一鍵復(fù)制
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任意角三角函數(shù)定義教學(xué)設(shè)計(jì)篇一
會(huì)寧縣第二中學(xué)數(shù)學(xué)教研組
曹蕊
一、教學(xué)內(nèi)容分析
本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎(chǔ)，主要是從通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過(guò)程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。
二、學(xué)生情況分析
本課時(shí)研究的是任意角的三角函數(shù)，學(xué)生在初中階段曾經(jīng)研究過(guò)銳角三角函數(shù)，其研究范圍是銳角；其研究方法是幾何的，沒(méi)有坐標(biāo)系的參與；其研究目的是為解直角三角形服務(wù)。以上三點(diǎn)都是與本課時(shí)不同的，因此在教學(xué)過(guò)程中要發(fā)展學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮其正遷移。
三、教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)與技能目標(biāo):借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；能根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出具體的角的各三角函數(shù)值；能根據(jù)定義探究出三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)。
方法與過(guò)程目標(biāo):在定義的學(xué)習(xí)及概念同化和精致的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生類比、分析以及研究問(wèn)題的能力。
情感態(tài)度與價(jià)值觀: 在定義的學(xué)習(xí)過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想。
四、教學(xué)重、難點(diǎn)分析：
重點(diǎn)：理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。難點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生將任意角的三角函數(shù)的定義同化，幫助學(xué)生真正理解定義。
五、教學(xué)方法與策略：
教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，采用學(xué)生自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)，師生互動(dòng)，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過(guò)程.根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容、高一學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的方法組織教學(xué).六、教具、教學(xué)媒體準(zhǔn)備：
為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解，幫助學(xué)生克服在理解定義過(guò)程中可能遇到的障礙，本節(jié)課準(zhǔn)備在計(jì)算機(jī)的支持下，利用幾何畫板動(dòng)態(tài)地研究任意角與其終邊和單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學(xué)情境，使學(xué)生能夠更好地?cái)?shù)形結(jié)合地進(jìn)行思維．
七、教學(xué)過(guò)程
（一）教學(xué)情景
1．復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義
問(wèn)題1：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)．如圖1（課件中）在直角△pom中，∠m是直角，那么根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，∠o的正弦、余弦和正切分別是什么？
設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生回顧初中銳角三角函數(shù)的定義．
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生回答． 2．認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)的定義
問(wèn)題2：在上節(jié)教科書的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)將角的概念推廣到了任意角，現(xiàn)在所說(shuō)的角可以是任意大小的正角、負(fù)角和零角．那么任意角的三角函數(shù)又該怎樣定義呢？
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)．
師生活動(dòng)：在教學(xué)中，可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，利用下列問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：
（1）能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？ 以此來(lái)引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)．
（2）在上節(jié)教科書中，將銳角的概念推廣到任意角時(shí)，我們是把角放在哪里進(jìn)行研究的？
進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)．在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生討論。
（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，如何定義任意角θ的三角函數(shù)呢？
（4）終邊是op的角一定是銳角嗎？如果不是，能利用直角三角形的邊長(zhǎng)來(lái)定義嗎？如圖3，如果角θ的終邊不在第i象限又該怎么辦？
問(wèn)題3：大家有沒(méi)有辦法讓所得到的定義式變得更簡(jiǎn)單一點(diǎn)？ 設(shè)計(jì)意圖：為引入單位圓進(jìn)行鋪墊．
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題后，可組織學(xué)生展開(kāi)討論．在學(xué)生不能正確回答時(shí)，可啟發(fā)他們思考下列問(wèn)題：
我們?cè)诙x1弧度的角的時(shí)候，利用了一個(gè)什么圖形？所用的圓與半徑大小有關(guān)嗎？用半徑多大的圓定義起來(lái)更簡(jiǎn)單易懂些？
問(wèn)題4：大家現(xiàn)在能不能給出任意角三角函數(shù)的定義了？
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在借助單位圓定義銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出任意角三角函數(shù)的定義．
師生活動(dòng)：由學(xué)生給出任意角三角函數(shù)的定義，教師進(jìn)行整理． 例1：（題目在課件中）
設(shè)計(jì)意圖：從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，通過(guò)變式，讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何利用定義求不同情況下函數(shù)值的問(wèn)題，進(jìn)而加深對(duì)定義的理解，加強(qiáng)定義應(yīng)用中與幾何的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．
問(wèn)題5：你能否給出正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域？ 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)利用定義求定義域，既完善了三角函數(shù)概念的內(nèi)容，同時(shí)又可幫助學(xué)生進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念．
師生活動(dòng)：學(xué)生求出定義域，教師進(jìn)行整理． 問(wèn)題6：上述三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào)會(huì)怎樣？
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)定義的應(yīng)用，讓學(xué)生了解三種函數(shù)值在各象限的符號(hào)的變化規(guī)律，并從中進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．
師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師整理． 例2：（題目在課件中）
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題的解決，熟悉和記憶函數(shù)值在各象限的符號(hào)的變化規(guī)律，并進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念．
師生活動(dòng)：在完成本題的基礎(chǔ)上，可視情況改變題目的條件或結(jié)論，作變式訓(xùn)練．
問(wèn)題7：既然我們知道了三角函數(shù)的函數(shù)值是由角的終邊的位置決定的，那么角的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，它的大小將會(huì)怎樣變化？它所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值又將怎樣變化？
設(shè)計(jì)意圖：引出公式一，突出函數(shù)周期變化的特點(diǎn)，以及數(shù)形結(jié)合的思想． 師生活動(dòng)：在教師引導(dǎo)下，由學(xué)生討論完成． 例3：（題目在課件中）
設(shè)計(jì)意圖：將確定函數(shù)值的符號(hào)與求函數(shù)值這兩個(gè)問(wèn)題合在一起，通過(guò)應(yīng)用公式一解決問(wèn)題，讓學(xué)生熟悉和記憶公式一，并進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念．
例
4、例5（題目在課件中）3．練習(xí)（在課件中）
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)應(yīng)用三角函數(shù)的定義，熟悉和記憶特殊角的三角函數(shù)值、三角函數(shù)值的符號(hào)、公式一，以及求三角函數(shù)值，加強(qiáng)對(duì)三角函數(shù)概念的理解．
4．小結(jié)
問(wèn)題8：銳角三角函數(shù)與解直角三角形直接相關(guān)，初中我們是利用直角三角形邊的比值來(lái)表示其銳角的三角函數(shù)．通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，我們知道任意角的三角函數(shù)雖然是銳角三角函數(shù)的推廣，但它與解三角形已經(jīng)沒(méi)有什么關(guān)系了．我們是利用單位圓來(lái)定義任意角的三角函數(shù)，借助直角坐標(biāo)系中的單位圓，我們建立了角的變化與單位圓上點(diǎn)的變化之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值來(lái)表示圓心角的三角函數(shù)．你能再回顧一下我們是如何借助單位圓給出任意角三角函數(shù)的定義嗎？
設(shè)計(jì)意圖：回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容．
八、作業(yè)設(shè)計(jì)：
教科書p.24習(xí)題1.2a組第6、8題．
設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)本節(jié)課所涉及到的三角函數(shù)定義應(yīng)用的幾個(gè)方面，從教科書中選擇作業(yè)題．試圖通過(guò)作業(yè)，讓學(xué)生進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念，并從中評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念理解的情況．
九、教學(xué)反思：
上述教學(xué)設(shè)計(jì)及具體教學(xué)實(shí)施過(guò)程我認(rèn)為有以下幾點(diǎn)意義：
1.教學(xué)設(shè)計(jì)緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，重點(diǎn)放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象，現(xiàn)象到本質(zhì)，特殊到一般，這樣有利學(xué)生的思考。
2.情景設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型很好地融合初中對(duì)三角函數(shù)的定義，也能很好引入在直角坐標(biāo)系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過(guò)渡，同時(shí)能夠揭示函數(shù)的本質(zhì)。
3.通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過(guò)程，讓學(xué)生在情境中活動(dòng)，在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)與自然和社會(huì)的聯(lián)系、新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，在體驗(yàn)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，它滲透了蘊(yùn)涵在知識(shí)中的思想方法和研究性學(xué)習(xí)的策略，使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。這和課程標(biāo)準(zhǔn)的理念是一致的。
任意角三角函數(shù)定義教學(xué)設(shè)計(jì)篇二
任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)方案 師大附中
鄧貴業(yè)
課題名稱
任意角的三角函數(shù)
科
目 數(shù)學(xué) 年級(jí) 高一
教學(xué)時(shí)間
一課時(shí)（40分鐘）
學(xué)習(xí)者分析
在初中學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)。因此本課的內(nèi)容對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，有比較厚實(shí)的基礎(chǔ)，新課的引入會(huì)比較容易和順暢。學(xué)生要面對(duì)的新的學(xué)習(xí)問(wèn)題是，角的概念推廣了，原先學(xué)生所熟悉的銳角三角函數(shù)的定義是否也可以推廣到任意角呢？通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)到新知識(shí)的發(fā)生是可能的，自然的。
教學(xué)目標(biāo)
一、情感態(tài)度與價(jià)值觀 1.激發(fā)學(xué)生興趣
2.激發(fā)學(xué)生探求新知欲望
3、數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性
二、過(guò)程與方法
1.通過(guò)三角函數(shù)的幾何表示，使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，拓展思維空間。通過(guò)學(xué)生積極參與知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過(guò)程，培養(yǎng)合情猜測(cè)的能力，從中感悟數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性。
三、知識(shí)與技能
1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)）；
2、理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；掌握并能初步運(yùn)用公式一；樹(shù)立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).
3、通過(guò)單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數(shù)值的求法,最終得到任意角三角函數(shù)的定義.根據(jù)角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數(shù)的定義域以及這三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào).借助有向線段進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三角函數(shù).
4、通過(guò)任意三角函數(shù)的定義，認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)是任意三角函數(shù)的一種特例，加深特殊與一般關(guān)系的理解。
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
1.任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)）；終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）.2.
任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)）；
教學(xué)資源
多媒體
《《任任意意角的三角函數(shù)的三角函數(shù)》》 教學(xué)過(guò)程描述教學(xué)過(guò)程描述
教學(xué)活動(dòng)1 導(dǎo)入新課
一、復(fù)習(xí)引入、回想再認(rèn)
（情景1）我們?cè)诔踔型ㄟ^(guò)銳角三角形的邊角關(guān)系，學(xué)習(xí)了銳角的正弦、余弦、正切等三個(gè)三角函數(shù).請(qǐng)回想：這三個(gè)三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？
學(xué)生口述后再投影展示，教師再根據(jù)投影進(jìn)行強(qiáng)調(diào)：
教學(xué)活動(dòng)2
1.引伸鋪墊、創(chuàng)設(shè)情景
（情景2）我們已經(jīng)把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數(shù)概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨(dú)立思考和探索，也可以互相討論！
留時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對(duì)學(xué)困生作啟發(fā)引導(dǎo).能推廣嗎？怎樣推廣？針對(duì)剛才的問(wèn)題點(diǎn)名讓學(xué)生回答.用角的對(duì)邊、臨邊、斜邊比值的說(shuō)法顯然是受到阻礙了，由于1.1節(jié)已經(jīng)以直角坐標(biāo)系為工具來(lái)研究任意角了，學(xué)生一般會(huì)想到（否則教師進(jìn)行提示）繼續(xù)用直角坐標(biāo)系來(lái)研究任意角的三角函數(shù).教師對(duì)學(xué)生回答情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)后布置任務(wù)情景：請(qǐng)同學(xué)們用直角坐標(biāo)系重新研究銳角三角函數(shù)定義！
師生共做（學(xué)生口述，教師板書圖形和比值）：
把銳角α安裝（如何安裝？角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸非負(fù)半軸重合）在直角坐標(biāo)系中，在角α終邊上任取一點(diǎn)p，作pm⊥x軸于m，構(gòu)造一個(gè)rtδomp，則∠ mop=α（銳角），設(shè)p（x,y）（x＞0、y＞0），α的臨邊om =x、對(duì)邊mp=y，斜邊長(zhǎng)|op∣=r.根據(jù)銳角三角函數(shù)定義用x、y、r列出銳角α的正弦、余弦、正切三個(gè)比值，并補(bǔ)充對(duì)應(yīng)列出三個(gè)倒數(shù)比值：
（情景3）思考：對(duì)于確定的角，這三個(gè)比值是否會(huì)隨點(diǎn)在的終邊上的位置的改變而改變呢？ 顯然，我們可以將點(diǎn)取在使線段的長(zhǎng)的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)：;;.思考：上述銳角的三角函數(shù)值可以用終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)表示.那么,角的概念推廣以后，我們應(yīng)該如何對(duì)初中的三角函數(shù)的定義進(jìn)行修改，以利推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個(gè)問(wèn)題――任意角的三角函數(shù).先讓學(xué)生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動(dòng)畫演示，同時(shí)作好解釋說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生觀察圖3，聯(lián)系相似三角形知識(shí)，探索發(fā)現(xiàn)：對(duì)于銳角α的每一個(gè)確定值，三個(gè)比值都是 確定的，不會(huì)隨p在終邊上的移動(dòng)而變化.教學(xué)活動(dòng)3
三、探究新知
1.探究:結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求法,我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢?
顯然,我們只需在角的終邊上找到一個(gè)點(diǎn),使這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,然后就可以類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了.所以,我們?cè)诖艘雴挝粓A的定義:在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點(diǎn)為圓心,以單位長(zhǎng)度為半徑的圓.2.思考:如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義? 如圖,設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么:(1)叫做的正弦(sine),記做,即；
（2）叫做的余弦(coine),記做,即；（3）叫做的正切(tangent),記做,即.注意:當(dāng)α是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同（指出對(duì)邊，鄰邊，斜邊所在）；當(dāng)α不是銳角時(shí)，也能夠找出三角函數(shù)，因?yàn)?，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點(diǎn)，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值.教學(xué)活動(dòng)4
1.探索定義域
（情景4）
1、函數(shù)概念的三要素是什么？ 函數(shù)三要素：對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域.正弦函數(shù)sinα的對(duì)應(yīng)法則是什么？
正弦函數(shù)sinα的對(duì)應(yīng)法則，實(shí)質(zhì)上就是sinα的定義：對(duì)α的每一個(gè)確定的值，有唯一確定的比值y/r與之對(duì)應(yīng)，即α→ y/r= sinα.2、布置任務(wù)情景：什么是三角函數(shù)的定義域？請(qǐng)求出三個(gè)三角函數(shù)的定義域，填寫下表： 三角函數(shù) sinα cosα tanα
定義域
引導(dǎo)學(xué)生自主探索： 如果沒(méi)有特別說(shuō)明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的定義域自然是指：使比值有意義的角α的取值范圍.關(guān)于sinα=y/r、cosα=x/r，對(duì)于任意角α（弧度數(shù)），r＞0，y/r、x/r恒有意義，定義域都是實(shí)數(shù)集r.對(duì)于tanα=y/x，α= kπ+π/2 時(shí)x=0，y/x無(wú)意義，tanα的定義域是：{α|α∈r，且α≠kπ+π/2 }.? ? ?
教師指出: sinα、cosα、tanα的定義域必須緊扣三角函數(shù)定義在理解的基礎(chǔ)上記熟。
教學(xué)活動(dòng)4
五、符號(hào)判斷、形象識(shí)記
（情景5）能判斷三角函數(shù)值的正、負(fù)嗎？試試看！
引導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住三角函數(shù)定義來(lái)分析，r＞0,三角函數(shù)值的符號(hào)決定于x、y值的正負(fù)，根據(jù)終邊所在位置總結(jié)出形象的識(shí)記口訣：
sinα= y/r：上正下負(fù)橫為0
cosα=x/r：左負(fù)右正縱為0
tanα=y/x：交叉正負(fù)
教學(xué)活動(dòng)六
練習(xí)鞏固、理解記憶
自學(xué) 例1：求的正弦、余弦和正切值。角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)p（－3，-4），求α的正弦，余弦及正切值.教學(xué)活動(dòng)七 課堂練習(xí)： p17題
1、2、3 處理：要求取點(diǎn)用定義求解，針對(duì)計(jì)算過(guò)程提問(wèn)、點(diǎn)評(píng)，理解鞏固定義.強(qiáng)調(diào)：終邊在坐標(biāo)軸上的角叫軸線角，如0、π/2、π、3π/2 等，今后經(jīng)常用到軸線角的三角函數(shù)值，要結(jié)合三角函數(shù)定義記熟這些值.教學(xué)活動(dòng)八
回顧小結(jié)、建構(gòu)網(wǎng)絡(luò)
要求全體學(xué)生根據(jù)教師所提問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)識(shí)記，提問(wèn)檢查并強(qiáng)調(diào)：
1．你是怎樣把銳角三角函數(shù)定義推廣到任意角的？或者說(shuō)任意角三角函數(shù)具體是怎樣定義的？（建立直角坐標(biāo)系，使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，---，在終邊上任意取定一點(diǎn)p，---）2．你如何判斷和記憶正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域？（根據(jù)定義，------）
3．你如何記憶正弦、余弦、正切函數(shù)值的符號(hào)？（根據(jù)定義，想象坐標(biāo)位置，-----）
任意角三角函數(shù)定義教學(xué)設(shè)計(jì)篇三
“任意角三角函數(shù)定義”的教學(xué)認(rèn)識(shí)與設(shè)計(jì)
浙江金華第一中學(xué) 孔小明
本文首先對(duì)三角函數(shù)定義的教學(xué)進(jìn)行從整體到局部的分析，并在此基礎(chǔ)上給出定義教學(xué)的主干問(wèn)題設(shè)計(jì).1．整體把握，使教學(xué)線索清晰，層次分明
三角函數(shù)是以函數(shù)為主線，刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.高中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)是在初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)將角的概念推廣到任意角，并使角與實(shí)數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后結(jié)合坐標(biāo)系和單位圓重新定義任意角的三角函數(shù).因此，三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念，同時(shí)又是銳角三角函數(shù)的上位概念，教學(xué)要以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以坐標(biāo)系和單位圓為定義工具，以初中銳角三角函數(shù)概念為認(rèn)知的起點(diǎn)，促進(jìn)任意角三角函數(shù)定義的有效生成.教科書在完成任意角三角函數(shù)定義基礎(chǔ)上衍生出：(1)三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)；(2)單位圓中的三角函數(shù)線；(3)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；(4)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式；(5)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等.可見(jiàn)，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學(xué)中可謂重中之重,是整個(gè)三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵作用.本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)是理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)定義過(guò)渡到任意角三角函數(shù)定義的推廣過(guò)程,體驗(yàn)三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程,領(lǐng)悟直角坐標(biāo)系和單位圓的功能,豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗(yàn).由于三角函數(shù)的定義內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，同時(shí)，用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的任意角三角函數(shù)定義,與學(xué)生初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)定義有一定的距離,一個(gè)側(cè)重幾何的邊與邊的比值表示,一個(gè)側(cè)重代數(shù)的坐標(biāo)（比值）表示.與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)定義也有距離,一般函數(shù)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng),而三角函數(shù)首先是實(shí)數(shù)（弧度數(shù)）到點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng),然后才是實(shí)數(shù)（弧度數(shù)）到實(shí)數(shù)（橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)）的對(duì)應(yīng).學(xué)生理解該定義很難一步到位，需要分成若干個(gè)層次，逐步加深提高.促進(jìn)學(xué)生理解定義的關(guān)鍵是讓學(xué)生經(jīng)歷定義的形成過(guò)程,增強(qiáng)學(xué)習(xí)活動(dòng)的體驗(yàn),在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立思考、自主探究,完成定義的意義建構(gòu).教材中任意角三角函數(shù)定義的得出經(jīng)歷了以下四個(gè)循序漸進(jìn)、不斷深化的過(guò)程：（1）回憶用直角三角形邊長(zhǎng)的比產(chǎn)生的銳角三角函數(shù)的定義；（2）把銳角α放在直角坐標(biāo)系中，用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角α的三角函數(shù)；（3）由相似三角形的知識(shí)可知，三角函數(shù)值只與α的大小有關(guān)，與點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān)，因此可用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角α的三角函數(shù)；（4）類比得出用單位圓定義任意角三角函數(shù)，并將它納入到一般函數(shù)概念的范疇.教科書這樣設(shè)計(jì)改變了以往純學(xué)術(shù)形態(tài)的形式,一定程度上具有了教育形態(tài)的特征,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程,反映了數(shù)學(xué)的“來(lái)龍去脈”,通過(guò)有效的鋪墊,使之符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,使從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)過(guò)渡自然,有利于學(xué)生步步加深對(duì)三角函數(shù)定義本質(zhì)的理解.因此,筆者認(rèn)為,教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)無(wú)須“另起爐灶”,只要在此基礎(chǔ)上,依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),進(jìn)行教學(xué)法的深加工即可.2．抓住關(guān)鍵，使教學(xué)精煉、簡(jiǎn)約而高效
由于教科書自身特點(diǎn)的限制,教科書還不能成為教師教學(xué)用的教學(xué)設(shè)計(jì),根據(jù)教材的內(nèi)容、要求以及編寫意圖,教師還需要一個(gè)再加工、再創(chuàng)造的過(guò)程.具體的,就是將教材中得出任意角三角函數(shù)定義經(jīng)歷的四個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)一步教學(xué)化,使之符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和規(guī)律,包括內(nèi)容研究的必要性，坐標(biāo)系、單位圓引入的自然性，以及用單位圓定義的可行性、合理性等.把它變成適合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的具體的教育形態(tài),使學(xué)生感受“數(shù)學(xué)是自然的、清楚的、水到渠成的”.當(dāng)前,高中數(shù)學(xué)課標(biāo)課程比大綱課程的內(nèi)容有所增加，初中數(shù)學(xué)對(duì)高中數(shù)學(xué)支持減弱，新課程賦予數(shù)學(xué)教學(xué)更多的價(jià)值取向，要讓課堂的所有環(huán)節(jié)都讓學(xué)生有深度思考、自主探究并展示結(jié)果是不現(xiàn)實(shí)也是沒(méi)必要的.事實(shí)上，學(xué)生在校以學(xué)習(xí)間接經(jīng)驗(yàn)為主,學(xué)生的學(xué)習(xí)主要是“接受——建構(gòu)”式的,因此,對(duì)教學(xué)起關(guān)鍵作用的內(nèi)容，要留足時(shí)間讓學(xué)生充分思考、交流與展示,其它內(nèi)容教師可多講授與引導(dǎo)，發(fā)揮先行組織者作用,使教與學(xué)達(dá)到平衡，讓教學(xué)效益達(dá)到最大化.在引導(dǎo)學(xué)生回憶初中銳角三角函數(shù)定義之前,先解決“學(xué)習(xí)的必要性”問(wèn)題,明確要研究的內(nèi)容.教材將“三角函數(shù)”作為重要的基本初等函數(shù),是周期現(xiàn)象的基本模型,教師可借助本章的章頭語(yǔ),完成課題的引入.由于初中的銳角三角函數(shù)定義不能推廣到任意角的情形，從而引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望.用什么定義、怎樣定義、這樣定義是否合理等,成為繼續(xù)研究的自然問(wèn)題.之前,在任意角內(nèi)容的學(xué)習(xí)中,學(xué)生已經(jīng)有了在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的經(jīng)驗(yàn)，但教學(xué)實(shí)踐表明,學(xué)生仍不能自然想到引入坐標(biāo)系工具,利用坐標(biāo)來(lái)定義任意角三角函數(shù).筆者認(rèn)為，從幫助學(xué)生理解定義的實(shí)質(zhì)，體會(huì)坐標(biāo)思想與數(shù)形結(jié)合思想的角度，教師可利用適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言,引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)解決“如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)”的關(guān)鍵問(wèn)題.需要提及的是,陶老師的問(wèn)題設(shè)計(jì)具有啟示性：
現(xiàn)在，角的范圍擴(kuò)大了,由銳角擴(kuò)展到了0°~360°內(nèi)的角,又?jǐn)U展到了任意角,并且在直角坐標(biāo)系中,使得角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境中,你認(rèn)為,對(duì)于任意角α，sinα怎樣定義好呢？
上述問(wèn)題提得“大氣”，既能使學(xué)生的學(xué)習(xí)圍繞關(guān)鍵問(wèn)題展開(kāi)，又突出正弦函數(shù)的概念分析.當(dāng)然，若能依教材先作銳角情形的鋪墊，教學(xué)更符合學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”，提高效率.這里，需要引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)用坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)，有助于從函數(shù)的本質(zhì)特征來(lái)認(rèn)識(shí)三角函數(shù).在第三個(gè)環(huán)節(jié)中，首先是如何自然引入單位圓的問(wèn)題.用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)有許多優(yōu)點(diǎn)，其中最主要的是使正弦函數(shù)、余弦函數(shù)從自變量（角的弧度數(shù)）到函數(shù)值（單位圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系更清楚、簡(jiǎn)單，突出了三角函數(shù)的本質(zhì)，有利于學(xué)生利用已有的函數(shù)概念來(lái)理解三角函數(shù)，其次是使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論函數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).但單位圓的這些“優(yōu)點(diǎn)”要在引入單位圓后才能逐步體會(huì)到.因此，引入單位圓的“理由”應(yīng)該另辟蹊徑，白老師在引導(dǎo)學(xué)生完成用角的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)之后，從求簡(jiǎn)的角度設(shè)置問(wèn)題,不愧為“棋高一招”：
大家有沒(méi)有辦法讓所得到的定義式變得更簡(jiǎn)單一點(diǎn)？
在學(xué)生得出時(shí)定義式最簡(jiǎn)單后,白老師引入單位圓,引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓定義銳角三角函數(shù).至此，學(xué)生就有了第四環(huán)節(jié)中用單位圓定義任意角三角函數(shù)的認(rèn)知準(zhǔn)備.由于“定義”是一種“規(guī)定”，因此，第四環(huán)節(jié)中，教師可類比用單位圓定義銳角三角函數(shù)情形，直接給出任意角三角函數(shù)定義，對(duì)學(xué)生而言，關(guān)鍵是理解這樣“規(guī)定”的合理性，對(duì)定義合理性認(rèn)知基礎(chǔ)就是三角函數(shù)的“函數(shù)”本質(zhì)——定義要符合一般函數(shù)的內(nèi)涵（函數(shù)三要素）.3．精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，讓課堂成為學(xué)生思維閃光的舞臺(tái) 基于上述認(rèn)識(shí)，對(duì)定義部分的教學(xué)，給出如下先行組織者和主干問(wèn)題設(shè)計(jì).先行組織者1：周期現(xiàn)象是社會(huì)生活和科學(xué)實(shí)踐中的基本現(xiàn)象，大到宇宙運(yùn)動(dòng)，小到粒子變化，這些現(xiàn)象的共同特點(diǎn)是具有周期性，另外，如潮汐現(xiàn)象、簡(jiǎn)諧振動(dòng)、交流電等，也具有周期性，而“三角函數(shù)”正是刻畫這些變化的基本函數(shù)模型.三角函數(shù)到底是一種怎樣的函數(shù)？它具有哪些特別的性質(zhì)？在解決具有周期性變化規(guī)律的問(wèn)題中到底能發(fā)揮哪些作用？本課從研究第一個(gè)問(wèn)題入手.意圖：明確研究方向與內(nèi)容.問(wèn)題1：在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，它是怎樣定義的？ 意圖：從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，為用坐標(biāo)定義三角函數(shù)作準(zhǔn)備.問(wèn)題2：現(xiàn)在，角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，上述定義方法能推廣到任意角嗎？ 意圖：引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生求知欲望.問(wèn)題3：如何定義任意角的三角函數(shù)？ 意圖：引導(dǎo)學(xué)生探索任意角三角函數(shù)的定義.先行組織者2：我們知道，直角坐標(biāo)系是展示函數(shù)規(guī)律的載體，是構(gòu)架“數(shù)形結(jié)合”的天然橋梁，上堂課我們把任意角放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行研究，借助坐標(biāo)系，可以使角的討論簡(jiǎn)化，也能有效地表現(xiàn)出角的終邊位置“周而復(fù)始”的現(xiàn)象.坐標(biāo)系也為我們從“數(shù)”的角度定義任意角三角函數(shù)提供有效載體.意圖：引導(dǎo)學(xué)生借助坐標(biāo)系來(lái)定義任意角三角函數(shù).問(wèn)題4：先考慮銳角的情形，如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，你能用點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角α的三角函數(shù)嗎？
意圖：引導(dǎo)學(xué)生用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù).問(wèn)題5：各個(gè)比值與角之間有怎樣的關(guān)系？比值是角的函數(shù)嗎？
意圖：扣準(zhǔn)函數(shù)概念的內(nèi)涵，把三角函數(shù)知識(shí)納入函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)，突出變量之間的依賴關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，增強(qiáng)函數(shù)觀念.先讓學(xué)生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動(dòng)畫演示，得出結(jié)論：三個(gè)比值分別是以銳角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù).問(wèn)題6：既然可在終邊上任取一點(diǎn)，那有沒(méi)有辦法讓所得的對(duì)應(yīng)關(guān)系變得更簡(jiǎn)單一點(diǎn)？ 意圖：為引入單位圓進(jìn)行鋪墊.教師給出單位圓定義之后，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確：正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（或比值）為函數(shù)值的函數(shù).問(wèn)題7：類比上述做法，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交點(diǎn)為p（x，y），定義正弦函數(shù)為，余弦函數(shù)為，正切函數(shù)為.你認(rèn)為這樣定義符合函數(shù)定義要求嗎? 意圖：給出任意角三角函數(shù)的定義,引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)三要素說(shuō)明定義的合理性，明確任意角三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域.引導(dǎo)學(xué)生思考定義的合理性，先讓學(xué)生作出主觀判斷，再用幾何畫板動(dòng)畫演示，同時(shí)作好解釋說(shuō)明，得出結(jié)論：正弦、余弦、正切都是以任意角α為自變量、以單位圓上的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值（如果存在的話）為函數(shù)值的函數(shù).接著給出任意角三角函數(shù)的定義域、值域.“任意角三角函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)
陶維林（江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)，210003）
一．內(nèi)容和內(nèi)容解析
三角函數(shù)是一個(gè)重要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型．它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)中的圖象分析和式子變形，三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)．它在物理學(xué)、天文學(xué)、測(cè)量學(xué)等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，它是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中其他學(xué)科的基礎(chǔ)．
角的概念已經(jīng)由銳角擴(kuò)展到0°~360°內(nèi)的角，再擴(kuò)充到任意角，相應(yīng)地，銳角三角函數(shù)概念也必須有所擴(kuò)充．任意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴(kuò)充的必然結(jié)果．
比較銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)這兩個(gè)概念，共同點(diǎn)是，它們都是“比值”，不同點(diǎn)是銳角三角函數(shù)是“線段長(zhǎng)度的比值”，而任意角三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中“坐標(biāo)與長(zhǎng)度的比值，或者是坐標(biāo)的比值”．正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)的特點(diǎn)，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)（或坐標(biāo)的比值）來(lái)表示任意角的三角函數(shù)，這是概念的核心．這樣定義，不僅簡(jiǎn)化了任意角三角函數(shù)的表示，也為后續(xù)研究它的性質(zhì)帶來(lái)了方便．
從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)類似于從自然數(shù)到整數(shù)擴(kuò)充的過(guò)程，產(chǎn)生了“符號(hào)問(wèn)題”．因此，學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)可以與銳角三角函數(shù)相類比，借助銳角三角函數(shù)的概念建立起任意角三角函數(shù)的概念．
任意角三角函數(shù)概念的重點(diǎn)是任意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節(jié)，乃至本章的基本概念，是學(xué)習(xí)其他與三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有根本的重要的作用．解決這一重點(diǎn)的關(guān)鍵，是學(xué)會(huì)用直角坐標(biāo)系中，角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示三角函數(shù)．因?yàn)檎泻瘮?shù)并不獨(dú)立，最主要的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)．
任意角三角函數(shù)自然具有函數(shù)的一切特征，有它的定義域，對(duì)應(yīng)法則以及值域．任意角三角函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集（或它的子集），這是因?yàn)?，在建立弧度制以后，角的集合與實(shí)數(shù)集合間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從這個(gè)意義上說(shuō)，“角是實(shí)數(shù)”，三角函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)．各種不同的三角函數(shù)定義了不同的對(duì)應(yīng)法則，因而可能有不同的定義域與值域．
任意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問(wèn)題的基點(diǎn)．無(wú)論是研究三角函數(shù)在各象限中的符號(hào)、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關(guān)系，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，等等，都具有基本的重要的意義．
在建立任意角三角函數(shù)這個(gè)定義的過(guò)程中，學(xué)生可以感受到數(shù)與形結(jié)合，以及類比、運(yùn)動(dòng)、變化、對(duì)應(yīng)等數(shù)學(xué)思想方法． 二．目標(biāo)和目標(biāo)解析
本節(jié)課的目標(biāo)是，理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義．
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)sinα，cosα，tanα，了解三角函數(shù)是直角三角形中邊長(zhǎng)的比值，這個(gè)比值僅與銳角的大小有關(guān)，是隨著銳角取值的變化而變化的，其值是惟一確定的，等函數(shù)的要素．這是任意角三角函數(shù)概念的“生長(zhǎng)點(diǎn)”．
理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義的關(guān)鍵是由銳角三角函數(shù)這個(gè)線段長(zhǎng)度的比值擴(kuò)展為點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值．因此，對(duì)銳角三角函數(shù)理解得怎樣，對(duì)理解任意角三角函數(shù)有決定意義，復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)，加深對(duì)銳角三角函數(shù)的理解是必要的．
要實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生“理解”任意角三角函數(shù)定義的教學(xué)目標(biāo)，莫過(guò)于讓學(xué)生參與任意角三角函數(shù)定義的過(guò)程．讓學(xué)生感受到因角的概念的擴(kuò)展，銳角三角函數(shù)概念擴(kuò)展的必要性，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)概念的自然延伸．反過(guò)來(lái)，既然銳角集合是任意角集合的子集，那么，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該是任意角三角函數(shù)的特殊情況，是一個(gè)包含關(guān)系．讓學(xué)生參與定義，可以感受到這樣定義的合理性，感受到這個(gè)定義是自然的．
三．教學(xué)問(wèn)題診斷分析
從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，從認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的角度來(lái)說(shuō)，是屬于“下、上位關(guān)系學(xué)習(xí)”，是一個(gè)從特殊到一般的過(guò)程，“先行組織者”是銳角三角函數(shù)的概念．教學(xué)策略上先復(fù)習(xí)包容性小、抽象概括程度低的銳角三角函數(shù)的概念，然后讓學(xué)生“再創(chuàng)造”抽象程度高的上位概念（參與定義），并形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓原有的銳角三角函數(shù)的概念類屬于抽象程度更高的任意角三角函數(shù)的概念之中．
學(xué)生過(guò)去在直角三角形中研究過(guò)銳角三角函數(shù)，這對(duì)研究任意角三角函數(shù)在認(rèn)識(shí)上會(huì)有一定的局限性，所以學(xué)生在用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)研究三角函數(shù)可能會(huì)有一定的困難．可以讓學(xué)生在原有的對(duì)銳角三角函數(shù)的幾何認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，嘗試讓學(xué)生建立用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角三角函數(shù)，或者嘗試用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)定義銳角三角函數(shù)，然后再定義任意角的三角函數(shù)．
教學(xué)的另一個(gè)難點(diǎn)是，任意角三角函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集（或它的子集）．因?yàn)閷W(xué)生剛剛接觸弧度制，未必能理解“把角的集合與實(shí)數(shù)集建立一一對(duì)應(yīng)”到底是為了什么．可以在復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)時(shí)，把銳角說(shuō)成區(qū)間（0，四．教學(xué)支持條件分析
利用幾何畫板軟件，可以動(dòng)態(tài)改變角的終邊位置，從而改變角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)大小的特點(diǎn)，便于學(xué)生認(rèn)識(shí)任意角的位置的改變，所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值也改變的特點(diǎn)，感受函數(shù)的本質(zhì)；感受終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值；也便于觀察各三角函數(shù)在各象限中符號(hào)的變化情況，加深對(duì)任意角三角函數(shù)概念的理解，增強(qiáng)教學(xué)效果．）內(nèi)的角，以便分散這個(gè)難點(diǎn)． 五．教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 1．理解銳角三角函數(shù)
要理解任意角三角函數(shù)首先要理解銳角三角函數(shù)．銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的先行組織者．
問(wèn)題1 任意畫一個(gè)銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．
教師用幾何畫板任意畫一個(gè)銳角．要求學(xué)生自己任意也畫一個(gè)銳角，利用手中的三角板畫直角三角形，度量角α的對(duì)邊長(zhǎng)、斜邊長(zhǎng)，計(jì)算比值．
意圖：復(fù)習(xí)初中所學(xué)習(xí)過(guò)的銳角三角函數(shù)，加深對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解，它是學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ)．突出：
（1）與點(diǎn)的位置的選取無(wú)關(guān)；（2）是直角三角形中線段長(zhǎng)度的比值． 問(wèn)題2 能否把某條線段畫成單位長(zhǎng)，有些三角函數(shù)值不用計(jì)算就可以得到？
意圖：學(xué)生根據(jù)自己實(shí)際畫圖操作，以及計(jì)算比值的體驗(yàn)，會(huì)很快認(rèn)為把斜邊畫成單位長(zhǎng)比較方便，為后續(xù)任意角三角函數(shù)的“單位圓定義法”做鋪墊．
問(wèn)題3 銳角三角函數(shù)sinα作為一個(gè)函數(shù)，自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？
意圖：以便與后面的任意角三角函數(shù)的自變量是角（的弧度，對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)），對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是α的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)比較．
銳角三角函數(shù)sinα作為一個(gè)函數(shù)，自變量是銳角．由于角的弧度值與實(shí)數(shù)可以一一對(duì)應(yīng)，所以，α是（0，）上的實(shí)數(shù)．而與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值sinα是線段長(zhǎng)度的比值，是區(qū)間（0，1）上的實(shí)數(shù)．
問(wèn)題4 你產(chǎn)生過(guò)這個(gè)疑問(wèn)嗎：“三角函數(shù)只有這三個(gè)？”
意圖：這個(gè)問(wèn)題具有元認(rèn)知提示的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生勤于思考，逐步學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、研究問(wèn)題．
三條邊相互比，可以產(chǎn)生六個(gè)比．還有哪三個(gè)呢？再把已知的三個(gè)倒過(guò)來(lái)． 2．任意角三角函數(shù)定義的“再創(chuàng)造”
教師利用幾何畫板，把角α的頂點(diǎn)定義為原點(diǎn)，一邊與x軸的正半軸重合，轉(zhuǎn)動(dòng)另一條邊，表現(xiàn)任意角．
問(wèn)題5 現(xiàn)在，角的范圍擴(kuò)大了．在直角坐標(biāo)系中，使得角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境下，你認(rèn)為，對(duì)于任意角α，sinα，cosα，tanα怎樣來(lái)定義好呢？
意圖：可以打破知識(shí)結(jié)構(gòu)的平衡，感受到學(xué)習(xí)新知識(shí)的必要性——角的范圍擴(kuò)大了，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該“與時(shí)俱進(jìn)”，并不顯得突然．把定義的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生參與定義過(guò)程，發(fā)展思維．
有兩種可能的回答．
可能一：在α的終邊上任意畫一點(diǎn)p（x，y），|op|＝r．
可能二：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為p（x，y）．
不論出現(xiàn)可能一還是可能二，都再問(wèn)：“都是這樣的嗎？”
引導(dǎo)學(xué)生議論，以確認(rèn)兩種定義方法的一致性、各自特點(diǎn)．再問(wèn)“你贊成哪一種？”，統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，建立任意角三角函數(shù)的定義．（板書）
因?yàn)榍懊嬉呀?jīng)有引導(dǎo)，學(xué)生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)（對(duì)定義的體驗(yàn)）
問(wèn)題6（1）求下列三角函數(shù)值：
問(wèn)題6（2）說(shuō)出幾個(gè)使得cosα＝1的α的值． 意圖：通過(guò)定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用，把握定義的內(nèi)涵．
逐題給出，對(duì)于每一個(gè)答案，都要求學(xué)生說(shuō)出“你是怎樣得到的．”突出“畫終邊，找交點(diǎn)坐標(biāo)，算比值（對(duì)正切函數(shù)）”的步驟．
問(wèn)題6（3）指出下列函數(shù)值：
意圖：角的終邊位置決定了三角函數(shù)值的大?。K邊位置相同的角同一三角函數(shù)值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈z）問(wèn)題6（4）
①確定下列三角函數(shù)的符號(hào)：
②θ在哪個(gè)象限？請(qǐng)說(shuō)明理由．反過(guò)來(lái)呢？
③角α的哪些三角函數(shù)值在第二、三象限都是負(fù)數(shù)？為什么？ ④tanα在哪些象限中取正數(shù)？為什么？ 意圖：認(rèn)識(shí)三角函數(shù)在各象限中的符號(hào)．
問(wèn)題7 做了這么多題，要反思．你是否發(fā)現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的一些性質(zhì)？還有些什么體會(huì)？ 意圖：體驗(yàn)以后的概括，階段小結(jié)．（1）抓住各三角函數(shù)的定義不放；（2）各象限中三角函數(shù)的符號(hào)特點(diǎn)，等．
教師板書學(xué)生獲得的成果、感受． 4．任意角三角函數(shù)的定義域
問(wèn)題8 α是任意角，作為函數(shù)的sinα，cosα，tanα，它們的定義域分別是什么？
意圖：三角函數(shù)也是函數(shù)，自然應(yīng)該關(guān)心它的定義域．
建立了角的弧度制，角的集合與實(shí)數(shù)集合之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此，sinα，cosα的定義域是r；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定義域是
仍然緊扣定義，并引導(dǎo)以弧度制表示它的定義域． 5．練習(xí)
（1）確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)，并借助計(jì)算器計(jì)算：
（2）求下列三角函數(shù)值：
6．小結(jié)
問(wèn)題9 下課后，你走出教室，如果有人問(wèn)你：“過(guò)去你就學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，今天又學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，它們的差別在哪里呢？”你怎么回答他？
意圖：通過(guò)問(wèn)題小結(jié)．不追求面面俱到，突出銳角三角函數(shù)是三角形中，邊長(zhǎng)的比值，而任意角的三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，或者是坐標(biāo)的比值．
若時(shí)間允許，再問(wèn)：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角函數(shù)相等；各象限三角函數(shù)的符號(hào)；任意角三角函數(shù)的定義域，等． 六．目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)
（1），寫出α的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并寫出tanα的值．
（2）求下列三角函數(shù)的值：
（3）角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)是q，點(diǎn)q的縱坐標(biāo)是1/2，說(shuō)出幾個(gè)滿足條件的角α．
（4）點(diǎn)p（3，－4）在角α終邊上，說(shuō)出sinα，cosα，tanα分別是多少？
（1）實(shí)際教學(xué)片段
上課始，教師用幾何畫板任意畫一個(gè)銳角，提出問(wèn)題1：“任意畫一個(gè)銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．”然后走進(jìn)學(xué)生中間，觀察他們的學(xué)習(xí)行為．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，有一部分同學(xué)畫出角之后，一片茫然．教師又不愿意把結(jié)果告訴學(xué)生，提示同桌的兩位同學(xué)可以商量一下，并提示，完成的同學(xué)請(qǐng)舉手示意，以便教師了解情況，結(jié)果舉手的人很少．之后，教師提問(wèn)一位舉手的學(xué)生，問(wèn)：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教師非常贊成．她在黑板上畫出一個(gè)直角三角形，并不熟練地寫出一個(gè)銳角的正弦是它的對(duì)邊比斜邊以及余弦、正切等三個(gè)三角函數(shù)．之后，教師又與學(xué)生討論了問(wèn)題2：能否把某條線段畫成單位長(zhǎng)，有些三角函數(shù)值不用計(jì)算就可以得到？學(xué)生比較一致認(rèn)為把斜邊長(zhǎng)畫成單位長(zhǎng)比較好，為“單位圓定義法”做必要的鋪墊．接著討論問(wèn)題3：銳角三角函數(shù)sinα作為一個(gè)函數(shù)，自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？在教師類比正方形的面積s＝a2的提示下，學(xué)生說(shuō)出銳角三角函數(shù)中自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是角、比值，最后討論問(wèn)題4：你產(chǎn)生過(guò)這個(gè)疑問(wèn)嗎：“三角函數(shù)只有這三個(gè)？”有學(xué)生舉手，表示想過(guò)這個(gè)問(wèn)題，應(yīng)該是六個(gè)，另外三個(gè)可以把現(xiàn)有的三個(gè)倒一下得到．至此，時(shí)間已經(jīng)過(guò)去20多分鐘．
教師本以為，學(xué)生在初中既然學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，對(duì)給出的一個(gè)銳角，借助三角板構(gòu)造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在這一點(diǎn)上，學(xué)生耗費(fèi)了大量的時(shí)間，而教師又不想越俎代庖地告訴學(xué)生，這就嚴(yán)重影響了后續(xù)建立任意角三角函數(shù)的概念，并通過(guò)特殊角的求值體驗(yàn)、把握內(nèi)涵的時(shí)間保證，造成體驗(yàn)不夠，概括
過(guò)早，應(yīng)用更少的現(xiàn)象．
（2）問(wèn)題出在哪里
問(wèn)題在教學(xué)設(shè)計(jì)不夠合理，當(dāng)中的“教學(xué)問(wèn)題診斷分析”不夠準(zhǔn)確．沒(méi)有準(zhǔn)確把握學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)與認(rèn)識(shí)能力，對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的困難估計(jì)不足．尤其是，對(duì)學(xué)生關(guān)于銳角三角函數(shù)的理解估計(jì)過(guò)高．主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)是在直角三角形中進(jìn)行的，并不要求給出一個(gè)銳角，兩邊是射線，求出它的三角函數(shù)值．二是并不要求把“銳角三角函數(shù)”作為函數(shù)來(lái)認(rèn)識(shí)，比如關(guān)注它的自變量是角，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是比值，更不關(guān)心它的定義域、值域以及對(duì)應(yīng)法則這些函數(shù)的要素．只要求運(yùn)用符號(hào)sina，cosa，tana的意義來(lái)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算，等．現(xiàn)在，要求學(xué)生從函數(shù)角度建立任意角三角函數(shù)概念這就失去了概念的上位支持．
關(guān)于銳角三角函數(shù)，在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中，是在“空間與圖形”的“圖形與變換”部分．標(biāo)準(zhǔn)指出：“通過(guò)實(shí)例認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)（sina，cosa，tana），知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對(duì)應(yīng)的銳角．”以及“運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡(jiǎn)
單實(shí)際問(wèn)題．”
筆者查閱了按照“課程標(biāo)準(zhǔn)”編寫的幾套初中教材，給出sina的方式基本上一致，是：
如圖（圖略），在rt△abc中，∠c＝90°，我們把銳角a的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠a的正弦（sine），記作sina，即”（對(duì)cosa，tana有類似的定義）并指出“銳角a的正弦、余弦和正切都是∠a的三角函
數(shù)．”
以后的內(nèi)容（包括解實(shí)際問(wèn)題），都是有關(guān)三角函數(shù)值的計(jì)算，并不強(qiáng)調(diào)它們的函數(shù)特征．有的教材雖然指出“對(duì)于銳角a的每一個(gè)確定的值，sina有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sina是a的函數(shù)．同樣地，cosa，tana也是a的函數(shù)．”作出了銳角三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)的提示，由于缺少必要的練習(xí)，作用并不大．應(yīng)該說(shuō)，這些都不違背“課程標(biāo)準(zhǔn)” 的要求．可見(jiàn)學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，銳角三角函數(shù)并不納入“函
數(shù)”這個(gè)系統(tǒng)．
初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)有一個(gè)特定的載體，這就是直角三角形，因此，當(dāng)他們面對(duì)任意畫出的一個(gè)銳角，其兩條邊是射線，要求出這個(gè)角的三角函數(shù)的近似值這個(gè)新情境時(shí)，竟不知如何是好，手足無(wú)措，無(wú)計(jì)可施，也說(shuō)明學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)并不理解．這樣看來(lái)，畫出一個(gè)銳角，要求學(xué)生會(huì)取點(diǎn)、畫垂線、度量、計(jì)算比值的要求是必要的．
有教師認(rèn)為，不必復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)，直接提出問(wèn)題“同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣來(lái)定義任意角的三角函數(shù)？”這種“大撒手”的問(wèn)題跨度太大，學(xué)生更難回答．原因是對(duì)銳角三角函數(shù)的“函數(shù)”特征認(rèn)識(shí)不足、理解不到位，要讓學(xué)生直接建立任意角的三角函數(shù)，又要突出“函數(shù)”這一特征，很困難．因此，為建立任意角的三角函數(shù)的概念，需要先復(fù)習(xí)初中銳角三角函數(shù)的概念，因?yàn)閺匿J角（三角函數(shù)）到任意角（三角函數(shù)）又是由下位到上位的學(xué)習(xí)．教材要求首先把直角三角形中邊長(zhǎng)的比值擴(kuò)展到坐標(biāo)或者坐標(biāo)的比值，在直角坐標(biāo)系中認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)，并引導(dǎo)學(xué)生從“函數(shù)”的角度認(rèn)識(shí)它，也就是弄清自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)分別是什么是必要的．
（3）對(duì)教學(xué)的反思
高中教師應(yīng)該了解義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，了解初中教材，了解學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過(guò)哪些內(nèi)容，尤其是相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)是什么，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．應(yīng)該做好初、高中的銜接工作，不僅注意知識(shí)的銜接，還要注意思想方法、能力要求等各方面的銜接，為學(xué)習(xí)高中的相關(guān)內(nèi)容做好鋪墊．以為已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，學(xué)生就能夠把它理解為一種特殊的函數(shù)，是一個(gè)明顯的例子．
教科書在節(jié)首提出的“思考”是：“我們已經(jīng)學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎”其實(shí)，學(xué)生只知道銳角三角函數(shù)是直角三角形中邊長(zhǎng)的比值，并不完全知道“它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)”，這就需要通過(guò)復(fù)習(xí)，來(lái)幫助學(xué)生
補(bǔ)上這一點(diǎn)．
2．其他反思
（1）由于學(xué)生在復(fù)習(xí)階段花了較多的時(shí)間，影響了新課的學(xué)習(xí)，用任意角三角函數(shù)概念解題的時(shí)間不多，體驗(yàn)不夠，有教師提出“下課后練習(xí)不好做”，說(shuō)明復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)沒(méi)有必要．筆者認(rèn)為，當(dāng)“預(yù)設(shè)”與“生成”發(fā)生矛盾時(shí)，教師寧可選擇“生成”．尊重學(xué)生的認(rèn)知水平，尊重學(xué)生的認(rèn)知心理過(guò)程，決不簡(jiǎn)單化，把結(jié)論直接告訴給學(xué)生，追求“結(jié)果”，追求“完成”教學(xué)任務(wù)．教師不能認(rèn)為我已經(jīng)把這個(gè)概念告訴你了，你就應(yīng)該知道了．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)不是“告訴教學(xué)”，概念不能靠學(xué)生“復(fù)制”，對(duì)概念需要的是理解，需要學(xué)生用自己的體驗(yàn)建立起對(duì)概念的理解．什么是“教學(xué)任務(wù)”，不能僅限于知識(shí)要求，要注意學(xué)生的全面發(fā)展．比如，當(dāng)學(xué)生不能正確選擇在角的一邊上取點(diǎn)，畫垂線時(shí)，啟示學(xué)生互相討論、啟發(fā)一下，借助于同伴的幫助解決問(wèn)題．當(dāng)學(xué)生不能說(shuō)出“作為函數(shù)的銳角三角函數(shù)，自變量以及它的函數(shù)分別是什么”（屬性）意義不清，不好回答時(shí)，教師降低難度，啟發(fā)類比s＝a2中a表示邊長(zhǎng)，而s表示正方形的面積．突出線段長(zhǎng)、面積，等等．
“任意角三角函數(shù)的概念”與作為第一節(jié)課的“任意角三角函數(shù)的概念”不是同一個(gè)概念．對(duì)“任意角三角函數(shù)的概念”的認(rèn)識(shí)、理解不是一蹴而就的，不是一節(jié)課可以完成的任務(wù)，需要一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程．比如，把角度化成弧度到底是為了什么？即便化成弧度，又為什么省略不寫呢？建立角的弧度與實(shí)數(shù)間的一一對(duì)應(yīng)有什么必要呢？任意角三角函數(shù)的自變量明明白白是角，為什么偏要把它說(shuō)成實(shí)數(shù)呢？剛剛接觸任意角三角函數(shù)就要求理解這一切是十分困難的．隨著學(xué)習(xí)的深入，尤其是三角函數(shù)的應(yīng)用，學(xué)生才能慢慢消除這些疑問(wèn)，逐漸理解它．比如，在三相交流電路中，某一相電路中的電流強(qiáng)度ia＝imsin（ωt）（其中im是電路中電流強(qiáng)度的峰值），三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的基本數(shù)學(xué)模型；再比如，當(dāng)學(xué)生接觸到函數(shù)y＝sin（cosx）后，再來(lái)看三角函數(shù)的定義域，會(huì)認(rèn)識(shí)到抽象后的任意角三角函數(shù)的自變量作為實(shí)數(shù)更具廣泛性．
這一節(jié)課把教學(xué)的基本要求定位在，弄清任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的區(qū)別，接受用坐標(biāo)（或坐標(biāo)的比值）表示三角函數(shù)就夠了．如同在建立數(shù)軸之后，一個(gè)知道把向東2公里表示為2公里而向西2公里表示成－2公里，接受“路程也可以是負(fù)數(shù)”的學(xué)生，就已經(jīng)開(kāi)始接受有理數(shù)，逐漸成為中學(xué)生了．
還需要注意的是，應(yīng)該通過(guò)什么方式讓學(xué)生建立起用坐標(biāo)（或比值）表示任意角三角函數(shù)，以及領(lǐng)會(huì)建立這個(gè)概念過(guò)程
中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法．
（2）在求cosπ時(shí)，一個(gè)學(xué)生說(shuō)出的結(jié)果是0.9985．教師追問(wèn)“你是怎么算出來(lái)的？”他回答：“用計(jì)算器．”后來(lái)，筆者用計(jì)算器做了實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)他用計(jì)算器計(jì)算時(shí)，把計(jì)算器中的角度模式（mode）設(shè)置成了角度制（degree）．在這種模式下，計(jì)算cosπ可以得到0.9985（即計(jì)算的是cosπ°）．如果把角度模式設(shè)置成了弧度制（radian），計(jì)算cosπ仍可以得到－1．這件事的出現(xiàn)給我以及所有聽(tīng)課教師引發(fā)諸多思考．第一，這位同學(xué)沒(méi)有關(guān)注到這節(jié)課剛學(xué)習(xí)過(guò)的概念，運(yùn)用新概念解決當(dāng)前的問(wèn)題，而是停留在“三角函數(shù)值是能夠用計(jì)算器算出來(lái)的”這個(gè)認(rèn)識(shí)水平上；第二，反映了計(jì)算器的過(guò)度使用，會(huì)形成對(duì)學(xué)具的依賴，影響學(xué)生思維能力的發(fā)展．學(xué)具的功能越全面越強(qiáng)大不一定是好事．比如，具有解方程（solve）功能的計(jì)算器在初中使用可能會(huì)削弱解一元二次方程的學(xué)習(xí)；具有圖象功能的計(jì)算器的過(guò)早使用可能會(huì)干擾函數(shù)的學(xué)習(xí)．因此，教師應(yīng)該注意技術(shù)在教學(xué)中的“輔助”作用，適度使用教具，重視算理分析，重視算法的來(lái)源，重視思維能力的培養(yǎng)，而不是追求計(jì)算結(jié)果．
借班上課，對(duì)學(xué)生的不熟悉是教師的苦惱，加上教學(xué)進(jìn)度等問(wèn)題，學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備不足（在教學(xué)任意角三角函數(shù)概念之前僅上過(guò)一堂“任意角”的課），是教學(xué)并不理想的一個(gè)重要原因．教學(xué)過(guò)程是師生雙邊活動(dòng)的過(guò)程，離不開(kāi)師生之間的交流，生疏是交流的障礙之一，生疏更難以做到師生之間配合默契．另外，學(xué)生對(duì)教師的教學(xué)風(fēng)格的適應(yīng)或認(rèn)可也有一個(gè)過(guò)程，比如教師希望學(xué)生積極發(fā)言而不僅是聽(tīng)講，等等．
（3）討論中，老師們提出了許多有價(jià)值的教學(xué)應(yīng)該遵循的一般規(guī)律以及一些先進(jìn)的教學(xué)理念，但是，要求一節(jié)課全面體現(xiàn)各種先進(jìn)教學(xué)理念，去承擔(dān)反映數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律中太多的東西是不現(xiàn)實(shí)，也是不應(yīng)該的．
課堂教學(xué)是一項(xiàng)實(shí)踐性很強(qiáng)的工作，除了認(rèn)真的課前準(zhǔn)備外，對(duì)教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)的“突發(fā)事件”，隨機(jī)應(yīng)變十分重要．教師需要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)識(shí)過(guò)程，隨時(shí)修改自己的教學(xué)設(shè)計(jì)，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求，改變策略，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▽?shí)施教學(xué)，以達(dá)到最佳教學(xué)效果．這一切都需要教師有很強(qiáng)的基本功．
任意角三角函數(shù)定義教學(xué)設(shè)計(jì)篇四
任意角的三角函數(shù)（1）
一、教學(xué)內(nèi)容分析：
高一年《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書·數(shù)學(xué)（必修4）》（人教版a版）第12頁(yè)1.2.1任意角的三角函數(shù)第一課時(shí)。
本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎(chǔ)，主要是從通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過(guò)程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。
在本模塊中，學(xué)生將通過(guò)實(shí)例學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會(huì)三角函數(shù)在解決具有變化規(guī)律的問(wèn)題中的作用。
二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析
我們的課堂教學(xué)常用“高起點(diǎn)、大容量、快推進(jìn)”的做法，忽略了知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，以騰出更多的時(shí)間對(duì)學(xué)生加以反復(fù)的訓(xùn)練，無(wú)形增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，泯滅了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。我們雖然刻意地去改變教學(xué)的方式，但仍太多舊時(shí)的痕跡，若為了新課程而新課程又會(huì)使得美景變成了幻影，失去新課程自然與清純之味。所以如何進(jìn)行《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(以下簡(jiǎn)稱課程標(biāo)準(zhǔn))的教學(xué)設(shè)計(jì)就很值得思考探索。如何讓學(xué)生把對(duì)初中銳角三角函數(shù)的定義及解直角三角形的知識(shí)遷移到學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)的定義中？
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))解讀》中在三角函數(shù)的教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注以下兩點(diǎn)：
第一、根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，例如單調(diào)彈簧振子，圓上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，以及音樂(lè)、波浪、潮汐、四季變化等實(shí)例，使學(xué)生感受周期現(xiàn)象的廣泛存在，認(rèn)識(shí)周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會(huì)三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型以及三角函數(shù)模型的意義。
第二、注重三角函數(shù)模型的運(yùn)用即運(yùn)用三角函數(shù)模型刻畫和描述周期變化的現(xiàn)象（周期振蕩現(xiàn)象），解決一些實(shí)際問(wèn)題，這也是《課程標(biāo)準(zhǔn)》在三角函內(nèi)容處理上的一個(gè)突出特點(diǎn)。
根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的指導(dǎo)思想，任意角的三角函數(shù)的教學(xué)應(yīng)該幫助學(xué)生解決好兩個(gè)問(wèn)題：
其一：能從實(shí)際問(wèn)題中識(shí)別并建立起三角函數(shù)的模型；
其二：借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義并認(rèn)識(shí)其定義域、函數(shù)值的符號(hào)。
三、設(shè)計(jì)理念：
本節(jié)課通過(guò)多媒體信息技術(shù)展示摩天輪旋轉(zhuǎn)及生成的圖像，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活，激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。并通過(guò)問(wèn)題的探究，體驗(yàn)“數(shù)學(xué)是過(guò)程的思想”，改變課程實(shí)施過(guò)程于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)，死記硬背，機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，樂(lè)于探究，勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)生收集和處理信息的能力，獲得新知識(shí)的能力，分析與解決問(wèn)題的能力以及交流合作的能力。
四、教學(xué)目標(biāo)：
1.借助摩天輪的情景問(wèn)題很好地融合初中對(duì)三角函數(shù)的定義，也能很好入在直角坐標(biāo)系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過(guò)渡，從通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過(guò)程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義；
2.從任意角的三角函數(shù)的定義認(rèn)識(shí)其定義域、函數(shù)值的符號(hào)； 3.能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。
五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：
1.教學(xué)重點(diǎn)：任意角三角函數(shù)的定義. 2.教學(xué)難點(diǎn)：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.具體設(shè)計(jì)如下：
opa
六、教學(xué)過(guò)程
第一部分——情景引入
問(wèn)題1:如圖是一個(gè)摩天輪，假設(shè)它的中心離地面的高度為ho，它的直徑為2r，逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置oa出發(fā)（如圖1所示），過(guò)了30秒后，你離地面的高度h為多少？過(guò)了45秒呢？過(guò)了t秒呢？
圖1 【設(shè)計(jì)意圖】：高中學(xué)生已經(jīng)具有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和一定的科學(xué)知識(shí)，因此選擇感興趣的、與其生活實(shí)際密切相關(guān)的素材，此情景設(shè)計(jì)應(yīng)該有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展的理解。這個(gè)數(shù)學(xué)模型很好融合初中對(duì)三角函數(shù)的定交，也能放在直角坐標(biāo)系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角三角函數(shù)過(guò)渡，揭示函數(shù)的本質(zhì)。
第二部分——復(fù)習(xí)回顧銳角三角函數(shù)
讓學(xué)生自主思考如何解決問(wèn)題：“過(guò)了30秒后，你離地面的高度為多少？”
【分析】：作圖如圖2很容易知道：從起始位置oa運(yùn)
bnompa圖2 h動(dòng)30秒后到達(dá)p點(diǎn)位置，由題意知?aop?300，作ph垂直地面交oa于m，又知mh＝ho，所以本問(wèn)題轉(zhuǎn)變成求ph再次轉(zhuǎn)變?yōu)榍髉m。
要求pm就是回到初中所學(xué)的解直角三角形的問(wèn)題即銳角的三角函數(shù)。問(wèn)題2：銳角?的正弦函數(shù)如何定義？ 【學(xué)生自主探究】：學(xué)生很容易得到
sin??|mp||mp|??|mp|?rsin??|ph|?h0?rsin? |op|r?h?h0?rsin?
所以學(xué)生很自然得到“過(guò)了30秒后，過(guò)了45秒,你離地面的高度h為多少？”
ph1?h0?rsin300 h2?h0?rsin450
【教師總結(jié)】：t0在銳角的范圍中，oaympomaxh?h0?rsint0
第三部分——引入新課
問(wèn)題3：請(qǐng)問(wèn)t的范圍呢？隨著時(shí)間的推移，你離地面的高度h為多少？能不能猜想
bh?h0?rsint0？
【分析】：若想做到這一點(diǎn)，就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦。今天我們就要來(lái)學(xué)習(xí)任意角的三函數(shù)角函數(shù)。
問(wèn)題4：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)p(xp,yp)，能你用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角?的正弦函數(shù)的定義嗎？能否也定義其它函數(shù)（余弦、正切）？
【學(xué)生自主探究】：sin??|mp|yp? r|op|cos??|mp|yp|om|xp，tan?? ??|op|r|om|xp問(wèn)題5：改變終邊上的點(diǎn)的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？為什么？ 【分析】：先由學(xué)生回答問(wèn)題，教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個(gè)點(diǎn)，計(jì)算比值，獲得具體認(rèn)識(shí)，并由相似三角形的性質(zhì)證明。
【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生深刻理解體會(huì)三角函數(shù)值不會(huì)隨著終邊上的點(diǎn)的位置的改變而改變，只與角有關(guān)系。
通過(guò)摩天輪的演示，讓學(xué)生感受到第一象限角的正弦可以跟銳角正弦的定義一樣。
問(wèn)題6：大家根據(jù)第一象限角的正弦函數(shù)的定義，能否也給出第二象限角的定義呢？
【學(xué)生自主探究】：學(xué)生通過(guò)上面已知知識(shí)得到sin??|mp|yp? r|op|pxyo學(xué)生定義好第二象限角后，讓學(xué)生自己算出摩天輪座艙在第150秒時(shí)，離地面的高度h？
通過(guò)摩天輪知道：
圖3h?h0?rsin1500?h1?h0?rsin300
由此得到：sin1500?1 2【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)這個(gè)，讓學(xué)生檢驗(yàn)sin??正確？
問(wèn)題7：sin??|mp|yp?在第二象限角是否r|op||mp|在第三象限角或第四象限能成立嗎？ |op|【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生通過(guò)模型，檢驗(yàn)定義是否正確，從中讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)正、負(fù)符號(hào)的偏差。
（可以讓學(xué)生取t?210，從而h?h0?rsin2100,得到sin2100＝?這與sin??|mp|?|mp|不相符，實(shí)際上是sin??）|op||op|1，發(fā)現(xiàn)2【教師總結(jié)】：我們通過(guò)個(gè)模型知道如何在某些范圍內(nèi)如何計(jì)算自已此時(shí)離地面的高度，用數(shù)學(xué)模型h?h0?rsint0來(lái)表示，當(dāng)摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)，角度的概念也不知不覺(jué)地推廣到任意角，對(duì)于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角形中的對(duì)邊的長(zhǎng)度比斜邊長(zhǎng)度了，我更應(yīng)該用點(diǎn)p的橫坐標(biāo)來(lái)代替|mp|或?|mp|，那么這樣就能夠很好表示出正弦的函數(shù)任意角的定義。
第三部分——給出任意角三角函數(shù)的定義
如圖3,已知點(diǎn)p(x,y)為角?終邊上的點(diǎn)，點(diǎn)p到頂點(diǎn)o的距離為r，則
ysin??（??r）
rxcos??（??r）
ry?tan??（???k?）
x2【分析】：讓學(xué)生通過(guò)剛才的模型進(jìn)一步體驗(yàn)任意角三角函數(shù)的定義要點(diǎn)：點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離。
問(wèn)題8：當(dāng)摩天輪的半徑r＝1時(shí)，三角函數(shù)的定義會(huì)發(fā)生怎樣的變化?！緦W(xué)生自主探究】：sin??y，cos??x，tan??y。x教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比，學(xué)生通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)取到原點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)可以使表達(dá)式簡(jiǎn)化。
教師進(jìn)一步給出單位圓的定義 給出下列表格，讓學(xué)生自己補(bǔ)充完整。三角函數(shù)
sin? 定義一：|op|?1
y
定義二：|op|?r
y rx ry x定義域
??r ??r cos?
tan?
x
y x???2?k?
及時(shí)歸納總結(jié)有利學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固和掌握。第三部分——例題講解
例1.（課本p14例2）已知角?終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)p0(?3,?4)，求角?的正弦、余弦和正切值。
【分析】：讓學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣，得用上面的定義二就可以得到答案。
5?例2.（課本p14例1）求的正弦、余弦和正
3切值。
【學(xué)生自主探究】：讓學(xué)生自己思考并獨(dú)立完成。然后與課本的解答相對(duì)比一下，發(fā)現(xiàn)本題的難
omxyp圖4點(diǎn)。
【教師講解】：本題題意很簡(jiǎn)單，但是如何入手卻是難點(diǎn)，關(guān)鍵是對(duì)本節(jié)課的三角函數(shù)定義的要點(diǎn)有沒(méi)有領(lǐng)會(huì)清楚（任意角三角函數(shù)的定義要點(diǎn)：點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離），因此本題的重點(diǎn)之處是如何利用單位圓找到這個(gè)點(diǎn)p，如圖4可以知道?pom?很容易得到本題答案。
不妨讓學(xué)生取r?|op|?4，能否也得到點(diǎn)p的坐標(biāo)，得到的三角函數(shù)值是否與單位圓的一樣。這樣可以讓學(xué)生更深刻體驗(yàn)三角函數(shù)的定義。
第四部分——鞏固練習(xí)練習(xí)1.例2變式求
7?的正弦、余弦和正切值。6?13，又點(diǎn)p在第四象限，得到p(,?)，這樣就可以322練習(xí)2.問(wèn)題9：通過(guò)觀察摩天輪的旋轉(zhuǎn)，三角函數(shù)的角的終邊所在象限不同，請(qǐng)說(shuō)說(shuō)三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的三角函數(shù)值的符號(hào)?獨(dú)立完成課本p15的“探究”。
【設(shè)計(jì)意圖】：練習(xí)
1、練習(xí)2的設(shè)計(jì)與例
2、例3銜接，主要目的是幫助學(xué)生鞏固三角函數(shù)的本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)利用坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征自主探究三角函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題的思想方法。并在特殊情形中體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。
第五部分——小結(jié)與作業(yè) 學(xué)生自我總結(jié)
作業(yè)：p23習(xí)題1.2a組 1,2,3
七、教學(xué)反思
上述教學(xué)設(shè)計(jì)及具體教學(xué)實(shí)施過(guò)程我認(rèn)為有以下幾點(diǎn)意義：
1.教學(xué)設(shè)計(jì)緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，重點(diǎn)放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設(shè)是學(xué)生熟悉的摩天輪，認(rèn)知過(guò)程符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象，現(xiàn)象到本質(zhì)，特殊到一般，這樣有利學(xué)生的思考。
2.情景設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型很好地融合初中對(duì)三角函數(shù)的定義，也能很好引入在直角坐標(biāo)系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過(guò)渡，同時(shí)能夠揭示函數(shù)的本質(zhì)。
3.通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過(guò)程，讓學(xué)生在情境中活動(dòng)，在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)與自然和社會(huì)的聯(lián)系、新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，在體驗(yàn)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，它滲透了蘊(yùn)涵在知識(shí)中的思想方法和研究性學(xué)習(xí)的策略，使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。這和課程標(biāo)準(zhǔn)的理念是一致的。
4.《標(biāo)準(zhǔn)》把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)作為其目標(biāo)之一, 在教學(xué)中不僅要突出知識(shí)的來(lái)龍去脈還要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實(shí)踐的空間, 促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)和實(shí)踐過(guò)程中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),提高學(xué)生的直覺(jué)猜想、歸納抽象、數(shù)學(xué)地提出、分析、解決問(wèn)題的能力, 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),使其上升為一種數(shù)學(xué)意識(shí),自覺(jué)地對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式作出思考和判斷。在解答問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)到從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法去觀察生活、分析自然現(xiàn)象、解決實(shí)際問(wèn)題的策略, 使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)原來(lái)就來(lái)自身邊的現(xiàn)實(shí)世界, 是認(rèn)識(shí)和解決我們生活和工作中問(wèn)題的有力武器, 同時(shí)也獲得了進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的切身體驗(yàn)和能力。增進(jìn)了他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。
點(diǎn)評(píng)
本節(jié)課以新穎背景“摩天輪”引課，從直角三角形的銳角入手，引導(dǎo)學(xué)生嘗試探究，逐次深入引出任意角的三角函數(shù)的定義，以問(wèn)題形式鞏固深化任意角三角函數(shù)值的計(jì)算，結(jié)合平位圖直觀作用，使學(xué)生經(jīng)歷了由淺入深，由易到難，清楚展現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的生成過(guò)程，加深了對(duì)任意角三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)。
新課程教材強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的探究能力的培養(yǎng)，但不意味著每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都需要人為創(chuàng)設(shè)情景加以探究，現(xiàn)實(shí)的教學(xué)由于受教學(xué)時(shí)數(shù)限制，總是希望課堂教學(xué)效率高些，任意角的三角函數(shù)的定義是否一定要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情景讓學(xué)生探究？只要讓學(xué)生理解有必要引入任意角三角函數(shù)概念，然后直接下定義，從課堂教學(xué)效率而言，可能會(huì)更好些。
任意角三角函數(shù)定義教學(xué)設(shè)計(jì)篇五
《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教學(xué)內(nèi)容分析
本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎(chǔ)，主要是從通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過(guò)程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。《課程標(biāo)準(zhǔn)》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。
二、學(xué)生情況分析
本課時(shí)研究的是任意角的三角函數(shù)，學(xué)生在初中階段曾經(jīng)研究過(guò)銳角三角函數(shù)，其研究范圍是銳角；其研究方法是幾何的，沒(méi)有坐標(biāo)系的參與；其研究目的是為解直角三角形服務(wù)。以上三點(diǎn)都是與本課時(shí)不同的，因此在教學(xué)過(guò)程中要發(fā)展學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮其正遷移。
三、教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)與技能目標(biāo):借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；能根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出具體的角的各三角函數(shù)值；能根據(jù)定義探究出三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)。
方法與過(guò)程目標(biāo):在定義的學(xué)習(xí)及概念同化和精致的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生類比、分析以及研究問(wèn)題的能力。
情感態(tài)度與價(jià)值觀: 在定義的學(xué)習(xí)過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想。
四、教學(xué)重、難點(diǎn)分析：
重點(diǎn)：理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。難點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生將任意角的三角函數(shù)的定義同化，幫助學(xué)生真正理解定義。
五、教學(xué)方法與策略：
教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，采用學(xué)生自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)，師生互動(dòng)，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過(guò)程.根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容、高一學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的方法組織教學(xué).六、教具、教學(xué)媒體準(zhǔn)備：
為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解，幫助學(xué)生克服在理解定義過(guò)程中可能遇到的障礙，本節(jié)課準(zhǔn)備在計(jì)算機(jī)的支持下，利用幾何畫板動(dòng)態(tài)地研究任意角三角函數(shù)與它的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學(xué)情境，使學(xué)生能夠更好地?cái)?shù)形結(jié)合地進(jìn)行思維．
七、教學(xué)過(guò)程
（一）教學(xué)情景
1．復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義
問(wèn)題1：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)．如圖（課件2）在直角△abc中，∠b是直角，那么根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，銳角a的正弦、余弦和正切分別是什么？
設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生回顧初中銳角三角函數(shù)的定義．
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生回答． 2．認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)的定義
問(wèn)題2：在上節(jié)教科書的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)將角的概念推廣到了任意角，現(xiàn)在所說(shuō)的角可以是任意大小的正角、負(fù)角和零角．那么任意角的三角函數(shù)又該怎樣定義呢？
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)．
師生活動(dòng)：在教學(xué)中，可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，利用下列問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：
（1）能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？ 以此來(lái)引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)．
（2）在上節(jié)教科書中，將銳角的概念推廣到任意角時(shí)，我們是把角放在哪里進(jìn)行研究的？
進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)．在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生討論。
（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，如何定義任意角的三角函數(shù)呢？
（4）終邊是op的角一定是銳角嗎？如果不是，能利用直角三角形的邊長(zhǎng)來(lái)定義嗎？如圖3，如果角θ的終邊不在第i象限又該怎么辦？
問(wèn)題3：大家現(xiàn)在能不能給出任意角三角函數(shù)的定義了？
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在定義銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出任意角三角函數(shù)的定義．
師生活動(dòng)：由學(xué)生給出任意角三角函數(shù)的定義，教師進(jìn)行整理．
問(wèn)題4：你能否給出正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域？ 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)利用定義求定義域，既完善了三角函數(shù)概念的內(nèi)容，同時(shí)又可幫助學(xué)生進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念．
師生活動(dòng)：學(xué)生求出定義域，教師進(jìn)行整理． 例1：（題目在課件8中）
設(shè)計(jì)意圖：從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，通過(guò)變式，讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何利用定義求不同情況下函數(shù)值的問(wèn)題，進(jìn)而加深對(duì)定義的理解，加強(qiáng)定義應(yīng)用中與幾何的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．
3．練習(xí)（在課件9中）
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)應(yīng)用三角函數(shù)的定義，加強(qiáng)對(duì)三角函數(shù)概念的理解． 4．小結(jié)
問(wèn)題5：銳角三角函數(shù)與解直角三角形直接相關(guān)，初中我們是利用直角三角形邊的比值來(lái)表示其銳角的三角函數(shù)．通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，我們知道任意角的三角函數(shù)雖然是銳角三角函數(shù)的推廣，但它與解三角形已經(jīng)沒(méi)有什么關(guān)系了．你能再回顧一下任意角三角函數(shù)的定義嗎？
設(shè)計(jì)意圖：回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容．
八、作業(yè)設(shè)計(jì)：
教科書p106習(xí)題1.2題．
設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)本節(jié)課所涉及到的三角函數(shù)定義應(yīng)用的幾個(gè)方面，從教科書中選擇作業(yè)題．試圖通過(guò)作業(yè)，讓學(xué)生進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念，并從中評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念理解的情況．
九、教學(xué)反思：
上述教學(xué)設(shè)計(jì)及具體教學(xué)實(shí)施過(guò)程我認(rèn)為有以下幾點(diǎn)意義：
1.教學(xué)設(shè)計(jì)緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，重點(diǎn)放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象，現(xiàn)象到本質(zhì)，特殊到一般，這樣有利學(xué)生的思考。
2.情景設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型很好地融合初中對(duì)三角函數(shù)的定義，也能很好引入在直角坐標(biāo)系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過(guò)渡，同時(shí)能夠揭示函數(shù)的本質(zhì)。
3.通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過(guò)程，讓學(xué)生在情境中活動(dòng)，在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)與自然和社會(huì)的聯(lián)系、新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，在體驗(yàn)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，它滲透了蘊(yùn)涵在知識(shí)中的思想方法和研究性學(xué)習(xí)的策略，使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。這和課程標(biāo)準(zhǔn)的理念是一致的。
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