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函數(shù)極限證明格式 函數(shù)極限定義證明例題篇一
|xn+1-a|
|x2-a|
①證明{x(n)}單調(diào)增加。
x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);設(shè)x(k+1)>x(k)，則
x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。②證明{x(n)}有上界。x(1)=1
x(k+1)=√[2+3x(k)]1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)則：
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x/(t^x)](分子分母分別求導(dǎo))=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0 所以，對于數(shù)列n*a^n，其極限為0 4 用數(shù)列極限的定義證明
3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞
(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞
(3)lim[根號(n+1)-根號(n)]=0 n→∞
(4)lim0.999…9=1 n→∞ n個9 5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個忙。。lim就省略不打了。。
函數(shù)極限證明格式 函數(shù)極限定義證明例題篇二
習(xí)題
1.按定義證明下列極限:
(1)limx???6x?5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x?2x
x2?5?1;(4)lim?(3)lim2x???x?1x?2
(5)limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;
2.根據(jù)定義2敘述limf (x)≠ a.x?x0
3.設(shè)limf (x)= a.,證明limf(x0+h)= a.x?x0h?0
4.證明:若limf (x)= a,則lim| f(x)| = |a|.當(dāng)且僅當(dāng)a為何值時反之也成立? x?x0x?x0
5.證明定理3.1
6.討論下列函數(shù)在x0→0 時的極限或左、右極限:(1)f(x)=x
x;(2)f(x)= [x]
?2x;x?0.?(3)f(x)=?0;x?0.?1?x2,x?0.?
7.設(shè) limf(x)= a,證明limf(x???x?x01)= a x
8.證明:對黎曼函數(shù)r(x)有l(wèi)imr (x)= 0 , x0∈[0,1](當(dāng)x0=0或1時,考慮單側(cè)極限).x?x0
習(xí)題
1． 求下列極限：
x2?1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;?x?02x2?x?1x?22
x2?1?x?1???1?3x?;
lim(3)lim;(4)
x?12x2?x?1x?0x2?2x3
xn?1(5)limm(n,m 為正整數(shù))；（6）lim
x?1xx?4?1
（7）lim
x?0
?2x?3x?2
70；
a2?x?a?3x?6??8x?5?.（a>0）;(8)lim
x???x5x?190
2． 利用斂性求極限：(1)lim
x???
x?cosxxsinx
;(2)lim2
x?0xx?4
x?x0
3． 設(shè) limf(x)=a, limg(x)=b.證明：
x?x0
（1）lim[f(x)±g(x)]=a±b;
x?x0
（2）lim[f(x)g(x)]=ab;
x?x0
（3）lim
x?x0
f(x)a
=(當(dāng)b≠0時)g(x)b
4． 設(shè)
a0xm?a1xm?1???am?1x?am
f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1
b0x?b1x???bn?1x?bn
試求 limf(x)
x???
5． 設(shè)f(x)>0, limf(x)=a.證明
x?x0
x?x0
lim
f(x)=a，其中n≥2為正整數(shù).6.證明limax=1(0n
x?0
7.設(shè)limf(x)=a, limg(x)=b.x?x0
x?x0
(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x)
（2）證明：若a>b,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x)> g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數(shù)）：(1)lim ?
x?0
x
x11
lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x
x?x2???xn?n
(3)lim;(4)lim
x?0x?0x?1
?x?1
x
(5)lim
x??
?x?(提示：參照例1)
x
x?0
x?0
x?0
9．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問是否成立limf(x)=limf(x2)?
x?0
x?0
x?0
習(xí)題
1.敘述函數(shù)極限limf(x)的歸結(jié)原則,并應(yīng)用它證明limcos x不存在.n???
n???
2.設(shè)f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數(shù).證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在n???
[a,+?)上有上(下)界.3.(1)敘述極限limf (x)的柯西準(zhǔn)則;
n???
(2)根據(jù)柯西準(zhǔn)則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應(yīng)用它證明limsin x不存在.n???
n???
4.設(shè)f在∪0(x0)內(nèi)有定義.證明:若對任何數(shù)列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都
n??
n??
存在,則所有這極限都相等.提示: 參見定理3.11充分性的證明.5設(shè)f為∪0(x0)上的遞減函數(shù).證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=
0x?u?
?x0?
0x?un(x0)
inff(x)
6.設(shè) d(x)為狄利克雷函數(shù),x0∈r證明limd(x)不存在.x?x0
7.證明:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0
x???
8.證明定理3.9
習(xí)題
1.求下列極限
sin2xsinx3
(1)lim;(2)lim
x?0x?0sinx2x
(3)lim
x?
cosxx?
?
tanx?sinxarctanx
lim(5)lim;(6);3x?0x?0xx
sin2x?sin2a1
(7)limxsin;(8)lim;
x???x?axx?a
;(4)lim
x?0
tanx
;x
?cosx2
(9)lim;(10)lim
x?0x?01?cosxx?1?1
sin4x
2.求下列極限
12?x
(1)lim(1?);(2)lim?1?ax?x(a為給定實(shí)數(shù));
n??x?0x
x
(3)lim?1?tanx?
x?0
cotx
;(4)lim?
?1?x?
?;
x?01?x??
(5)lim（x???
3x?22x?1?);(6)lim(1?)?x(?,?為給定實(shí)數(shù))
n???3x?1x
3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結(jié)原則計算下列極限: (1)limnsin
n??
?
x?0n??
??
?
x2
xx???cos?1 2n??22??
?
n
;(2)
習(xí)題
1． 證明下列各式
(1)2x－x2=o(x)(x→0);(2)x sinx?o(x)(x→0);
+
(3)?x?1?o(1)(x→0);
(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數(shù))(5)2x3 + x2=o(x3)(x→∞);
(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)
(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 應(yīng)用定理3.12求下列極限：
?x2?1x(1)lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx
x3． 證明定理3.13
4． 求下列函數(shù)所表示曲線的漸近線：
13x3?4
(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2
xx?2x
5． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→0時為同階無窮小量：
(1)sin2x－2sinx;(2)
－(1－x);1?x
(3)?tanx??sinx;(4)
x2?4x3
6． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→∞時為同階無窮大量：
(1)
x2?x5;(2)x+x2(2+sinx);
(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若s為無上界數(shù)集，則存在一遞增數(shù)列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)
8． 證明：若f為x→r時的無窮大量，而函數(shù)g在某u0(r)上滿足g(x)≥k>0，則fg為x→r
時的無窮大量。
9． 設(shè) f(x)~g(x)(x→x0)，證明：
f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))
總 練習(xí)題
1． 求下列極限：
?1
(x?[x])lim([x]?1)(1)lim;(2)??
x?3
x?1
(3)lim（x???
a?xb?x?a?xb?x)
xx?a
(4)lim
x???
(5)lim
xx?a
x???
(6)lim
?x??x?x??x
x?0
(7)lim?
n??m,m,n 為正整數(shù) ?n?x?11?xm1?x??
2． 分別求出滿足下述條件的常數(shù)a與b：
?x2?1?
(1)lim??ax?b???0 x????x?1??
x(3)limx
(2)lim
x???x???x?2
??x?1?ax?b??0
?x?1?ax?b?0
x?2
3． 試分別舉出符合下列要求的函數(shù)f：
(1)limf(x)?f(2)；(2)limf(x)不存在。
4． 試給出函數(shù)f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點(diǎn)x0處有l(wèi)imf(x)?0。這同極限的x?x0
局部保號性有矛盾嗎？
5． 設(shè)limf(x)?a，limg(u)?b，在何種條件下能由此推出
x?a
g?a
limg(f(x))?b?
x?a
6． 設(shè)f(x)=x cos x。試作數(shù)列
(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數(shù)列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數(shù)列：
(1)liman?r?1
n??
(2)lim
an?1
?s?1(an≠0,n=1,2,…)
n??an
n2
n2
8． 利用上題（1）的結(jié)論求極限：
(1)lim?1?
?n??
?1??1??(2)lim?1??
n??n??n?
9． 設(shè)liman???，證明
n??
(1)lim
(a1?a2???an)??? n??n
n??
(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結(jié)果求極限：
(1)limn!(2)lim
n??
in(n!)
n??n
11.設(shè)f為u-0(x0)內(nèi)的遞增函數(shù)。證明：若存在數(shù)列{xn}?u-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得
limf(xn)?a，則有
n??
f(x0－0)=
supf(x)?a
0x?u?(x0)
12.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?a。證明：f(x)?a，x∈(0,+∞)
x???
13.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)此上滿足方程f (x2)= f(x)，且
f(x)=limf(x)?f(1)lim?
x?0
x???
證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)
14.設(shè)函數(shù)f定義在(a,+∞)上，f在每一個有限區(qū)間內(nèi)(a,b)有界，并滿足
x???
lim(f(x?1)?f(1))?a證明
x???
lim
f(x)
?a x
函數(shù)極限證明格式 函數(shù)極限定義證明例題篇三
函數(shù)極限的性質(zhì)證明
x1=2,xn+1=2+1/xn,證明xn的極限存在，并求該極限
求極限我會
|xn+1-a|
以此類推，改變數(shù)列下標(biāo)可得|xn-a|
|xn-1-a|
……
|x2-a|
向上迭代，可以得到|xn+1-a|
2只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。
用數(shù)學(xué)歸納法：
①證明{x(n)}單調(diào)增加。
x(2)=√=√5>x(1);
設(shè)x(k+1)>x(k)，則
x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)
=/【√+√】>0。
②證明{x(n)}有上界。
x(1)=1
設(shè)x(k)
x(k+1)=√
3當(dāng)0
當(dāng)0
構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0
令t=1/a，則：t>
1、a=1/t
且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)
則：
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x
=lim(x→+∞)(分子分母分別求導(dǎo))
=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)
=1/(+∞)
=0
所以，對于數(shù)列n*a^n，其極限為0
用數(shù)列極限的定義證明
3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：
(1)lim=0
n→∞
(2)lim=3/2
n→∞
(3)lim=0
n→∞
(4)lim0.999…9=1
n→∞n個9
5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個忙。。lim就省略不打了。。
n/(n^2+1)=0
√(n^2+4)/n=1
sin(1/n)=0
實(shí)質(zhì)就是計算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了
第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進(jìn)去就行
第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達(dá)法則(不知樓主學(xué)了沒，沒學(xué)的話以后會學(xué)的)
第三題，n趨于無窮時1/n=0，sin(1/n)=0
不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0
lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1
limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0
函數(shù)極限證明格式 函數(shù)極限定義證明例題篇四
習(xí)題1?3
1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:
(1)lim(3x?1)?8;x?3
(2)lim(5x?2)?12;x?2
x2?4??4;(3)limx??2x?2
1?4x3
(4)lim?2.x??2x?12
1證明(1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3
1證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?3|??時, 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33
1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5
1證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?2|??時, 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25
(3)分析
|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2
x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?2)|??時, 有x??2x?2x?2
(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222
1?4x3111?4x3
?2??, 所以lim證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?)|??時, 有?2.12x?12x?122x??2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:
(1)lim1?x3
2x3
sinxx???1;2(2)limx???x?0.證明(1)分析
|x|?1
1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.證明 因為?? ?0, ?x?(2)分析
sinxx?0?
12?, 當(dāng)|x|?x時, 有1x
1?x32x311?x31???, 所以lim?.x??2x322
1x
??, 即x?
sinxx
|sinx|x
?, 要使
sinx
證明 因為???0, ?x?
?2, 當(dāng)x?x時, 有
xsinxx
?0??, 只須
?
.?0??, 所以lim
x???
?0.3.當(dāng)x?2時,y?x2?4.問?等于多少, 使當(dāng)|x?2|n
解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨設(shè)|x?2|?1, 即1?x?3.要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0.001, 只要
|x?2|?
0.001
?0.0002, 取??0.0002, 則當(dāng)0?|x?2|??時, 就有|x2?4|?0.001.5
x2?1x?
34.當(dāng)x??時, y?
x2?1x2?3
?1, 問x等于多少, 使當(dāng)|x|>x時, |y?1|n
解 要使?1?
4x2?3
?0.01, 只|x|?
?3?397, x?.0.01
5.證明函數(shù)f(x)?|x| 當(dāng)x?0時極限為零.x|x|
6.求f(x)?, ?(x)?當(dāng)x?0時的左﹑右極限, 并說明它們在x?
證明 因為
x
limf(x)?lim?lim1?1，x?0?x?0?xx?0?x
limf(x)?lim?lim1?1，x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??
x?0
x?0
所以極限limf(x)存在.x?0
因為
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
|x|?x
?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
lim?(x)?lim?(x),??
x?0
x?0
所以極限lim?(x)不存在.x?0
7.證明: 若x???及x???時, 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于a, 則limf(x)?a.x??
證明 因為limf(x)?a, limf(x)?a, 所以??>0，x???
x???
?x1?0, 使當(dāng)x??x1時, 有|f(x)?a|??;?x2?0, 使當(dāng)x?x2時, 有|f(x)?a|??.取x?max{x1, x2}, 則當(dāng)|x|?x時, 有|f(x)?a|?? , 即limf(x)?a.x??
8.根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x?x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.證明 先證明必要性.設(shè)f(x)?a(x?x0), 則??>0, ???0, 使當(dāng)0n
|f(x)?a|n
因此當(dāng)x0??n
|f(x)?a|n
這說明f(x)當(dāng)x?x0時左右極限都存在并且都等于a.再證明充分性.設(shè)f(x0?0)?f(x0?0)?a, 則??>0,??1>0, 使當(dāng)x0??10, 使當(dāng)x0n
取??min{?1, ?2}, 則當(dāng)0n
| f(x)?a|n
即f(x)?a(x?x0).9.試給出x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明.解 x??時函數(shù)極限的局部有界性的定理? 如果f(x)當(dāng)x??時的極限存在? 則存在x?0及m?0? 使當(dāng)|x|?x時? |f(x)|?m?
證明 設(shè)f(x)?a(x??)? 則對于? ?1? ?x?0? 當(dāng)|x|?x時? 有|f(x)?a|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?a?a|?|f(x)?a|?|a|?1?|a|?
這就是說存在x?0及m?0? 使當(dāng)|x|?x時? |f(x)|?m? 其中m?1?|a|?
函數(shù)極限證明格式 函數(shù)極限定義證明例題篇五
二元函數(shù)極限證明
二元函數(shù)極限證明
設(shè)p=f(x,y),p0=(a,b)，當(dāng)p→p0時f(x,y)的極限是x,y同時趨向于a,b時所得到的稱為二重極限。
此外，我們還要討論x,y先后相繼地趨于a,b時的極限,稱為二次極限。
我們必須注意有以下幾種情形：’
(1)兩個二次極限都不存在而二重極限仍有可能存在(2)兩個二次極限存在而不相等
(3)兩個二次極限存在且相等，但二重極限仍可能不存在 2 函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時極限存在，不妨設(shè)：limf(x)=a(x→x0)根據(jù)定義:對任意ε>0,存在δ>0,使當(dāng)|x-x0|
而|x-x0|
又因為ε有任意性,故可取ε=1,則有:|f(x)-a|0,當(dāng)任意x屬于x0的某個鄰域u(x0;δ)時,有|f(x)| 證畢
3首先，我的方法不正規(guī)，其次，正確不正確有待考察。
1 / 29
二元函數(shù)極限證明
1，y以y=x^2-x的路徑趨于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路徑趨于0結(jié)果是無窮大。
2，3可以用類似的方法，貌似同濟(jì)書上是這么說的，二元函數(shù)在該點(diǎn)極限存在，是p(x,y)以任何方式趨向于該點(diǎn)。
4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)顯然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在當(dāng)x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0處是波動的所以不存在而當(dāng)x->0,y->0時
由|sin(1/x)|0,y->0時，f的極限就為0 這個就是你說的，唯一不一樣就是非正常極限是不存在而不是你說的正無窮或負(fù)無窮或無窮，我想這個就可以了 就我這個我就線了好久了 5
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二元函數(shù)極限證明
(一)時函數(shù)的極限： 以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義(和.)幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗證例2驗證例3驗證證……(二)時函數(shù)的極限： 由考慮時的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由= 為使需有為使需有于是,倘限制,就有 例7驗證例8驗證(類似有(三)單側(cè)極限: 1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有
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二元函數(shù)極限證明
=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時)教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。
教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。
教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。教學(xué)方法：講練結(jié)合。一、組織教學(xué)：
我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：
(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保號性: 4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)): th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有)註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性: 6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)
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二元函數(shù)極限證明
(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限： (注意前四個極限中極限就是函數(shù)值)這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.例1(利用極限和)例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時的極限.例4 例5例6例7 §2二元函數(shù)的極限(一)教學(xué)目的：
掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系．
(二)教學(xué)內(nèi)容：二元函數(shù)的極限的定義；累次極限． 基本要求：
(1)掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，熟悉判別極限存在性的基本方法．
(2)較高要求：掌握重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，能用來處理極限存在性問題．
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二元函數(shù)極限證明
(三)教學(xué)建議：
(1)要求學(xué)生弄清一元函數(shù)極限與多元函數(shù)極限的聯(lián)系與區(qū)別，教會他們求多元函數(shù)極
限的方法．
(2)對較好學(xué)生講清重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，通過舉例介紹判別極限存在性的較完整的方法．
一二元函數(shù)的極限
先回憶一下一元函數(shù)的極限：limf(x)?a的“???”定義(c31)： x?x0 0設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一空心鄰域u(x0,?1)內(nèi)由定義，如果對 ???0,當(dāng)
x?u(x0,?)，即
|x?x0|??
時，都
有|f(x)?a|??，???0,???1，則稱x?x0時，函數(shù)f(x)的極限是a.類似的，我們也可以定義二元函數(shù)的極限如下：
設(shè)二元函數(shù)f(x,y)為定義在d?r2上的二元函數(shù)，在點(diǎn)p0(x0,y0)為d的一個聚點(diǎn)，a是一個確定的常數(shù)，如果對???0,???0，使得當(dāng)p(x,y)?u(p0,?)?d時，0都有|f(p)?a|??，則稱f在d上當(dāng)p?p0時，以a為極限。記作
p?p0p?dlimf(p)?a
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二元函數(shù)極限證明
也可簡寫為limf(p)?a或 p?p0(x,y)?(x0,y0)2limf(x,y)?a例1用定義驗證 2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7222明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1| ?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1| 限制在（2，1）的鄰域{(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1} |x?3|?6, |x?y?1|?6 取??min{1,?/6}，則有 |x?xy?y|?? 由二元函數(shù)極限定義lim(x,y)?(2,1)(x?xy?y)?7 22 22 ?x?y ,(x,y)?(0,0)?xy22 例2f(x,y)??x?y，?0,(x,y)?(0,0)?
證
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二元函數(shù)極限證明
證明lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?0 x?yx?y 22 22 證|f(x,y)|?|xy 所以 lim(x,y)?(0,0)|?|xy| lim(x,y)?(0,0)|f(x,y)|?lim(x,y)?(0,0)|xy|?0 |f(x,y)|?0 對于二元函數(shù)的極限的定義，要注意下面一點(diǎn)： p?p0
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二元函數(shù)極限證明
limf(p)?a是指：p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0)，包括沿任何直線，沿任
何曲線趨于p0(x0,y0)時，f(x,y)必須趨于同一確定的常數(shù)。對于一元函數(shù)，x僅需沿x軸從x0的左右兩個方向趨于x0，但是對于二元函數(shù)，p趨于p0的路線有無窮多條，只要有兩條路線，p趨于p0時，函數(shù)f(x,y)的值趨于不同的常數(shù)，二元函數(shù)在p0點(diǎn)極限就不存在。
?1,0?y?x2 例1二元函數(shù)f(x,y)?? ?0,rest 請看圖像（x62），盡管p(x,y)沿任何直線趨于原點(diǎn)時f(x,y)都趨于零，但也不能說該函數(shù)在原點(diǎn)的極限就是零，因為當(dāng)p(x,y)沿拋物線y?kx,0?k?1時，f(x,y)的值趨于１而不趨于零，所以極限不存在。
(考慮沿直線y?kx的方向極限).?x2y ,? 例2設(shè)函數(shù)f(x,y)??x2?y2 ?0,?(x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)求證limf(x,y)?0
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二元函數(shù)極限證明
x?0 y?0 證明因為|f(x,y)?0|? x|y|x?y ? x|y|x ?|y| 所以，當(dāng)(x,y)?(0,0)時，f(x,y)?0。
請看它的圖像，不管p(x,y)沿任何方向趨于原點(diǎn)，f(x,y)的值都趨于零。
通常為證明極限limf(p)不存在,可證明沿某個方向的極限不存在,或證明沿某兩
p?p0 個方向的極限不相等,或證明方向極限與方向有關(guān).但應(yīng)注意,沿任何方向的極限存在且相等??全面極限存在.例3 設(shè)函數(shù)
(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)?xy ,?22 f(x,y)??x?y
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二元函數(shù)極限證明
?0,? 證明函數(shù)f(x,y)在原點(diǎn)處極限不存在。證明盡管p(x,y)沿ｘ軸和ｙ軸
趨于原點(diǎn)時(f(x,y)的值都趨于零，但沿直線y?mx趨于原點(diǎn)時 x?mxx?(mx)f(x,y)?? mx 22(1?m)x ? m1?m 沿斜率不同的直線趨于原點(diǎn)時極限不一樣，請看它的圖象,例１沿任何路線趨于原點(diǎn)時，極
限都是0，但例２沿不同的路線趨于原點(diǎn)時，函數(shù)趨于不同的值，所以其極限不存在。
例4 非正常極限極限 lim(x,y)?(x0,y0)
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二元函數(shù)極限證明
判別函數(shù)f(x,y)? xy?1?1x?y 在原點(diǎn)是否存在極限.f(x,y)???的定義: 12x?3y 例1設(shè)函數(shù)f(x,y)?證明limf(x,y)?? x?0y?0 證| 12x?3y |?| 13(x?y)| 只要取?? 16m |x?0|??,|y?0|??時，都有 | 12x?3y16? 22 |?| 13(x?y)
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二元函數(shù)極限證明
| ??m 12x?3y 請看它的圖象，因此是無窮大量。例2求下列極限:i)lim xyx?y 22;ii)(x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0)lim sinxyy;iii)(x,y)?(0,0)lim xy?1?1xy;iv)(x,y)?(0,0)lim
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二元函數(shù)極限證明
ln(1?x?y)x?y 22.二.累次極限:累次極限
前面講了p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0)時的極限，我們稱它為二重極限，對于兩個自變量x,y依一定次序趨于x0,y0時f(x,y)的極限，稱為累次極限。對于二元函數(shù)f(x,y)在p0(x0,y0)的累次極限由兩個
limlimf(x,y)和limlimf(x,y)y?y0x?x0 x?x0y?y0 例1 f(x,y)? xyx?yx?yx?y 222 ,求在點(diǎn)(0,0)的兩個累次極限.22 例2f(x,y)?,求在點(diǎn)(0,0)的兩個累次極限.例3f(x,y)?xs(請你支持：)in
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二元函數(shù)極限證明
1y ?ysin 1x ,求在點(diǎn)(0,0)的兩個累次極限.二重極限與累次極限的關(guān)系:（１）兩個累次極限可以相等也可以不相等，所以計算累次極限
例函數(shù)f(x,y)? x?y?x?y x?y 22 的兩個累次極限是y?yyx?xx 22 limlim x?y?x?y x?yx?y?x?y x?y y?0x?0 ?lim y?0
15 / 29 時一定要注意不能隨意改變它們的次序。二元函數(shù)極限證明
?lim(y?1)??1 y?0 ?lim(x?1)?1 x?0 limlim x?0y?0 ?lim x?0（２）兩個累次極限即使都存在而且相等，也不能保證二重極限存在例f(x,y)? xyx?y xyx?y，兩個累次極限都存在 limlim y?0x?0 ?0,limlim xyx?y x?0y?0 ?0
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二元函數(shù)極限證明
但二重極限卻不存在，事實(shí)上若點(diǎn)p(x,)沿直線y?kx趨于原點(diǎn)時，kx f(x,y)? x?(kx)? k1?k 二重極限存在也不能保證累次極限存在二重極限存在時,兩個累次極限可以不存在.例函數(shù)f(x,y)?xsin 1y?ysin 1x 由|f(x,y)|?|x|?|y|?0,(x,y)?(0,0).可見二重極限存在,但 1x limsin x?0 和limsin y?0 1y 不存在，從而兩個累次極限不存在。（4）二重極限極限lim
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二元函數(shù)極限證明
(x,y)?(x0,y0)f(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存 x?x0y?y0 在,則必相等.(證)（5）累次極限與二重極限的關(guān)系
若累次極限和二重極限都存在，則它們必相等 二元函數(shù)極限的研究 作者：鄭露遙指導(dǎo)教師：楊翠
摘要函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容，二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，本文討論了二元函數(shù)極限的定義、二元函數(shù)極限存在或不存在的判定方法、求二元函數(shù)極限的方法、簡單討論二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限的關(guān)系以及二元函數(shù)極限復(fù)雜的原因、最后討論二重極限與累次極限的關(guān)系。
關(guān)鍵詞二元函數(shù)極限、累次極限、二重極限、連續(xù)性、判別法、洛必達(dá)法則、運(yùn)算定理
1引言
函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容,關(guān)于一元函數(shù)的極限及其求法,各種教材中都有詳盡的說明。二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。例如,在極運(yùn)算法則上,它們是一致的,但隨著變量個數(shù)的增加,二元函數(shù)極限比一元函數(shù)
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二元函數(shù)極限證明
極限變得復(fù)雜得多,但目前的各類教材、教學(xué)參考書中有關(guān)二元函數(shù)極限的求法介紹不夠詳二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的一個基本概念,它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個定值時,函數(shù)值的變化趨勢。是高等數(shù)學(xué)中一個極其重要的問題。但是,一般來說,二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限,無論從計算還是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問題作如下探討求一元函數(shù)的極限問題,主要困難多數(shù)集中于求未定型極限問題,而所有未定型的極限又總可轉(zhuǎn)化為兩類基本型即00與∞∞型,解決這兩類基本未定型的有力工具是洛泌達(dá)(lhospital)法則。類似地,二元函數(shù)基本未定型的極限問題也有相似的洛泌達(dá)法則。為了敘述上的方便,對它的特殊情形(即(x0,y0)=(0,0))作出如下研究,并得到相應(yīng)的法則與定理。二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的一個基本概念,它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個定值時,函數(shù)
值的變化趨勢。是高等數(shù)學(xué)中一個極其重要的問題。但是,一 般來說,二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限,無論從計算還 是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問題作如 下探討。
§2.3二元函數(shù)的極限與連續(xù) 定義
設(shè)二元函數(shù)有意義,若存在19 / 29
二元函數(shù)極限證明
常數(shù)a, 都有
則稱a是函數(shù)當(dāng)點(diǎn)趨于點(diǎn) 或 或
趨于點(diǎn)時的極限,記作。的方式無關(guān),即不,當(dāng)（即）時，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)或 必須注意這個極限值與點(diǎn) 論p以什么方
向和路徑（也可是跳躍式地，忽上忽下地）趨向
分接近,就能使。只要p與充與a接近到預(yù)先任意指定的程度。注意：點(diǎn)p趨于點(diǎn)點(diǎn)方式可有無窮多
種,比一元函數(shù)僅有左,右兩個單側(cè)極限要復(fù)雜的多（圖8-7）。圖8-7 同樣我們可用歸結(jié)原則,若發(fā)現(xiàn)點(diǎn)p按兩個特殊的路徑趨于點(diǎn)時, 極限 在該點(diǎn)
存在,但不相等,則可以判定元函數(shù)極限不存在的重要方法之一。極限不存在。這是判斷多
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二元函數(shù)極限證明
一元函數(shù)極限中除了單調(diào)有界定理外,其余的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論,在二元函數(shù)極
限理論中都適用，在這里就不一一贅述了。例如若 有 ,其中。
求多元函數(shù)的極限,一般都是轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限來求,或利用夾逼定理
來計算。例4求。解由于 , 而,根據(jù)夾逼定理知 ,所以。a≠0)。解 例 求（。例6求。解
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二元函數(shù)極限證明
由于理知
且,所以根據(jù)夾逼定.例7 研究函數(shù) 在點(diǎn)
處極限是否存在。解當(dāng)x2 +y2≠0時，我們研究函數(shù)，沿x→0,y=kx→0這一方式趨于（0，0）的極限，有值，可得到不同的極限值,所以極限 不存在,但,。很顯然，對于不同的k。
注意：極限方式的 的區(qū)別,前面兩個求
本質(zhì)是兩次求一元函數(shù)的極限,我們稱為累次極限,而最后一個是求二元函數(shù)的極限,我們稱為求二重極限。例8 設(shè)函數(shù)極限都不存在,因 為對任何
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二元函數(shù)極限證明,當(dāng) 時 ,。它關(guān)于原點(diǎn)的兩個累次 的第二項不存在極限；同理對任何 時,的第一項也不存在極限, 但是因此。
由例7知,兩次累次極限存在,但二重極限不存在。由例8可知,二重極限存
在,但二個累次極限不存在。我們有下面的結(jié)果:定理1若累次極限
都存在,則
三者相等（證明略）。推論 若但不相等, 則二重極限 不 存在 和二重極 限
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二元函數(shù)極限證明, 由于 , 存在。定義設(shè)
在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有意義, 且稱 函 數(shù) ,則 在 點(diǎn) 處 連 續(xù) , 記
上式稱為函數(shù)(值)的全增量。則。
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二元函數(shù)極限證明
定義 增量。
為函數(shù)(值)對x的偏 二元函數(shù)連續(xù)的定義可寫為 偏增量。若 斷點(diǎn),若 在點(diǎn)
為函數(shù)（值）對y的 處不連續(xù), 則稱點(diǎn) 是 的間 在某區(qū)域
在區(qū)域g上連續(xù)。若 在閉區(qū)域g g上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱的每一內(nèi)點(diǎn)都連續(xù),并在g的連界點(diǎn) 處成立 , 則稱
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二元函數(shù)極限證明
為連續(xù)曲面。
在閉域g上連續(xù)。閉域上連續(xù)的二元函數(shù)的圖形稱
關(guān)于一元函數(shù)連續(xù)的有關(guān)性質(zhì),如最值定理、介值定理、cantor 定理,對于
二元函數(shù)也相應(yīng)成立?？梢宰C明如下的重要結(jié)果：定理2設(shè) 在平面有界閉區(qū)域g上連續(xù),則
（1）必在g上取到最大值,最小值及其中間的一切值;（2）,當(dāng) 時,都有
。以上關(guān)于二元函數(shù)的 在g上一致連續(xù),即
極限和連續(xù)的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論在n元函數(shù)中仍然成立。函數(shù)極限的證明(一)時函數(shù)的極限： 以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義(和.)幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.26 / 29
二元函數(shù)極限證明
例1驗證例2驗證例3驗證證……(二)時函數(shù)的極限： 由考慮時的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由= 為使需有為使需有于是,倘限制,就有 例7驗證例8驗證(類似有(三)單側(cè)極限: 1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有 =§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時)教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。
教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不
教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。
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教學(xué)方法：講練結(jié)合。一、組織教學(xué)：
我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：
(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保號性: 4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)): th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有)註:若在th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性: 6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)
(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限： (注意前四個極限中極限就是函數(shù)值)這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.28 / 29
二元函數(shù)極限證明
例1(利用極限和)例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時的極限.例4 例5例6例7 函數(shù)極限證明 函數(shù)極限的性質(zhì)證明 函數(shù)極限的定義證明 利用函數(shù)極限定義證明11 用定義證明函數(shù)極限方法總結(jié)29 / 29
