2025年高中數(shù)學三角函數(shù)教案全冊(7篇)

作為一位杰出的老師，編寫教案是必不可少的，教案有助于順利而有效地開展教學活動。寫教案的時候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？下面我?guī)痛蠹艺覍げ⒄砹艘恍﹥?yōu)秀的教案范文，我們一起來了解一下吧。

高中數(shù)學三角函數(shù)教案全冊篇一

sin(a+b)= sinacosb+cosasinbsin(a-b)= sinacosb-cosasinbcos(a+b)= cosacosb-sinasinbcos(a-b)= cosacosb+sinasinb

tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)倍角公式

tan2a = 2tana/(1-tan^2 a)sin2a=2sina?cosa

cos2a = cos^2 a--sin^2 a=2cos^2 a—1=1—2sin^2 a 三倍角公式

sin3a = 3sina-4(sina)^3;cos3a = 4(cosa)^3-3cosa

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)半角公式

sin(a/2)= √{(1--cosa)/2}cos(a/2)= √{(1+cosa)/2}

tan(a/2)= √{(1--cosa)/(1+cosa)}

tan(a/2)=(1--cosa)/sina=sina/(1+cosa)和差化積

sin(a)+sin(b)= 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sin(a)-sin(b)= 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]cos(a)+cos(b)= 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cos(a)-cos(b)=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb 積化和差

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)= 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b)= 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b)= 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] 誘導公式

sin(-a)=-sin(a)cos(-a)= cos(a)sin(π/2-a)= cos(a)cos(π/2-a)= sin(a)sin(π/2+a)= cos(a)cos(π/2+a)=-sin(a)sin(π-a)= sin(a)cos(π-a)=-cos(a)sin(π+a)=-sin(a)cos(π+a)=-cos(a)tana = sina/cosa 萬能公式

sin(a)= [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]^2}

cos(a)= {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]^2} tan(a)= [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}

其它公式

a·sin(a)+b·cos(a)= [√(a^2+b^2)]*sin(a+c)[其中，tan(c)=b/a]a·sin(a)-b·cos(a)= [√(a^2+b^2)]*cos(a-c)[其中，tan(c)=a/b]

1+sin(a)= [sin(a/2)+cos(a/2)]^2;1-sin(a)= [sin(a/2)-cos(a/2)]^2;;公式一：

設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：

sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanα公式二：

設α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關系：sin（π＋α）=-sinαcos（π＋α）=-cosαtan（π＋α）= tanα公式三：

任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關系：sin（-α）=-sinαcos（-α）= cosαtan（-α）=-tanα公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanα公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關系：sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）=-tanα公式六：

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關系： sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）=-sinαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαsin（3π/2+α）=-cosαcos（3π/2+α）= sinαsin（3π/2-α）=-cosαcos（3π/2-α）=-sinα

高中數(shù)學三角函數(shù)教案全冊篇二

高中數(shù)學—三角函數(shù)公式大全

銳角三角函數(shù)公式

sin α=∠α的對邊 / 斜邊

cos α=∠α的鄰邊 / 斜邊

tan α=∠α的對邊 / ∠α的鄰邊

cot α=∠α的鄰邊 / ∠α的對邊

倍角公式

sin2a=2sina?cosa

cos2a=cosa^2-sina^2=1-2sina^2=2cosa^2-1tan2a=（2tana）/（1-tana^2）

（注：sina^2 是sina的平方 sin2（a））三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推導

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

輔助角公式

asinα+bcosα=(a^2+b^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=b/(a^2+b^2)^(1/2)

cost=a/(a^2+b^2)^(1/2)

tant=b/a

asinα+bcosα=(a^2+b^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=a/b降冪公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

推導公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina

成都家教濟南家教

=3sina-4sin3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa

=4cos3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin3a

=4sina(3/4-sin2a)

=4sina[(√3/2)2-sin2a]

=4sina(sin260°-sin2a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos3a-3cosa

=4cosa(cos2a-3/4)

=4cosa[cos2a-(√3/2)2]

=4cosa(cos2a-cos230°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述兩式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

半角公式

tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa);

cot(a/2)=sina/(1-cosa)=(1+cosa)/^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

三角和

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

兩角和差

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化積

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ =-2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb=tan(a+b)(1-tanatanb)

tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb=tan(a-b)(1+tanatanb)

積化和差

sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2

cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

誘導公式

sin(-α)=-sinα

cos(-α)= cosα

tan(—a)=-tanα

sin(π/2-α)= cosα

cos(π/2-α)= sinα

sin(π/2+α)= cosα

cos(π/2+α)=-sinα

sin(π-α)= sinα

cos(π-α)=-cosα

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tana= sina/cosa

tan（π/2＋α）＝－cotα

tan（π/2－α）＝cotα

tan（π－α）＝－tanα

tan（π＋α）＝tanα

誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限

萬能公式

sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］

cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］

tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］

其它公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)^2,第二個除(cosα)^2即可

(4)對于任意非直角三角形,總有

tana+tanb+tanc=tanatanbtanc

證:

a+b=π-c

tan(a+b)=tan(π-c)

(tana+tanb)/(1-tanatanb)=(tanπ-tanc)/(1+tanπtanc)

整理可得

tana+tanb+tanc=tanatanbtanc

得證

同樣可以得證,當x+y+z=nπ(n∈z)時,該關系式也成立

由tana+tanb+tanc=tanatanbtanc可得出以下結論

(5)cotacotb+cotacotc+cotbcotc=1

(6)cot(a/2)+cot(b/2)+cot(c/2)=cot(a/2)cot(b/2)cot(c/2)

(7)(cosa）^2+(cosb）^2+(cosc）^2=1-2cosacosbcosc

(8)（sina）^2+（sinb）^2+（sinc）^2=2+2cosacosbcosc

(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanatanbtan(a+b)+tana+tanb-tan(a+b)=0

高中數(shù)學三角函數(shù)教案全冊篇三

高中數(shù)學三角函數(shù)公式定理口訣

三角函數(shù)是函數(shù)，象限符號坐標注。函數(shù)圖象單位圓，周期奇偶增減現(xiàn)。

同角關系很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點處，從上到下弦切割；

中心記上數(shù)字1，連結頂點三角形；向下三角平方和，倒數(shù)關系是對角，頂點任意一函數(shù)，等于后面兩根除。誘導公式就是好，負化正后大化小，變成稅角好查表，化簡證明少不了。二的一半整數(shù)倍，奇數(shù)化余偶不變，將其后者視銳角，符號原來函數(shù)判。兩角和的余弦值，化為單角好求值，余弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互余角度變名稱。

計算證明角先行，注意結構函數(shù)名，保持基本量不變，繁難向著簡易變。

逆反原則作指導，升冪降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。

萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運用加巧用；

1加余弦想余弦，1減余弦想正弦，冪升一次角減半，升冪降次它為范；

三角函數(shù)反函數(shù)，實質(zhì)就是求角度，先求三角函數(shù)值，再判角取值范圍；

利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為最簡求解集。

山西鐵路工程建設監(jiān)理有限公司

劉榮申

高中數(shù)學三角函數(shù)教案全冊篇四

一、見“給角求值”問題，運用“新興”誘導公式

一步到位轉換到區(qū)間（-90o，90o）的公式.(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈z)；(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈z)；

(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈z)；(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈z).

二、見“sinα±cosα”問題，運用三角“八卦圖”

α+cosα>0(或n

α-cosα>0(或n

3.|sinα|>|cosα|óα的終邊在ⅱ、ⅲ的區(qū)域內(nèi);

4.|sinα|n

三、見“知1求5”問題，造rt△，用勾股定理，熟記常用勾股數(shù)（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符號看象限”。

四、見“切割”問題，轉換成“弦”的問題。

五、“見齊思弦”=>“化弦為一”：已知tanα,求sinα與cosα的齊次式，有些整式情形還可以視其分母為1，轉化為sin2α+cos2α.

六、見“正弦值或角的平方差”形式，啟用“平方差”公式：

(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.七、見“sinα±cosα與sinαcosα”問題，起用平方法則：

(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故

1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),則2sinαcosα=t2-1=sin2α;

2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),則2sinαcosα=1-t2=sin2α.

八、見“tanα+tanβ與tanαtanβ”問題，啟用變形公式:

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？

九、見三角函數(shù)“對稱”問題，啟用圖象特征代數(shù)關系：(a≠0)

1.函數(shù)y=asin(wx+φ)和函數(shù)y=acos(wx+φ)的圖象，關于過最值點且平行于y軸的直線分別成軸對稱；

2.函數(shù)y=asin(wx+φ)和函數(shù)y=acos(wx+φ)的圖象，關于其中間零點分別成中心對稱；

3.同樣，利用圖象也可以得到函數(shù)y=atan(wx+φ)和函數(shù)y=acot(wx+φ)的對稱性質(zhì)。

十、見“求最值、值域”問題，啟用有界性，或者輔助角公式：

1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);

+bcosx=c有解的充要條件是a2+b2≥c2.

十一、見“高次”，用降冪，見“復角”，用轉化.

2x=1-2sin2x=2cos2x-1.

2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等.

高中數(shù)學三角函數(shù)教案全冊篇五

數(shù)學教案－三角函數(shù)第一課時_高一數(shù)學教案_模板

第四章

三角函數(shù) 第一教時

教材：角的概念的推廣 目的：要求學生掌握用“旋轉”定義角的概念，并進而理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。

過程：一、提出課題：“三角函數(shù)”

回憶初中學過的“銳角三角函數(shù)”——它是利用直角三角形中兩邊的比值來定義的。相對于現(xiàn)在，我們研究的三角函數(shù)是“任意角的三角函數(shù)”，它對我們今后的學習和研究都起著十分重要的作用，并且在各門學科技術中都有廣泛應用。二、角的概念的推廣

1．回憶：初中是任何定義角的？（從一個點出發(fā)引出的兩條射線構成的幾何圖形）這種概念的優(yōu)點是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹隘” 2．講解：“旋轉”形成角（p4）

突出“旋轉” 注意：“頂點”“始邊”“終邊” “始邊”往往合于 軸正半軸

3．“正角”與“負角”——這是由旋轉的方向所決定的。記法：角 或

可以簡記成4．由于用“旋轉”定義角之后，角的范圍大大地擴大了。1° 角有正負之分

如：a=210° b=-150° g=-660° 2° 角可以任意大

實例：體操動作：旋轉2周（360°×2=720°）3周（360°×3=1080°）3° 還有零角 一條射線，沒有旋轉 三、關于“象限角”

為了研究方便，我們往往在平面直角坐標系中來討論角

角的頂點合于坐標原點，角的始邊合于 軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限）

例如：30° 390°-330°是第ⅰ象限角 300°-60°是第ⅳ象限角 585° 1180°是第ⅲ象限角-2000°是第ⅱ象限角等 四、關于終邊相同的角

1．觀察：390°，-330°角，它們的終邊都與30°角的終邊相同 2．終邊相同的角都可以表示成一個0°到360°的角與 個周角的和

390°=30°+360°

-330°=30°-360° 30°=30°+0×360°

1470°=30°+4×360°

-1770°=30°-5×360°

3．所有與a終邊相同的角連同a在內(nèi)可以構成一個集合即：任何一個與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和 4．例一（p5 略）五、小結： 1° 角的概念的推廣 用“旋轉”定義角 角的范圍的擴大 2°“象限角”與“終邊相同的角” 六、作業(yè)： p7 練習1、2、3、4 習題1.4 1

同角三角函數(shù)的基本關系式 教學目標：

1．掌握同角三角函數(shù)之間的三組常用關系，平方關系、商數(shù)關系、倒數(shù)關系．

2．會運用同角三角函數(shù)之間的關系求三角函數(shù)值或化簡三角式． 教學重點：

理解并掌握同角三角函數(shù)關系式． 教學難點：

已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時正負號的選擇；

教學用具：

直尺、投影儀． 教學步驟：

1．設置情境

與初中學習銳角三角函數(shù)一樣，本節(jié)課我們來研究同角三角函數(shù)之間關系，弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系，實現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉化． 2．探索研究

（1）復習任意角三角函數(shù)定義

上節(jié)課我們已學習了任意角三角函數(shù)定義，如圖1所示，任意角 的六個三角函數(shù)是如何定義的呢？

在 的終邊上任取一點，它與原點的距離是，則角 的六個三角函數(shù)的值是：；

；；

；

（2）推導同角三角函數(shù)關系式

觀察 及，當 時，有何關系？

當 且 時、及 有沒有商數(shù)關系？

通過計算發(fā)現(xiàn) 與 互為倒數(shù)：∵ ．

由于，這些三角函數(shù)中還存在平方關系，請計算 的值．

由三角函數(shù)定義我們可以看到：

．

∴，現(xiàn)在我們將同角三角函數(shù)的基本關系式總結如下：

①平方關系：

②商數(shù)關系：

③倒數(shù)關系：

即同一個角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切，同一個角的正切、余切之積等于1（即同一個角的正切、余切互為倒數(shù)）．上面這三個關系式，我們稱之為恒等式，即當 取使關系式兩邊都有意義的任意值時，關系式兩邊的值相等，在第二個式中，在第三個式中，的終邊不在坐標軸上，這時式中兩邊都有意義，以后解題時，如果沒有特別說明，一般都把關系式看成是意義的．其次，在利用同角三角函數(shù)的基本關系式時，要注意其前提“同角”的條件．

（3）同角三角函數(shù)關系式的應用

同角三角函數(shù)關系式十分重要，應用廣泛，其中一個重要應用是根據(jù)一個角的某一個三角函數(shù)，求出這個角的其他三角函數(shù)值．

【例1】已知，且 是第二象限角，求，的值． 解：∵，且，∴ 是第二或第三象限角．

如果 是第二象限角，那么

如果 是第三象限角，那么，說明：本題沒有具體指出 是第幾象限的角，則必須由 的函數(shù)值決定 可能是哪幾象限的角，再分象限加以討論．

【例2】已知，求 的值．

解：，且，是第二或第三象限角．

如果 是第二象限角，那么

如果 是第三象限角，那么 ．

說明：本題沒有具體指出 是第幾象限角，則必須由 的函數(shù)值決定 可能是哪幾象限的角，再分象限加以討論．

【例3】已知 為非零實數(shù)，用 表示，．

解：因為，所以

又因為，所以

于是 ∴

由 為非零實數(shù)，可知角 的終邊不在坐標軸上，考慮 的符號分第一、第四象限及第二、三象限，從而：

在三角求值過程中應盡量避免開方運算，在不可避免時，先計算與已知函數(shù)有平方關系的三角函數(shù)，這樣可只進行一次開方運算，并可只進行一次符號說明．

同角三角函數(shù)關系式還經(jīng)常用于化簡三角函數(shù)式，請看例4

【例4】化簡下列各式：

（1）；（2）．

解：（1）（2）

3．演練反饋（投影）

（1）已知：，求 的其他各三角函數(shù)值．（2）已知，求，．（3）化簡：

解答：（1）解：∵，所以 是第二、第三象限的角．

如果 是第二象限的角，則：

又

如果 是第三象限的角，那么

（2）解：∵

∴ 是第二或第四象限的角 由【例3】的求法可知當 是第二象限時

當 是第四象限時

（3）解：原式

4．本課小結

（1）同角三角函數(shù)的三組關系式的前提是“同角”，因此，……．

（2）諸如，……它們都是條件等式，即它們成立的前提是表達式有意義．

（3）利用平方關系時，往往要開方，因此要先根據(jù)角所在象限確定符號，即要就角所在象限進行分類討論． 課時作業(yè)：

1．已知，則 等于（）

a．

b． c．

d．

2．若，則 的值是（）

a．－2 b．2 c．±2 d．

3．化簡

4．化簡，其中 為第二象限角． 5．已知，求 的值．

6．已知 是三角形的內(nèi)角，求 值．

參考答案：1．d； 2．b； 3．1； 4． ； 5．3； 6．

注：4．略解：原式

∵ 在第二象限

∴

∴ ． 6．略解：

由，平方得，∴

∵ 是三角形內(nèi)角

∴只有

∴，由

及，聯(lián)立，得：，∴

教學目標

（1）掌握一元二次不等式的解法；

（2）知道一元二次不等式可以轉化為一元一次不等式組；

（3）了解簡單的分式不等式的解法；

（4）能利用二次函數(shù)與一元二次方程來求解一元二次不等式，理解它們?nèi)咧g的內(nèi)在聯(lián)系；

（5）能夠進行較簡單的分類討論，借助于數(shù)軸的直觀，求解簡單的含字母的一元二次不等式；

（6）通過利用二次函數(shù)的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合的數(shù)學思想；

（7）通過研究函數(shù)、方程與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學生認識到事物是相互聯(lián)系、相互轉化的，樹立辨證的世界觀． 教學重點：一元二次不等式的解法；

教學難點：弄清一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的關系． 教與學過程設計 第一課時 ?。O置情境 問題： ①解方程

②作函數(shù) 的圖像 ③解不等式

【置疑】在解決上述三問題的基礎上分析，一元一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系。能通過觀察一次函數(shù)的圖像求得一元一次不等式的解集嗎？

【回答】函數(shù)圖像與x軸的交點橫坐標為方程的根，不等式 的解集為函數(shù)圖像落在x軸上方部分對應的橫坐標。能。

通過多媒體或其他載體給出下列表格。扼要講解怎樣通過觀察一次函數(shù)的圖像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉筆的運用

在這里我們發(fā)現(xiàn)一元一次方程，一次不等式與一次函數(shù)三者之間有著密切的聯(lián)系。利用這種聯(lián)系（集中反映在相應一次函數(shù)的圖像上?。┪覀兛梢钥焖贉蚀_地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現(xiàn)在要求解的一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系起來討論找到其求解方法呢？ ⅱ．探索與研究

我們現(xiàn)在就結合不等式 的求解來試一試。（師生共同活動用“特殊點法”而非課本上的“列表描點”的方法作出 的圖像，然后請一位程度中下的同學寫出相應一元二次方程及一元二次不等式的解集。）【答】方程 的解集為

不等式 的解集為

【置疑】哪位同學還能寫出 的解法？（請一程度差的同學回答）【答】不等式 的解集為

我們通過二次函數(shù) 的圖像，不僅求得了開始上課時我們還不知如何求解的那個第（5）小題 的解集，還求出了 的解集，可見利用二次函數(shù)的圖像來解一元二次不等式是個十分有效的方法。

下面我們再對一般的一元二次不等式 與 來進行討論。為簡便起見，暫只考慮 的情形。請同學們思考下列問題：

如果相應的一元二次方程 分別有兩實根、惟一實根，無實根的話，其對應的二次函數(shù) 的圖像與x軸的位置關系如何？（提問程度較好的學生）

【答】二次函數(shù) 的圖像開口向上且分別與x軸交于兩點，一點及無交點。

現(xiàn)在請同學們觀察表中的二次函數(shù)圖，并寫出相應一元二次不等式的解集。（通過多媒體或其他載體給出以下表格）

【答】 的解集依次是的解集依次是

它是我們今后求解一元二次不等式的主要工具。應盡快將表中的結果記住。其關鍵就是抓住相應二次函數(shù) 的圖像。

課本第19頁上的例1．例2．例3．它們均是求解二次項系數(shù) 的一元二次不等式，卻都沒有給出相應二次函數(shù)的圖像。其解答過程雖很簡練，卻不太直觀?，F(xiàn)在我們在課本預留的位置上分別給它們補上相應二次函數(shù)圖像。

（教師巡視，重點關注程度稍差的同學。）

ⅲ．演練反饋

1．解下列不等式：

（1）

（2）

（3）

（4）

2．若代數(shù)式 的值恒取非負實數(shù)，則實數(shù)x的取值范圍是。

3．解不等式

（1）

（2）

參考答案：

1．（1）；（2）；（3）；（4）r

2．3．（1）

（2）當 或 時，當 時，當 或 時。ⅳ．總結提煉

這節(jié)課我們學習了二次項系數(shù) 的一元二次不等式的解法，其關鍵是抓住相應二次函數(shù)的圖像與x軸的交點，再對照課本第39頁上表格中的結論給出所求一元二次不等式的解集。

（五）、課時作業(yè)

（p20．練習等3、4兩題）

（六）、板書設計

第二課時

?。O置情境

（通過講評上一節(jié)課課后作業(yè)中出現(xiàn)的問題，復習利用“三個二次”間的關系求解一元二次不等式的主要操作過程。）

上節(jié)課我們只討論了二次項系數(shù) 的一元二次不等式的求解問題。肯定有同學會問，那么二次項系數(shù) 的一元二次不等式如何來求解？咱們班上有誰能解答這個疑問呢？

ⅱ．探索研究

（學生議論紛紛．有的說仍然利用二次函數(shù)的圖像，有的說將二次項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后再求解，……．教師分別請持上述見解的學生代表進一步說明各自的見解．）

生甲：只要將課本第39頁上表中的二次函數(shù)圖像次依關于x軸翻轉變成開口向下的拋物線，再根據(jù)可得的圖像便可求得二次項系數(shù) 的一元二次不等式的解集．

生乙：我覺得先在不等式兩邊同乘以－1將二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后直接運用上節(jié)課所學的方法求解就可以了．

師：首先，這兩種見解都是合乎邏輯和可行的．不過按前一見解來操作的話，同學們則需再記住一張類似于第39頁上的表格中的各結論．這不但加重了記憶負擔，而且兩表中的結論容易搞混導致錯誤．而按后一種見解來操作時則不存在這個問題，請同學們閱讀第19頁例4．

（待學生閱讀完畢，教師再簡要講解一遍．）[知識運用與解題研究]

由此例可知，對于二次項系數(shù)的一元二次不等式是將其通過同解變形化為 的一元二次不等式來求解的，因此只要掌握了上一節(jié)課所學過的方法。我們就能求

解任意一個一元二次不等式了，請同學們求解以下兩不等式．（調(diào)兩位程度中等的學生演板）

（1）

（2）

（分別為課本p21習題1．5中1大題（2）、（4）兩小題．教師講評兩位同學的解答，注意糾正表述方面存在的問題．）

訓練二 可化為一元一次不等式組來求解的不等式．

目前我們熟悉了利用“三個二次”間的關系求解一元二次不等式的方法雖然對任意一元二次不等式都適用，但具體操作起來還是讓我們感到有點麻煩．故在求解形如（或）的一元二次不等式時則根據(jù)（有理數(shù)）乘（除）運算的“符號法則”化為同學們更加熟悉的一元一次不等式組來求解．現(xiàn)在清同學們閱讀課本p20上關于不等式 求解的內(nèi)容并思考：原不等式的解集為什么是兩個一次不等式組解集的并集？（待學生閱讀完畢，請一程度較好，表達能力較強的學生回答該問題．）

【答】因為滿足不等式組 或 的x都能使原不等式 成立，且反過來也是對的，故原不等式的解集是兩個一元二次不等式組解集的并集．

這個回答說明了原不等式的解集a與兩個一次不等式組解集的并集b是互為子集的關系，故它們必相等，現(xiàn)在請同學們求解以下各不等式．（調(diào)三位程度各異的學生演板．教師巡視，重點關注程度較差的學生）．

（1）

［p20練習中第1大題］

（2）

［p20練習中第1大題］

（3）

［p20練習中第2大題］

（老師扼要講評三位同學的解答．尤其要注意糾正表述方面存在的問題．然后講解p21例5）．

例5 解不等式

因為（有理數(shù)）積與商運算的“符號法則”是一致的，故求解此類不等式時，也可像求解（或）之類的不等式一樣，將其化為一元一次不等式組來求解。具體解答過程如下。

解：（略）

現(xiàn)在請同學們完成課本p21練習中第3、4兩大題。

（等學生完成后教師給出答案，如有學生對不上答案，由其本人追查原因，自行糾正。）

[訓練三]用“符號法則”解不等式的復式訓練。

（通過多媒體或其他載體給出下列各題）

1．不等式 與 的解集相同此說法對嗎？為什么[補充]

2．解下列不等式：

（1）［課本p22第8大題（2）小題］

（2）

［補充］

（3）

［課本p43第4大題（1）小題］

（4）［課本p43第5大題（1）小題］

（5）［補充］

（每題均先由學生說出解題思路，教師扼要板書求解過程）

參考答案：

1．不對。同 時前者無意義而后者卻能成立，所以它們的解集是不同的。

2．（1）

（2）原不等式可化為：，即

解集為。

（3）原不等式可化為

解集為

（4）原不等式可化為 或

解集為

（5）原不等式可化為： 或 解集為

ⅲ．總結提煉

這節(jié)課我們重點講解了利用（有理數(shù)）乘除法的符號法則求解左式為若干一次因式的積或商而右式為0的不等式。值得注意的是，這一方法對符合上述形狀的高次不等式也是有效的，同學們應掌握好這一方法。（五）布置作業(yè)

（p22．2（2）、（4）；4；5；6。）（六）板書設計

教學目標

1.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式，并能運用通項公式解決簡單的問題.

（1）了解公差的概念，明確一個數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列，了解等差中項的概念；

（2）正確認識使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運用通項公式求等差數(shù)列的首項、公差、項數(shù)、指定的項；

（3）能通過通項公式與圖像認識等差數(shù)列的性質(zhì)，能用圖像與通項公式的關系解決某些問題.2.通過等差數(shù)列的圖像的應用，進一步滲透數(shù)形結合思想、函數(shù)思想；通過等差數(shù)列通項公式的運用，滲透方程思想.

3.通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識；通過對等差數(shù)列的研究，使學生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點.

關于等差數(shù)列的教學建議（1）知識結構

（2）重點、難點分析

①教學重點是等差數(shù)列的定義和對通項公式的認識與應用，等差數(shù)列是特殊的數(shù)列，定義恰恰是其特殊性、也是本質(zhì)屬性的準確反映和高度概括，準確把握定義是正確認識等差數(shù)列，解決相關問題的前提條件.通項公式是項與項數(shù)的函數(shù)關系，是研究一個數(shù)列的重要工具，等差數(shù)列的通項公式的結構與一次函數(shù)的解析式密切相關，通過函數(shù)圖象研究數(shù)列性質(zhì)成為可能.②通過不完全歸納法得出等差數(shù)列的通項公式，所以是教學中的一個難點；另外，出現(xiàn)在一個等式中，運用方程的思想，已知三個量可以求出第四個量.由于一個公式中字母較多，學生應用時會有一定的困難，通項公式的靈活運用是教學的有一難點.（3）教法建議

①本節(jié)內(nèi)容分為兩課時，一節(jié)為等差數(shù)列的定義與表示法，一節(jié)為等差數(shù)列通項公式的應用．

②等差數(shù)列定義的引出可先給出幾組等差數(shù)列，讓學生觀察、比較，概括共同規(guī)律，再由學生嘗試說出等差數(shù)列的定義，對程度差的學生可以提示定義的結構：“……的數(shù)列叫做等差數(shù)列”，由學生把限定條件一一列舉出來，為等比數(shù)列的定義作準備．如果學生給出的定義不準確，可讓學生研究討論，用符合學生的定義但不是等差數(shù)列的數(shù)列作為反例，再由學生修改其定義，逐步完善定義．

③等差數(shù)列的定義歸納出來后，由學生舉一些等差數(shù)列的例子，以此讓學生思考確定一個等差數(shù)列的條件．

④由學生根據(jù)一般數(shù)列的表示法嘗試表示等差數(shù)列，前提條件是已知數(shù)列的首項與公差．明確指出其圖像是一條直線上的一些點，根據(jù)圖像觀察項隨項數(shù)的變化規(guī)律；再看通項公式，項 可看作項數(shù) 的一次型（）函數(shù)，這與其圖像的形狀相對應．

⑤有窮等差數(shù)列的末項與通項是有區(qū)別的，數(shù)列的通項公式 是數(shù)列第 項 與項數(shù) 之間的函數(shù)關系式，有窮等差數(shù)列的項數(shù)未必是，即其末項未必是該數(shù)列的第 項，在教學中一定要強調(diào)這一點．

⑥等差數(shù)列前 項和的公式推導離不開等差數(shù)列的性質(zhì)，所以在本節(jié)課應補充一些重要的性質(zhì)；另外可讓學生研究等差數(shù)列的子數(shù)列，有規(guī)律的子數(shù)列會引起學生的興趣．

⑦等差數(shù)列是現(xiàn)實生活中廣泛存在的數(shù)列的數(shù)學模型，如教材中的例題、習題等，還可讓學生去搜集，然后彼此交流，提出相關問題，自己嘗試解決，為學生提供相互學習的機會，創(chuàng)設相互研討的課堂環(huán)境．

等差數(shù)列通項公式的教學設計示例 教學目標

1.通過教與學的互動，使學生加深對等差數(shù)列通項公式的認識，能參與編擬一些簡單的問題，并解決這些問題；

2.利用通項公式求等差數(shù)列的項、項數(shù)、公差、首項，使學生進一步體會方程思想；

3.通過參與編題解題，激發(fā)學生學習的興趣.教學重點，難點

教學重點是通項公式的認識；教學難點是對公式的靈活運用． 教學用具

實物投影儀，多媒體軟件，電腦.教學方法

研探式.教學過程 一.復習提問

前一節(jié)課我們學習了等差數(shù)列的概念、表示法，請同學們回憶等差數(shù)列的定義，其表示法都有哪些？

等差數(shù)列的概念是從相鄰兩項的關系加以定義的，這個關系用遞推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應用.二.主體設計

通項公式 反映了項 與項數(shù) 之間的函數(shù)關系，當?shù)炔顢?shù)列的首項與公差確定后，數(shù)列的每一項便確定了，可以求指定的項（即已知 求）.找學生試舉一例如：“已知等差數(shù)列 中，首項，公差，求.”這是通項公式的簡單應用，由學生解答后，要求每個學生出一些運用等差數(shù)列通項公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復雜，定量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上.1.方程思想的運用

（1）已知等差數(shù)列 中，首項，公差，則－397是該數(shù)列的第______項.（2）已知等差數(shù)列 中，首項，則公差

（3）已知等差數(shù)列 中，公差，則首項

這一類問題先由學生解決，之后教師點評，四個量，在一個等式中，運用方程的思想方法，已知其中三個量的值，可以求得第四個量.2.基本量方法的使用

（1）已知等差數(shù)列 中，求 的值.（2）已知等差數(shù)列 中，求.若學生的題目只有這兩種類型，教師可以小結（最好請出題者、解題者概括）：因為已知條件可以化為關于 和 的二元方程組，所以這些等差數(shù)列是確定的，由 和 寫出通項公式，便可歸結為前一類問題.解決這類問題只需把兩個條件（等式）化為關于 和 的二元方程組，以求得 和，和 稱作基本量.教師提出新的問題，已知等差數(shù)列的一個條件（等式），能否確定一個等差數(shù)列？學生回答后，教師再啟發(fā)，由這一個條件可得到關于 和 的二元方程，這是一個 和 的制約關系，從這個關系可以得到什么結論？舉例說明（例題可由學生或教師給出，視具體情況而定）.如：已知等差數(shù)列 中，…

由條件可得 即，可知，這是比較顯然的，與之相關的還能有什么結論？若學生答不出可提示，一定得某一項的值么？能否與兩項有關？多項有關？由學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，完善問題

（3）已知等差數(shù)列 中，求 ； ；

； ；….類似的還有

（4）已知等差數(shù)列 中，求 的值.以上屬于對數(shù)列的項進行定量的研究，有無定性的判斷？引出 3.研究等差數(shù)列的單調(diào)性，考察 隨項數(shù) 的變化規(guī)律.著重考慮 的情況.此時 是 的一次函數(shù)，其單調(diào)性取決于 的符號，由學生敘述結果.這個結果與考察相鄰兩項的差所得結果是一致的.4.研究項的符號

這是為研究等差數(shù)列前 項和的最值所做的準備工作.可配備的題目如

（1）已知數(shù)列 的通項公式為，問數(shù)列從第幾項開始小于0？

（2）等差數(shù)列 從第________項起以后每項均為負數(shù).三.小結

1.用方程思想認識等差數(shù)列通項公式；

2.用函數(shù)思想解決等差數(shù)列問題.四.板書設計

等差數(shù)列通項公式

1.方程思想的運用

2.基本量方法的使用

3.研究等差數(shù)列的單調(diào)性

4.研究項的符號

高中數(shù)學三角函數(shù)教案全冊篇六

高中數(shù)學反三角函數(shù)的公式小結

反三角函數(shù)主要是三個：

y＝arcsin(x)，定義域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]圖象用紅色線條；

y=arccos(x)，定義域[-1,1]，值域[0,π]，圖象用藍色線條；

y=arctan(x)，定義域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，圖象用綠色線條；

sin(arcsin x)=x,定義域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx 其他公式:

三角函數(shù)其他公式

arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=π－arccosx

arctan(-x)=-arctanx

arccot(-x)=π－arccotx

arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)

當x∈[—π/2，π/2]時，有arcsin(sinx)=x

當x∈[0,π],arccos(cosx)=x

x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x

x∈(0，π),arccot(cotx)=x

x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx類似

若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),則arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

高中數(shù)學三角函數(shù)教案全冊篇七

一、選擇題（每題5分，共35分）1．若sin θcos θ＞0，則θ在（）．

a．第一、二象限

c．第一、四象限

b．第一、三象限 d．第二、四象限

2、已知函數(shù)f(x)?(1?cos2x)sin2x,x?r，則f(x)是（）a、奇函數(shù) b、非奇非偶函數(shù) c、偶函數(shù) d、不能確定

3.設sn是等差數(shù)列?an?的前n項和，已知a2?3，a6?11，則s7等于（）a．13

b．35

c．49

d． 63

4.函數(shù)f(x)?(1?3tanx)cosx的最小正周期為（)a．2? b．

3?? c．? d． 225.已知?an?為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,則公差d＝（）a.－2 b.－

11 c.d.2 226.函數(shù)f(x)?cos2x?2sinx的最小值和最大值分別為（）a.－3，1

b.－2，2

c.－3，32 d.－2，7．把函數(shù)y＝sin x(x∈r)的圖象上所有點向左平行移動象上所有點的橫坐標縮短到原來的 a．y＝sin?2x － ?，x∈r

c．y＝sin?2x ＋ ?，x∈r ??π?3???π?3?π個單位，再把所得圖332

1倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)圖象是（）． 2

?26?2π??d．y＝sin?2x ＋ ?，x∈r

3???xπ?b．y＝sin? ＋ ?，x∈r

二、填空題（每題5分，共10分）

8.在等差數(shù)列{an}中,a3?7,a5?a2?6,則a6?____________ 9.已知函數(shù)f(x)?sin(?x??)(??0)的圖象如圖所示, 則? ＝

三、計算題（共55分）10．求函數(shù)f(x)＝lgsin x＋

?11.已知函數(shù)f(x)?sinx?sin(x?),x?r.（10分）

2（5分）2cosx?1的定義域．(i)求f(x)的最小正周期；(ii)求f(x)的的最大值和最小值；

12．求函數(shù)y＝sin?2x － ?的圖象的對稱中心和對稱軸方程．（5分）

13．已知等差數(shù)列{an}中，a2＝8，前10項和s10＝185.，求通項；（10分）

14.在等差數(shù)列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.（10分）

(1)求通項an；(2)求此數(shù)列前30項的絕對值的和.15.設數(shù)列?an?滿足a1?2,an?1?an?322n?1（15分）

（1）求數(shù)列?an?的通項公式；（2）令bn?nan，求數(shù)列的前n項和sn

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