畫圖操作，以及計算比值的體驗，會很快認(rèn)為把斜邊畫成單位長比較方便，為后續(xù)任意角三角函數(shù)的“單位圓定義法”做鋪墊．

問題3 銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？

意圖：以便與后面的任意角三角函數(shù)的自變量是角（的弧度，對應(yīng)一個實數(shù)），對應(yīng)的函數(shù)值是α的終邊與單位圓交點的縱坐標(biāo)比較．

銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量是銳角．由于角的弧度值與實數(shù)可以一一對應(yīng)，所以，α是（0，）上的實數(shù)．而與之對應(yīng)的函數(shù)值sinα是線段長度的比值，是區(qū)間（0，1）上的實數(shù)．

問題4 你產(chǎn)生過這個疑問嗎：“三角函數(shù)只有這三個？”

意圖：這個問題具有元認(rèn)知提示的特點，引導(dǎo)學(xué)生勤于思考，逐步學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、研究問題．

三條邊相互比，可以產(chǎn)生六個比．還有哪三個呢？再把已知的三個倒過來． 2．任意角三角函數(shù)定義的“再創(chuàng)造”

教師利用幾何畫板，把角α的頂點定義為原點，一邊與x軸的正半軸重合，轉(zhuǎn)動另一條邊，表現(xiàn)任意角．

問題5 現(xiàn)在，角的范圍擴大了．在直角坐標(biāo)系中，使得角的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境下，你認(rèn)為，對于任意角α，sinα，cosα，tanα怎樣來定義好呢？

意圖：可以打破知識結(jié)構(gòu)的平衡，感受到學(xué)習(xí)新知識的必要性——角的范圍擴大了，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該“與時俱進(jìn)”，并不顯得突然．把定義的主動權(quán)交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生參與定義過程，發(fā)展思維．

有兩種可能的回答．

可能一：在α的終邊上任意畫一點p（x，y），|op|＝r．

可能二：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點為p（x，y）．

不論出現(xiàn)可能一還是可能二，都再問：“都是這樣的嗎？”

引導(dǎo)學(xué)生議論，以確認(rèn)兩種定義方法的一致性、各自特點．再問“你贊成哪一種？”，統(tǒng)一認(rèn)識，建立任意角三角函數(shù)的定義．（板書）

因為前面已經(jīng)有引導(dǎo)，學(xué)生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函數(shù)的認(rèn)識（對定義的體驗）

問題6（1）求下列三角函數(shù)值：

問題6（2）說出幾個使得cosα＝1的α的值． 意圖：通過定義的簡單應(yīng)用，把握定義的內(nèi)涵．

逐題給出，對于每一個答案，都要求學(xué)生說出“你是怎樣得到的．”突出“畫終邊，找交點坐標(biāo)，算比值（對正切函數(shù)）”的步驟．

問題6（3）指出下列函數(shù)值：

意圖：角的終邊位置決定了三角函數(shù)值的大?。K邊位置相同的角同一三角函數(shù)值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈z）問題6（4）

①確定下列三角函數(shù)的符號：

②θ在哪個象限？請說明理由．反過來呢？

③角α的哪些三角函數(shù)值在第二、三象限都是負(fù)數(shù)？為什么？ ④tanα在哪些象限中取正數(shù)？為什么？ 意圖：認(rèn)識三角函數(shù)在各象限中的符號．

問題7 做了這么多題，要反思．你是否發(fā)現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的一些性質(zhì)？還有些什么體會？ 意圖：體驗以后的概括，階段小結(jié)．（1）抓住各三角函數(shù)的定義不放；（2）各象限中三角函數(shù)的符號特點，等．

教師板書學(xué)生獲得的成果、感受． 4．任意角三角函數(shù)的定義域

問題8 α是任意角，作為函數(shù)的sinα，cosα，tanα，它們的定義域分別是什么？

意圖：三角函數(shù)也是函數(shù)，自然應(yīng)該關(guān)心它的定義域．

建立了角的弧度制，角的集合與實數(shù)集合之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，因此，sinα，cosα的定義域是r；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定義域是

仍然緊扣定義，并引導(dǎo)以弧度制表示它的定義域． 5．練習(xí)

（1）確定下列三角函數(shù)值的符號，并借助計算器計算：

（2）求下列三角函數(shù)值：

6．小結(jié)

問題9 下課后，你走出教室，如果有人問你：“過去你就學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，今天又學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，它們的差別在哪里呢？”你怎么回答他？

意圖：通過問題小結(jié)．不追求面面俱到，突出銳角三角函數(shù)是三角形中，邊長的比值，而任意角的三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中角的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)，或者是坐標(biāo)的比值．

若時間允許，再問：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角函數(shù)相等；各象限三角函數(shù)的符號；任意角三角函數(shù)的定義域，等． 六．目標(biāo)檢測設(shè)計

（1），寫出α的終邊與單位圓交點的橫坐標(biāo)，并寫出tanα的值．

（2）求下列三角函數(shù)的值：

（3）角α的終邊與單位圓的交點是q，點q的縱坐標(biāo)是1/2，說出幾個滿足條件的角α．

（4）點p（3，－4）在角α終邊上，說出sinα，cosα，tanα分別是多少？

（1）實際教學(xué)片段

上課始，教師用幾何畫板任意畫一個銳角，提出問題1：“任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．”然后走進(jìn)學(xué)生中間，觀察他們的學(xué)習(xí)行為．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，有一部分同學(xué)畫出角之后，一片茫然．教師又不愿意把結(jié)果告訴學(xué)生，提示同桌的兩位同學(xué)可以商量一下，并提示，完成的同學(xué)請舉手示意，以便教師了解情況，結(jié)果舉手的人很少．之后，教師提問一位舉手的學(xué)生，問：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教師非常贊成．她在黑板上畫出一個直角三角形，并不熟練地寫出一個銳角的正弦是它的對邊比斜邊以及余弦、正切等三個三角函數(shù)．之后，教師又與學(xué)生討論了問題2：能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數(shù)值不用計算就可以得到？學(xué)生比較一致認(rèn)為把斜邊長畫成單位長比較好，為“單位圓定義法”做必要的鋪墊．接著討論問題3：銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？在教師類比正方形的面積s＝a2的提示下，學(xué)生說出銳角三角函數(shù)中自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)值分別是角、比值，最后討論問題4：你產(chǎn)生過這個疑問嗎：“三角函數(shù)只有這三個？”有學(xué)生舉手，表示想過這個問題，應(yīng)該是六個，另外三個可以把現(xiàn)有的三個倒一下得到．至此，時間已經(jīng)過去20多分鐘．

教師本以為，學(xué)生在初中既然學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，對給出的一個銳角，借助三角板構(gòu)造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在這一點上，學(xué)生耗費了大量的時間，而教師又不想越俎代庖地告訴學(xué)生，這就嚴(yán)重影響了后續(xù)建立任意角三角函數(shù)的概念，并通過特殊角的求值體驗、把握內(nèi)涵的時間保證，造成體驗不夠，概括

過早，應(yīng)用更少的現(xiàn)象．

（2）問題出在哪里

問題在教學(xué)設(shè)計不夠合理，當(dāng)中的“教學(xué)問題診斷分析”不夠準(zhǔn)確．沒有準(zhǔn)確把握學(xué)生的知識基礎(chǔ)與認(rèn)識能力，對學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的困難估計不足．尤其是，對學(xué)生關(guān)于銳角三角函數(shù)的理解估計過高．主要表現(xiàn)在兩個方面，一是初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)是在直角三角形中進(jìn)行的，并不要求給出一個銳角，兩邊是射線，求出它的三角函數(shù)值．二是并不要求把“銳角三角函數(shù)”作為函數(shù)來認(rèn)識，比如關(guān)注它的自變量是角，對應(yīng)的函數(shù)值是比值，更不關(guān)心它的定義域、值域以及對應(yīng)法則這些函數(shù)的要素．只要求運用符號sina，cosa，tana的意義來進(jìn)行有關(guān)的計算，等．現(xiàn)在，要求學(xué)生從函數(shù)角度建立任意角三角函數(shù)概念這就失去了概念的上位支持．

關(guān)于銳角三角函數(shù)，在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》中，是在“空間與圖形”的“圖形與變換”部分．標(biāo)準(zhǔn)指出：“通過實例認(rèn)識銳角三角函數(shù)（sina，cosa，tana），知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對應(yīng)的銳角．”以及“運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡

單實際問題．”

筆者查閱了按照“課程標(biāo)準(zhǔn)”編寫的幾套初中教材，給出sina的方式基本上一致，是：

如圖（圖略），在rt△abc中，∠c＝90°，我們把銳角a的對邊與鄰邊的比叫做∠a的正弦（sine），記作sina，即”（對cosa，tana有類似的定義）并指出“銳角a的正弦、余弦和正切都是∠a的三角函

數(shù)．”

以后的內(nèi)容（包括解實際問題），都是有關(guān)三角函數(shù)值的計算，并不強調(diào)它們的函數(shù)特征．有的教材雖然指出“對于銳角a的每一個確定的值，sina有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以sina是a的函數(shù)．同樣地，cosa，tana也是a的函數(shù)．”作出了銳角三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)的提示，由于缺少必要的練習(xí)，作用并不大．應(yīng)該說，這些都不違背“課程標(biāo)準(zhǔn)” 的要求．可見學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過的函數(shù)有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，銳角三角函數(shù)并不納入“函

數(shù)”這個系統(tǒng)．

初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)有一個特定的載體，這就是直角三角形，因此，當(dāng)他們面對任意畫出的一個銳角，其兩條邊是射線，要求出這個角的三角函數(shù)的近似值這個新情境時，竟不知如何是好，手足無措，無計可施，也說明學(xué)生對銳角三角函數(shù)并不理解．這樣看來，畫出一個銳角，要求學(xué)生會取點、畫垂線、度量、計算比值的要求是必要的．

有教師認(rèn)為，不必復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)，直接提出問題“同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣來定義任意角的三角函數(shù)？”這種“大撒手”的問題跨度太大，學(xué)生更難回答．原因是對銳角三角函數(shù)的“函數(shù)”特征認(rèn)識不足、理解不到位，要讓學(xué)生直接建立任意角的三角函數(shù)，又要突出“函數(shù)”這一特征，很困難．因此，為建立任意角的三角函數(shù)的概念，需要先復(fù)習(xí)初中銳角三角函數(shù)的概念，因為從銳角（三角函數(shù)）到任意角（三角函數(shù)）又是由下位到上位的學(xué)習(xí)．教材要求首先把直角三角形中邊長的比值擴展到坐標(biāo)或者坐標(biāo)的比值，在直角坐標(biāo)系中認(rèn)識銳角三角函數(shù)，并引導(dǎo)學(xué)生從“函數(shù)”的角度認(rèn)識它，也就是弄清自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)分別是什么是必要的．

（3）對教學(xué)的反思

高中教師應(yīng)該了解義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，了解初中教材，了解學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過哪些內(nèi)容，尤其是相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)是什么，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．應(yīng)該做好初、高中的銜接工作，不僅注意知識的銜接，還要注意思想方法、能力要求等各方面的銜接，為學(xué)習(xí)高中的相關(guān)內(nèi)容做好鋪墊．以為已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，學(xué)生就能夠把它理解為一種特殊的函數(shù)，是一個明顯的例子．

教科書在節(jié)首提出的“思考”是：“我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎”其實，學(xué)生只知道銳角三角函數(shù)是直角三角形中邊長的比值，并不完全知道“它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)”，這就需要通過復(fù)習(xí)，來幫助學(xué)生

補上這一點．

2．其他反思

（1）由于學(xué)生在復(fù)習(xí)階段花了較多的時間，影響了新課的學(xué)習(xí)，用任意角三角函數(shù)概念解題的時間不多，體驗不夠，有教師提出“下課后練習(xí)不好做”，說明復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)沒有必要．筆者認(rèn)為，當(dāng)“預(yù)設(shè)”與“生成”發(fā)生矛盾時，教師寧可選擇“生成”．尊重學(xué)生的認(rèn)知水平，尊重學(xué)生的認(rèn)知心理過程，決不簡單化，把結(jié)論直接告訴給學(xué)生，追求“結(jié)果”，追求“完成”教學(xué)任務(wù)．教師不能認(rèn)為我已經(jīng)把這個概念告訴你了，你就應(yīng)該知道了．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)不是“告訴教學(xué)”，概念不能靠學(xué)生“復(fù)制”，對概念需要的是理解，需要學(xué)生用自己的體驗建立起對概念的理解．什么是“教學(xué)任務(wù)”，不能僅限于知識要求，要注意學(xué)生的全面發(fā)展．比如，當(dāng)學(xué)生不能正確選擇在角的一邊上取點，畫垂線時，啟示學(xué)生互相討論、啟發(fā)一下，借助于同伴的幫助解決問題．當(dāng)學(xué)生不能說出“作為函數(shù)的銳角三角函數(shù)，自變量以及它的函數(shù)分別是什么”（屬性）意義不清，不好回答時，教師降低難度，啟發(fā)類比s＝a2中a表示邊長，而s表示正方形的面積．突出線段長、面積，等等．

“任意角三角函數(shù)的概念”與作為第一節(jié)課的“任意角三角函數(shù)的概念”不是同一個概念．對“任意角三角函數(shù)的概念”的認(rèn)識、理解不是一蹴而就的，不是一節(jié)課可以完成的任務(wù)，需要一個長期的過程．比如，把角度化成弧度到底是為了什么？即便化成弧度，又為什么省略不寫呢？建立角的弧度與實數(shù)間的一一對應(yīng)有什么必要呢？任意角三角函數(shù)的自變量明明白白是角，為什么偏要把它說成實數(shù)呢？剛剛接觸任意角三角函數(shù)就要求理解這一切是十分困難的．隨著學(xué)習(xí)的深入，尤其是三角函數(shù)的應(yīng)用，學(xué)生才能慢慢消除這些疑問，逐漸理解它．比如，在三相交流電路中，某一相電路中的電流強度ia＝imsin（ωt）（其中im是電路中電流強度的峰值），三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的基本數(shù)學(xué)模型；再比如，當(dāng)學(xué)生接觸到函數(shù)y＝sin（cosx）后，再來看三角函數(shù)的定義域，會認(rèn)識到抽象后的任意角三角函數(shù)的自變量作為實數(shù)更具廣泛性．

這一節(jié)課把教學(xué)的基本要求定位在，弄清任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的區(qū)別，接受用坐標(biāo)（或坐標(biāo)的比值）表示三角函數(shù)就夠了．如同在建立數(shù)軸之后，一個知道把向東2公里表示為2公里而向西2公里表示成－2公里，接受“路程也可以是負(fù)數(shù)”的學(xué)生，就已經(jīng)開始接受有理數(shù)，逐漸成為中學(xué)生了．

還需要注意的是，應(yīng)該通過什么方式讓學(xué)生建立起用坐標(biāo)（或比值）表示任意角三角函數(shù)，以及領(lǐng)會建立這個概念過程

中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法．

（2）在求cosπ時，一個學(xué)生說出的結(jié)果是0.9985．教師追問“你是怎么算出來的？”他回答：“用計算器．”后來，筆者用計算器做了實驗，發(fā)現(xiàn)他用計算器計算時，把計算器中的角度模式（mode）設(shè)置成了角度制（degree）．在這種模式下，計算cosπ可以得到0.9985（即計算的是cosπ°）．如果把角度模式設(shè)置成了弧度制（radian），計算cosπ仍可以得到－1．這件事的出現(xiàn)給我以及所有聽課教師引發(fā)諸多思考．第一，這位同學(xué)沒有關(guān)注到這節(jié)課剛學(xué)習(xí)過的概念，運用新概念解決當(dāng)前的問題，而是停留在“三角函數(shù)值是能夠用計算器算出來的”這個認(rèn)識水平上；第二，反映了計算器的過度使用，會形成對學(xué)具的依賴，影響學(xué)生思維能力的發(fā)展．學(xué)具的功能越全面越強大不一定是好事．比如，具有解方程（solve）功能的計算器在初中使用可能會削弱解一元二次方程的學(xué)習(xí)；具有圖象功能的計算器的過早使用可能會干擾函數(shù)的學(xué)習(xí)．因此，教師應(yīng)該注意技術(shù)在教學(xué)中的“輔助”作用，適度使用教具，重視算理分析，重視算法的來源，重視思維能力的培養(yǎng)，而不是追求計算結(jié)果．

借班上課，對學(xué)生的不熟悉是教師的苦惱，加上教學(xué)進(jìn)度等問題，學(xué)生的知識儲備不足（在教學(xué)任意角三角函數(shù)概念之前僅上過一堂“任意角”的課），是教學(xué)并不理想的一個重要原因．教學(xué)過程是師生雙邊活動的過程，離不開師生之間的交流，生疏是交流的障礙之一，生疏更難以做到師生之間配合默契．另外，學(xué)生對教師的教學(xué)風(fēng)格的適應(yīng)或認(rèn)可也有一個過程，比如教師希望學(xué)生積極發(fā)言而不僅是聽講，等等．

（3）討論中，老師們提出了許多有價值的教學(xué)應(yīng)該遵循的一般規(guī)律以及一些先進(jìn)的教學(xué)理念，但是，要求一節(jié)課全面體現(xiàn)各種先進(jìn)教學(xué)理念，去承擔(dān)反映數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律中太多的東西是不現(xiàn)實，也是不應(yīng)該的．

課堂教學(xué)是一項實踐性很強的工作，除了認(rèn)真的課前準(zhǔn)備外，對教學(xué)過程中出現(xiàn)的“突發(fā)事件”，隨機應(yīng)變十分重要．教師需要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)識過程，隨時修改自己的教學(xué)設(shè)計，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求，改變策略，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▽嵤┙虒W(xué)，以達(dá)到最佳教學(xué)效果．這一切都需要教師有很強的基本功．

任意角三角函數(shù)定義教學(xué)設(shè)計篇四

任意角的三角函數(shù)（1）

一、教學(xué)內(nèi)容分析：

高一年《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書·數(shù)學(xué)（必修4）》（人教版a版）第12頁1.2.1任意角的三角函數(shù)第一課時。

本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎(chǔ)，主要是從通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。《課程標(biāo)準(zhǔn)》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。

在本模塊中，學(xué)生將通過實例學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會三角函數(shù)在解決具有變化規(guī)律的問題中的作用。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

我們的課堂教學(xué)常用“高起點、大容量、快推進(jìn)”的做法，忽略了知識的發(fā)生發(fā)展過程，以騰出更多的時間對學(xué)生加以反復(fù)的訓(xùn)練，無形增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，泯滅了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。我們雖然刻意地去改變教學(xué)的方式，但仍太多舊時的痕跡，若為了新課程而新課程又會使得美景變成了幻影，失去新課程自然與清純之味。所以如何進(jìn)行《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》(以下簡稱課程標(biāo)準(zhǔn))的教學(xué)設(shè)計就很值得思考探索。如何讓學(xué)生把對初中銳角三角函數(shù)的定義及解直角三角形的知識遷移到學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)的定義中？

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)解讀》中在三角函數(shù)的教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注以下兩點：

第一、根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，例如單調(diào)彈簧振子，圓上一點的運動，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實例，使學(xué)生感受周期現(xiàn)象的廣泛存在，認(rèn)識周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型以及三角函數(shù)模型的意義。

第二、注重三角函數(shù)模型的運用即運用三角函數(shù)模型刻畫和描述周期變化的現(xiàn)象（周期振蕩現(xiàn)象），解決一些實際問題，這也是《課程標(biāo)準(zhǔn)》在三角函內(nèi)容處理上的一個突出特點。

根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的指導(dǎo)思想，任意角的三角函數(shù)的教學(xué)應(yīng)該幫助學(xué)生解決好兩個問題：

其一：能從實際問題中識別并建立起三角函數(shù)的模型；

其二：借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義并認(rèn)識其定義域、函數(shù)值的符號。

三、設(shè)計理念：

本節(jié)課通過多媒體信息技術(shù)展示摩天輪旋轉(zhuǎn)及生成的圖像，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活，激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)的樂趣。并通過問題的探究，體驗“數(shù)學(xué)是過程的思想”，改變課程實施過程于強調(diào)接受學(xué)習(xí)，死記硬背，機械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動參與，樂于探究，勤于動手，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)生收集和處理信息的能力，獲得新知識的能力，分析與解決問題的能力以及交流合作的能力。

四、教學(xué)目標(biāo)：

1.借助摩天輪的情景問題很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好入在直角坐標(biāo)系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，從通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義；

2.從任意角的三角函數(shù)的定義認(rèn)識其定義域、函數(shù)值的符號； 3.能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡單問題。

五、教學(xué)重點和難點：

1.教學(xué)重點：任意角三角函數(shù)的定義. 2.教學(xué)難點：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.具體設(shè)計如下：

opa

六、教學(xué)過程

第一部分——情景引入

問題1:如圖是一個摩天輪，假設(shè)它的中心離地面的高度為ho，它的直徑為2r，逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動一周需要360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置oa出發(fā)（如圖1所示），過了30秒后，你離地面的高度h為多少？過了45秒呢？過了t秒呢？

圖1 【設(shè)計意圖】：高中學(xué)生已經(jīng)具有豐富的生活經(jīng)驗和一定的科學(xué)知識，因此選擇感興趣的、與其生活實際密切相關(guān)的素材，此情景設(shè)計應(yīng)該有助于學(xué)生對知識的發(fā)生發(fā)展的理解。這個數(shù)學(xué)模型很好融合初中對三角函數(shù)的定交，也能放在直角坐標(biāo)系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角三角函數(shù)過渡，揭示函數(shù)的本質(zhì)。

第二部分——復(fù)習(xí)回顧銳角三角函數(shù)

讓學(xué)生自主思考如何解決問題：“過了30秒后，你離地面的高度為多少？”

【分析】：作圖如圖2很容易知道：從起始位置oa運

bnompa圖2 h動30秒后到達(dá)p點位置，由題意知?aop?300，作ph垂直地面交oa于m，又知mh＝ho，所以本問題轉(zhuǎn)變成求ph再次轉(zhuǎn)變?yōu)榍髉m。

要求pm就是回到初中所學(xué)的解直角三角形的問題即銳角的三角函數(shù)。問題2：銳角?的正弦函數(shù)如何定義？ 【學(xué)生自主探究】：學(xué)生很容易得到

sin??|mp||mp|??|mp|?rsin??|ph|?h0?rsin? |op|r?h?h0?rsin?

所以學(xué)生很自然得到“過了30秒后，過了45秒,你離地面的高度h為多少？”

ph1?h0?rsin300 h2?h0?rsin450

【教師總結(jié)】：t0在銳角的范圍中，oaympomaxh?h0?rsint0

第三部分——引入新課

問題3：請問t的范圍呢？隨著時間的推移，你離地面的高度h為多少？能不能猜想

bh?h0?rsint0？

【分析】：若想做到這一點，就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦。今天我們就要來學(xué)習(xí)任意角的三函數(shù)角函數(shù)。

問題4：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點p(xp,yp)，能你用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點的坐標(biāo)來表示銳角?的正弦函數(shù)的定義嗎？能否也定義其它函數(shù)（余弦、正切）？

【學(xué)生自主探究】：sin??|mp|yp? r|op|cos??|mp|yp|om|xp，tan?? ??|op|r|om|xp問題5：改變終邊上的點的位置，這三個比值會改變嗎？為什么？ 【分析】：先由學(xué)生回答問題，教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個點，計算比值，獲得具體認(rèn)識，并由相似三角形的性質(zhì)證明。

【設(shè)計意圖】：讓學(xué)生深刻理解體會三角函數(shù)值不會隨著終邊上的點的位置的改變而改變，只與角有關(guān)系。

通過摩天輪的演示，讓學(xué)生感受到第一象限角的正弦可以跟銳角正弦的定義一樣。

問題6：大家根據(jù)第一象限角的正弦函數(shù)的定義，能否也給出第二象限角的定義呢？

【學(xué)生自主探究】：學(xué)生通過上面已知知識得到sin??|mp|yp? r|op|pxyo學(xué)生定義好第二象限角后，讓學(xué)生自己算出摩天輪座艙在第150秒時，離地面的高度h？

通過摩天輪知道：

圖3h?h0?rsin1500?h1?h0?rsin300

由此得到：sin1500?1 2【設(shè)計意圖】：通過這個，讓學(xué)生檢驗sin??正確？

問題7：sin??|mp|yp?在第二象限角是否r|op||mp|在第三象限角或第四象限能成立嗎？ |op|【設(shè)計意圖】：讓學(xué)生通過模型，檢驗定義是否正確，從中讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)正、負(fù)符號的偏差。

（可以讓學(xué)生取t?210，從而h?h0?rsin2100,得到sin2100＝?這與sin??|mp|?|mp|不相符，實際上是sin??）|op||op|1，發(fā)現(xiàn)2【教師總結(jié)】：我們通過個模型知道如何在某些范圍內(nèi)如何計算自已此時離地面的高度，用數(shù)學(xué)模型h?h0?rsint0來表示，當(dāng)摩天輪轉(zhuǎn)動，角度的概念也不知不覺地推廣到任意角，對于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角形中的對邊的長度比斜邊長度了，我更應(yīng)該用點p的橫坐標(biāo)來代替|mp|或?|mp|，那么這樣就能夠很好表示出正弦的函數(shù)任意角的定義。

第三部分——給出任意角三角函數(shù)的定義

如圖3,已知點p(x,y)為角?終邊上的點，點p到頂點o的距離為r，則

ysin??（??r）

rxcos??（??r）

ry?tan??（???k?）

x2【分析】：讓學(xué)生通過剛才的模型進(jìn)一步體驗任意角三角函數(shù)的定義要點：點、點的坐標(biāo)、點到頂點的距離。

問題8：當(dāng)摩天輪的半徑r＝1時，三角函數(shù)的定義會發(fā)生怎樣的變化?！緦W(xué)生自主探究】：sin??y，cos??x，tan??y。x教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比，學(xué)生通過對比發(fā)現(xiàn)取到原點的距離為1的點可以使表達(dá)式簡化。

教師進(jìn)一步給出單位圓的定義 給出下列表格，讓學(xué)生自己補充完整。三角函數(shù)

sin? 定義一：|op|?1

y

定義二：|op|?r

y rx ry x定義域

??r ??r cos?

tan?

x

y x???2?k?

及時歸納總結(jié)有利學(xué)生對所學(xué)知識的鞏固和掌握。第三部分——例題講解

例1.（課本p14例2）已知角?終邊經(jīng)過點p0(?3,?4)，求角?的正弦、余弦和正切值。

【分析】：讓學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣，得用上面的定義二就可以得到答案。

5?例2.（課本p14例1）求的正弦、余弦和正

3切值。

【學(xué)生自主探究】：讓學(xué)生自己思考并獨立完成。然后與課本的解答相對比一下，發(fā)現(xiàn)本題的難

omxyp圖4點。

【教師講解】：本題題意很簡單，但是如何入手卻是難點，關(guān)鍵是對本節(jié)課的三角函數(shù)定義的要點有沒有領(lǐng)會清楚（任意角三角函數(shù)的定義要點：點、點的坐標(biāo)、點到頂點的距離），因此本題的重點之處是如何利用單位圓找到這個點p，如圖4可以知道?pom?很容易得到本題答案。

不妨讓學(xué)生取r?|op|?4，能否也得到點p的坐標(biāo)，得到的三角函數(shù)值是否與單位圓的一樣。這樣可以讓學(xué)生更深刻體驗三角函數(shù)的定義。

第四部分——鞏固練習(xí)練習(xí)1.例2變式求

7?的正弦、余弦和正切值。6?13，又點p在第四象限，得到p(,?)，這樣就可以322練習(xí)2.問題9：通過觀察摩天輪的旋轉(zhuǎn)，三角函數(shù)的角的終邊所在象限不同，請說說三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的三角函數(shù)值的符號?獨立完成課本p15的“探究”。

【設(shè)計意圖】：練習(xí)

1、練習(xí)2的設(shè)計與例

2、例3銜接，主要目的是幫助學(xué)生鞏固三角函數(shù)的本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)利用坐標(biāo)平面內(nèi)的點的坐標(biāo)特征自主探究三角函數(shù)的有關(guān)問題的思想方法。并在特殊情形中體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。

第五部分——小結(jié)與作業(yè) 學(xué)生自我總結(jié)

作業(yè)：p23習(xí)題1.2a組 1,2,3

七、教學(xué)反思

上述教學(xué)設(shè)計及具體教學(xué)實施過程我認(rèn)為有以下幾點意義：

1.教學(xué)設(shè)計緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，重點放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設(shè)是學(xué)生熟悉的摩天輪，認(rèn)知過程符合學(xué)生的認(rèn)知特點和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象，現(xiàn)象到本質(zhì)，特殊到一般，這樣有利學(xué)生的思考。

2.情景設(shè)計的數(shù)學(xué)模型很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好引入在直角坐標(biāo)系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，同時能夠揭示函數(shù)的本質(zhì)。

3.通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，讓學(xué)生在情境中活動，在活動中體驗數(shù)學(xué)與自然和社會的聯(lián)系、新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，在體驗中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學(xué)習(xí)的策略，使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。這和課程標(biāo)準(zhǔn)的理念是一致的。

4.《標(biāo)準(zhǔn)》把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識作為其目標(biāo)之一, 在教學(xué)中不僅要突出知識的來龍去脈還要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實踐的空間, 促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)和實踐過程中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,提高學(xué)生的直覺猜想、歸納抽象、數(shù)學(xué)地提出、分析、解決問題的能力, 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識,使其上升為一種數(shù)學(xué)意識,自覺地對客觀事物中蘊涵的一些數(shù)學(xué)模式作出思考和判斷。在解答問題的過程中體驗到從數(shù)學(xué)的角度運用學(xué)過的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法去觀察生活、分析自然現(xiàn)象、解決實際問題的策略, 使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)原來就來自身邊的現(xiàn)實世界, 是認(rèn)識和解決我們生活和工作中問題的有力武器, 同時也獲得了進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的切身體驗和能力。增進(jìn)了他們對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。

點評

本節(jié)課以新穎背景“摩天輪”引課，從直角三角形的銳角入手，引導(dǎo)學(xué)生嘗試探究，逐次深入引出任意角的三角函數(shù)的定義，以問題形式鞏固深化任意角三角函數(shù)值的計算，結(jié)合平位圖直觀作用，使學(xué)生經(jīng)歷了由淺入深，由易到難，清楚展現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的生成過程，加深了對任意角三角函數(shù)的認(rèn)識。

新課程教材強調(diào)了學(xué)生的探究能力的培養(yǎng)，但不意味著每個知識點都需要人為創(chuàng)設(shè)情景加以探究，現(xiàn)實的教學(xué)由于受教學(xué)時數(shù)限制，總是希望課堂教學(xué)效率高些，任意角的三角函數(shù)的定義是否一定要創(chuàng)設(shè)情景讓學(xué)生探究？只要讓學(xué)生理解有必要引入任意角三角函數(shù)概念，然后直接下定義，從課堂教學(xué)效率而言，可能會更好些。

任意角三角函數(shù)定義教學(xué)設(shè)計篇五

《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎(chǔ)，主要是從通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。

二、學(xué)生情況分析

本課時研究的是任意角的三角函數(shù)，學(xué)生在初中階段曾經(jīng)研究過銳角三角函數(shù)，其研究范圍是銳角；其研究方法是幾何的，沒有坐標(biāo)系的參與；其研究目的是為解直角三角形服務(wù)。以上三點都是與本課時不同的，因此在教學(xué)過程中要發(fā)展學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗，發(fā)揮其正遷移。

三、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo):借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；能根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出具體的角的各三角函數(shù)值；能根據(jù)定義探究出三角函數(shù)值在各個象限的符號。

方法與過程目標(biāo):在定義的學(xué)習(xí)及概念同化和精致的過程中培養(yǎng)學(xué)生類比、分析以及研究問題的能力。

情感態(tài)度與價值觀: 在定義的學(xué)習(xí)過程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

四、教學(xué)重、難點分析：

重點：理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。難點：引導(dǎo)學(xué)生將任意角的三角函數(shù)的定義同化，幫助學(xué)生真正理解定義。

五、教學(xué)方法與策略：

教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，采用學(xué)生自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程.根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容、高一學(xué)生認(rèn)知特點，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的方法組織教學(xué).六、教具、教學(xué)媒體準(zhǔn)備：

為了加強學(xué)生對三角函數(shù)定義的理解，幫助學(xué)生克服在理解定義過程中可能遇到的障礙，本節(jié)課準(zhǔn)備在計算機的支持下，利用幾何畫板動態(tài)地研究任意角三角函數(shù)與它的終邊上點的坐標(biāo)的關(guān)系，構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學(xué)情境，使學(xué)生能夠更好地數(shù)形結(jié)合地進(jìn)行思維．

七、教學(xué)過程

（一）教學(xué)情景

1．復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義

問題1：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)．如圖（課件2）在直角△abc中，∠b是直角，那么根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，銳角a的正弦、余弦和正切分別是什么？

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生回顧初中銳角三角函數(shù)的定義．

師生活動：教師提出問題，學(xué)生回答． 2．認(rèn)識任意角三角函數(shù)的定義

問題2：在上節(jié)教科書的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)將角的概念推廣到了任意角，現(xiàn)在所說的角可以是任意大小的正角、負(fù)角和零角．那么任意角的三角函數(shù)又該怎樣定義呢？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)．

師生活動：在教學(xué)中，可以根據(jù)學(xué)生的實際情況，利用下列問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：

（1）能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？ 以此來引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)．

（2）在上節(jié)教科書中，將銳角的概念推廣到任意角時，我們是把角放在哪里進(jìn)行研究的？

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)．在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生討論。

（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，如何定義任意角的三角函數(shù)呢？

（4）終邊是op的角一定是銳角嗎？如果不是，能利用直角三角形的邊長來定義嗎？如圖3，如果角θ的終邊不在第i象限又該怎么辦？

問題3：大家現(xiàn)在能不能給出任意角三角函數(shù)的定義了？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生在定義銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出任意角三角函數(shù)的定義．

師生活動：由學(xué)生給出任意角三角函數(shù)的定義，教師進(jìn)行整理．

問題4：你能否給出正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域？ 設(shè)計意圖：通過利用定義求定義域，既完善了三角函數(shù)概念的內(nèi)容，同時又可幫助學(xué)生進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念．

師生活動：學(xué)生求出定義域，教師進(jìn)行整理． 例1：（題目在課件8中）

設(shè)計意圖：從最簡單的問題入手，通過變式，讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何利用定義求不同情況下函數(shù)值的問題，進(jìn)而加深對定義的理解，加強定義應(yīng)用中與幾何的聯(lián)系，體會數(shù)形結(jié)合的思想．

3．練習(xí)（在課件9中）

設(shè)計意圖：通過應(yīng)用三角函數(shù)的定義，加強對三角函數(shù)概念的理解． 4．小結(jié)

問題5：銳角三角函數(shù)與解直角三角形直接相關(guān)，初中我們是利用直角三角形邊的比值來表示其銳角的三角函數(shù)．通過今天的學(xué)習(xí)，我們知道任意角的三角函數(shù)雖然是銳角三角函數(shù)的推廣，但它與解三角形已經(jīng)沒有什么關(guān)系了．你能再回顧一下任意角三角函數(shù)的定義嗎？

設(shè)計意圖：回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容．

八、作業(yè)設(shè)計：

教科書p106習(xí)題1.2題．

設(shè)計意圖：根據(jù)本節(jié)課所涉及到的三角函數(shù)定義應(yīng)用的幾個方面，從教科書中選擇作業(yè)題．試圖通過作業(yè)，讓學(xué)生進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念，并從中評價學(xué)生對三角函數(shù)概念理解的情況．

九、教學(xué)反思：

上述教學(xué)設(shè)計及具體教學(xué)實施過程我認(rèn)為有以下幾點意義：

1.教學(xué)設(shè)計緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，重點放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生的認(rèn)知特點和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象，現(xiàn)象到本質(zhì)，特殊到一般，這樣有利學(xué)生的思考。

2.情景設(shè)計的數(shù)學(xué)模型很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好引入在直角坐標(biāo)系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，同時能夠揭示函數(shù)的本質(zhì)。

3.通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，讓學(xué)生在情境中活動，在活動中體驗數(shù)學(xué)與自然和社會的聯(lián)系、新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，在體驗中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學(xué)習(xí)的策略，使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。這和課程標(biāo)準(zhǔn)的理念是一致的。