最新高數(shù)極限證明思路 高數(shù)極限證明看不懂(4篇)

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高數(shù)極限證明思路 高數(shù)極限證明看不懂篇一

2.1 數(shù)列極限

一、概念的引入（割圓術(shù)）

“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒?/p>

正六邊形的面積a

1 正十二邊形的面積a2

n-1

正6×2形的面積an

a1，a2，a3，?，an，?→?s

二、數(shù)列的定義

定義:按自然數(shù)1，2，3?編號(hào)依次排列的一列數(shù)x1，x2，?，xn，?（1）

稱為無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列。其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，xn稱為通項(xiàng)（一般項(xiàng)）。數(shù)列（1）記為{ xn }。

例如

nn

2，4，8，?，2，?；{ 2}

注意：

（1）數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列，可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取

（2）數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)xn=f（n）

三、數(shù)列的極限

1.定義 設(shè){xn}是一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限接近于常數(shù)a，則稱數(shù)列{ xn }收斂，a是數(shù)列{ xn }的極限，或者稱數(shù)列xn收斂于a，記為。

如果數(shù)列沒(méi)有極限，就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的。

例如

nn

2，4，8，?，2，?；{ 2}，發(fā)散，發(fā)散

收斂于0

2.數(shù)列極限的性質(zhì)（1）唯一性

定理 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限。（2）有界性

定義: 對(duì)數(shù)列xn，若存在正數(shù)m，使得一切自然數(shù)n, 恒有|xn|≤m成立, 則稱數(shù)列xn有界，否則，稱為無(wú)界。

例如，數(shù)列有界，數(shù)列無(wú)界

數(shù)軸上對(duì)應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)xn都落在閉區(qū)間[-m，m]上。

定理 收斂的數(shù)列必定有界。

注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件。推論 無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散。（3）保號(hào)性

收斂數(shù)列的保號(hào)性：假設(shè)數(shù)列{αn}收斂，其極限為α，1）若有正整數(shù)n，n＞n時(shí)，αn＞0（或＜0），則α≥0（或α≤0）2）若α＞0（或＜0，則有正整數(shù)n，使得當(dāng)n＞n時(shí)，αn＞0（或＜0）

2.2 級(jí)數(shù)

1.級(jí)數(shù)的定義:

稱為數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)（或簡(jiǎn)稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)），un為一般項(xiàng)。

2.級(jí)數(shù)的部分和

3.部分和數(shù)列

4.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列sn有極限s，即則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂,這時(shí)極限s叫做級(jí)數(shù)的和,并寫(xiě)成。

如果sn沒(méi)有極限，則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂

存在發(fā)散。

例1.討論等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）

（a≠0）的收斂性。

【答疑編號(hào)11020101：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：如果q≠1時(shí)，當(dāng)|q|＜1時(shí)，當(dāng)|q|＞1時(shí)

如果|q|=1時(shí)

當(dāng)|q|=1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散

收斂 發(fā)散

當(dāng)q=-1時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)棣?α+α-α+?

不存在，級(jí)數(shù)發(fā)散

綜上

例2.（56頁(yè)1（3））判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性，并在收斂時(shí)求出其和：

【答疑編號(hào)11020102：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：

由

得級(jí)數(shù)收斂，其和為。

例3.判斷級(jí)數(shù)的斂散性

【答疑編號(hào)11020103：針對(duì)該題提問(wèn)】

例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性，并在收斂時(shí)求出其和

【答疑編號(hào)11020104：針對(duì)該題提問(wèn)】

例5.判別無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性。

【答疑編號(hào)11020105：針對(duì)該題提問(wèn)】

解

∴級(jí)數(shù)收斂，和為。

2.3 函數(shù)極限

兩種情形:

（1）x→∞情形：

（2）x→x0情形：

一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限

定義：設(shè)m是任意一個(gè)正數(shù)，函數(shù)f（x）在上有定義，如果存在常數(shù)a，當(dāng)|x|無(wú)限增大（即|x|→∞）時(shí)，f（x）無(wú)限接近于a，則稱a為函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限，或簡(jiǎn)稱為f（x）在無(wú)窮大處的極限，記為

或f(x)→a，當(dāng)x→∞時(shí)。

定理：

例1.（60頁(yè)例

5、例6）求下列函數(shù)的極限

（1）

【答疑編號(hào)11020201：針對(duì)該題提問(wèn)】

（2）

【答疑編號(hào)11020202：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：對(duì)于函數(shù)

對(duì)于函數(shù)f（x）=arctanx，由反正切曲線y=arctanx的圖形，易見(jiàn)

所以，極限

例2.不存在。

【答疑編號(hào)11020203：針對(duì)該題提問(wèn)】

例3.【答疑編號(hào)11020204：針對(duì)該題提問(wèn)】

例4.【答疑編號(hào)11020205：針對(duì)該題提問(wèn)】

二、函數(shù)在有限點(diǎn)處的極限（自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限）

1.定義：給定函數(shù)y=f（x）在（x∈d）上有定義，假設(shè)點(diǎn)x0的某一去心鄰域，如果存在常數(shù)a，使得當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)值f（x）無(wú)限接近于a，則稱a為函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0時(shí)的極限，記為

或 f（x）→a，當(dāng)x→x0時(shí)。

2.單側(cè)極限

定義：設(shè) f（x）在x0的一個(gè)左鄰域中有定義，如果存在常數(shù)a，使得當(dāng)相應(yīng)的函數(shù)值（fx）無(wú)限接近于a，則稱a為函數(shù)f(x)當(dāng) 時(shí)的左極限，記為

定理：

時(shí)，或（fx0-0）。

例5.62頁(yè)2：（5）（6）（7）

求函數(shù)在指定點(diǎn)的左右極限，判定該點(diǎn)極限是否存在。

（5）x=2

【答疑編號(hào)11020206：針對(duì)該題提問(wèn)】

（6）x=0

【答疑編號(hào)11020207：針對(duì)該題提問(wèn)】

（7），x=0

【答疑編號(hào)11020208：針對(duì)該題提問(wèn)】

問(wèn)題：函數(shù)y=f（x）在x→x0的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)函數(shù)值f（x）無(wú)限趨近于確定值a。

例6.求

【答疑編號(hào)11020209：針對(duì)該題提問(wèn)】

注意：函數(shù)極限與f（x）在點(diǎn)x0是否有定義無(wú)關(guān)

三、函數(shù)極限的性質(zhì) 1.唯一性

定理 若limf(x)存在，則極限唯一。2.有界性

定理（有極限函數(shù)的局部有界性）假設(shè)中有界，即有常數(shù)m＞0，使得在x0的某個(gè)去心鄰域

3.保號(hào)性

若

推論

存在，則f（x）在x0點(diǎn)的某個(gè)鄰域

中，有，且a＞0（或a＜0）

若時(shí)

f(x)≥0（或f(x)≤0），則a≥0（或a≤0）

四、小結(jié)

函數(shù)極限的統(tǒng)一定義

2.4 極限的運(yùn)算法則

一、極限運(yùn)算法則

定理

設(shè)

（1）

（2），則

（3）

例7.【答疑編號(hào)11020210：針對(duì)該題提問(wèn)】

推論1

如果lim f(x)存在，而c為常數(shù)，則

常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面。

推論2

如果lim f(x)存在，而n是正整數(shù)，則

二、求極限方法舉例

例8.求

【答疑編號(hào)11020211：針對(duì)該題提問(wèn)】

解

（直接代入法）

例9.求。

【答疑編號(hào)11020212：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：x→1時(shí)，分子，分母的極限都是零。（型）

（消去零因子法或因式分解法）

例10.求

【答疑編號(hào)11020213：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：先變形再求極限。

例11.求

【答疑編號(hào)11020214：針對(duì)該題提問(wèn)】

三、小結(jié)

1.極限的四則運(yùn)算法則及其推論； 2.極限求法

a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限； b.因式分解法消去零因子求極限； c.通分法

d.利用左右極限求分段函數(shù)極限。

2.5 無(wú)窮小和無(wú)窮大

一、無(wú)窮小

1.定義：極限為零的變量稱為無(wú)窮小。

函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)為無(wú)窮小，記作

例如，∴函數(shù)sinx是當(dāng)x→0時(shí)的無(wú)窮小。，∴函數(shù)是當(dāng)x→∞時(shí)的無(wú)窮小。，∴數(shù)列是當(dāng)n→∞時(shí)的無(wú)窮小。

注意：

（1）無(wú)窮小是變量，不能與很小的數(shù)混淆；（2）零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)。2.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系：

其中α（x）是當(dāng)x→x0時(shí)的無(wú)窮小。

定理

3.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)：

（1）在同一過(guò)程中，有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小。（2）有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小。（3）有界變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。

例如，當(dāng)x→0時(shí)，二、無(wú)窮大

1.定義：絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大。

函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)為無(wú)窮大，記作。

2.特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大。

注意：

（1）無(wú)窮大是變量，不能與很大的數(shù)混淆；（2）切勿將 認(rèn)為極限存在。

（3）無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量，但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大。

例如，三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系

是無(wú)界變量不是無(wú)窮大。

1.定理 在同一過(guò)程中，無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮??；恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大。

2.意義：關(guān)于無(wú)窮大的討論，都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論。

例1.求。

【答疑編號(hào)11020301：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：

又

商的法則不能用

由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得

例2.求。

【答疑編號(hào)11020302：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：x→∞時(shí)，分子，分母的極限都是無(wú)窮大。（先用x3去除分子分母，分出無(wú)窮小，再求極限。

型）

（無(wú)窮小因子分出法）

例3.求

【答疑編號(hào)11020303：針對(duì)該題提問(wèn)】

例4.求

【答疑編號(hào)11020304：針對(duì)該題提問(wèn)】

小結(jié)：當(dāng)，m和n為非負(fù)整數(shù)時(shí)有

無(wú)窮小分出法：以分子、分母中自變量的最高次冪除分子，分母，以分出無(wú)窮小，然后再求極限。

例5.【答疑編號(hào)11020305：針對(duì)該題提問(wèn)】

例6.求

【答疑編號(hào)11020306：針對(duì)該題提問(wèn)】

例7.求

【答疑編號(hào)11020307：針對(duì)該題提問(wèn)】

例8（2007年10月）

【答疑編號(hào)11020308：針對(duì)該題提問(wèn)】

例9（2007年10月）、下面a、b、c、d四個(gè)極限中，哪一個(gè)極限存在（）

a.b.c.d.【答疑編號(hào)11020309：針對(duì)該題提問(wèn)】

答案：d

例10（2007年4月）

（）

a.0

b.1 c.-1

d.不存在【答疑編號(hào)11020310：針對(duì)該題提問(wèn)】 答案：b

例11（2007年7月）

【答疑編號(hào)11020311：針對(duì)該題提問(wèn)】

計(jì)算

例12（2005年）計(jì)算

【答疑編號(hào)11020312：針對(duì)該題提問(wèn)】

2.6 兩個(gè)重要極限

2.6.1 關(guān)于

例

1、計(jì)算

【答疑編號(hào)11020401：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：

例

2、【答疑編號(hào)11020402：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：

例

3、80頁(yè)第1題（5）

【答疑編號(hào)11020403：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：

例

4、【答疑編號(hào)11020404：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：

例

5、【答疑編號(hào)11020405：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：

例

6、判斷四個(gè)極限分別屬于哪一種類型：

（1）

【答疑編號(hào)11020406：針對(duì)該題提問(wèn)】

（2）

【答疑編號(hào)11020407：針對(duì)該題提問(wèn)】

（3）

【答疑編號(hào)11020408：針對(duì)該題提問(wèn)】

（4）

【答疑編號(hào)11020409：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：

解：

例

7、求

【答疑編號(hào)11020410：針對(duì)該題提問(wèn)】

解

2.6.2 關(guān)于

例

1、求

【答疑編號(hào)11020501：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：

例

2、【答疑編號(hào)11020502：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：

例

3、【答疑編號(hào)11020503：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：

例

4、【答疑編號(hào)11020504：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：

方法一：

方法二：

例

5、【答疑編號(hào)11020505：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：

例

6、【答疑編號(hào)11020506：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：

例

7、【答疑編號(hào)11020507：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：

例

8、【答疑編號(hào)11020508：針對(duì)該題提問(wèn)】 解： 方法一：

方法二：

例

9、81頁(yè)4題（8）

【答疑編號(hào)11020509：針對(duì)該題提問(wèn)】

解：

小結(jié)：

第一類重要極限：

第二類重要極限：

2.5.4 無(wú)窮小的比較

例如，當(dāng)x→0時(shí)，觀察各極限

都是無(wú)窮小。，x比3x要快得多； 2，sinx與x大致相同；

不存在，不可比。

極限不同，反映了趨向于零的“快慢”程度不同。

定義：

設(shè)α，β是同一過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，且α≠0.（1）如果，就說(shuō)β是比α高階的無(wú)窮小，記作β=o（α）；

（2）如果，就說(shuō)β與α是同階的無(wú)窮??；

特殊地如果

等價(jià)無(wú)窮?。?，則稱β與α是等價(jià)的無(wú)窮小；記作α～β；

例：

【答疑編號(hào)11020601：針對(duì)該題提問(wèn)】

例：

【答疑編號(hào)11020602：針對(duì)該題提問(wèn)】

得：當(dāng)x→0時(shí)，例：

（1）73頁(yè)8題：

當(dāng)x→∝時(shí)，a，b，c應(yīng)滿足什么條件可使下式成立？

（1）

（2）

等價(jià)無(wú)窮小代換

等價(jià)代換原理：在同一極限過(guò)程中的三個(gè)變量u，v，w，如果u，v是無(wú)窮小量，且等價(jià)，則有，由

得：當(dāng)x→0時(shí)，常用等價(jià)無(wú)窮小：

當(dāng)x→0時(shí)，牢記常用的等價(jià)無(wú)窮?。?/p>

當(dāng)x→0時(shí)，例：

【答疑編號(hào)11020603：針對(duì)該題提問(wèn)】

例：

【答疑編號(hào)11020604：針對(duì)該題提問(wèn)】

例

求

【答疑編號(hào)11020605：針對(duì)該題提問(wèn)】

錯(cuò)解

當(dāng)x→0時(shí)，解

當(dāng)x→0時(shí)，例

（1）80頁(yè)1題（7）

【答疑編號(hào)11020606：針對(duì)該題提問(wèn)】

（2）80頁(yè)1題（9）

【答疑編號(hào)11020607：針對(duì)該題提問(wèn)】

（3）80頁(yè)1題（10）

【答疑編號(hào)11020608：針對(duì)該題提問(wèn)】

（4）80頁(yè)2題：設(shè)

【答疑編號(hào)11020609：針對(duì)該題提問(wèn)】，求a，b

例：94頁(yè)3題（4）：

【答疑編號(hào)11020610：針對(duì)該題提問(wèn)】

例：94頁(yè)4題（1）：證明當(dāng)時(shí)，sin（2cosx）與是同階無(wú)窮小。

【答疑編號(hào)11020611：針對(duì)該題提問(wèn)】

例：81頁(yè)8題：設(shè)

【答疑編號(hào)11020612：針對(duì)該題提問(wèn)】，求k。

小結(jié)

1.兩個(gè)重要極限

2.無(wú)窮小的比較： 反映了同一過(guò)程中，兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢，但并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較.高（低）階無(wú)窮??；等價(jià)無(wú)窮小； 3.等價(jià)無(wú)窮小的替換：

求極限的又一種方法，注意適用條件.2.7 函數(shù)的連續(xù)性和連續(xù)函數(shù)

一、函數(shù)的連續(xù)性

1.函數(shù)的增量

設(shè)函數(shù)f（x）在內(nèi)有定義，稱為自變量在點(diǎn)的增量。

2.連續(xù)的定義

定義1 設(shè)函數(shù)f（x）在的函數(shù)的增量f（x）在點(diǎn)

定義2 設(shè)函數(shù)f（x）在也趨向于零，即連續(xù)，稱為

內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量

或的連續(xù)點(diǎn).趨向于零時(shí)，對(duì)應(yīng)，那么就稱函數(shù)

內(nèi)有定義，如果函數(shù)

當(dāng)

時(shí)的極限存在，且

高數(shù)極限證明思路 高數(shù)極限證明看不懂篇二

求函

摘要: 本文就關(guān)于求函數(shù)極限的方法和技巧作了一個(gè)比較全面的概括、綜合。

關(guān)鍵詞：函數(shù)極限

引言

在數(shù)學(xué)分析與微積分學(xué)中,極限的概念占有主要的地位并以各種形式出現(xiàn)而貫穿全部?jī)?nèi)容,因此掌握好極限的求解方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和微積分的關(guān)鍵一環(huán)。本文就關(guān)于求函數(shù)極限的方法和技巧作一個(gè)比較全面的概括、綜合,力圖在方法的正確靈活運(yùn)用方面,對(duì)讀者有所助益。

主要內(nèi)容

一、求函數(shù)極限的方法

1、運(yùn)用極限的定義 例: 用極限定義證明: limx?3x?2x?22x?2?1

證: 由 x2?3x?2x?2?1?x2?4x?4x?2

??x?2?2x?2?x?2

???0 取??? 則當(dāng)0?x?2?? 時(shí),就有

x2?3x?2x?2?1??

由函數(shù)極限???定義有: 2limx?3x?2x?2x?2?1

2、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)

若 limf(x)?a limg(x)?b

x?x0x?x0(i)lim?f(x)?g(x)?? limf(x)x?x?limg(x)?a?b

0x?x0x?x0(ii)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?a?b

x?x0x?x0x?x0(iii)若 b≠0 則：

limlimf(x)xf(x)0ax?xg(x)?x?0limx?xg(x)?b

0iv）limc?f(x)?c?limf(x)?ca（c為常數(shù)）

x?x0x?x0上述性質(zhì)對(duì)于x??,x???,x???時(shí)也同樣成立

（例：求 limx?3x?5x?422 2x?2解: limx?3x?52?3?2?55x?2x?4=

2?4?2

3、約去零因式（此法適用于x?x0時(shí),00型例: 求32limx?x?16x?20x3?7x2?16x?12

x??2解:原式=lim?x3?3x2?10x??(2x2?6x?20)x??2?x3?5x2?6x??(2x2?10x?12)

lim(x?2)(x2?3x?10)(x?2)(x? x??225x?6)=(x2lim?3x?10)?5)(x?2)x??2(x2?5x?6)=

xlim(x??2(x?2)(x?3)=x?5x?3??7

xlim??

24、通分法（適用于???型）例: 求 lim(41x?24?x2?2?x)

解: 原式=lim4?(2?x)(2?x)?(2?x)

x?2=lim(2?x)(2?x)(2?x)

x?23

=

=lim12?xx?2?14

5、利用無(wú)窮小量性質(zhì)法（特別是利用無(wú)窮小量與有界量之乘積仍為無(wú)窮小量的性質(zhì)）

設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足：（i）limf(x)?0

x?x0(ii)g(x)?m(m為正整數(shù))則：limg(x)f(x)?0

x?x0例: 求 limx?sin1x

x?0 解: 由 lim0 而 sin1x?1

x?0x?故 原式 =limx?sin1x?0x?0

6、利用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。

（i）若：limf(x)?? 則 lim1f(x)?0

(ii)若: limf(x)?0

且

f(x)≠0 lim1f(x)??

例: 求下列極限 ① lim1lim1x??x?5 ②x?1x?1

則4

解: 由 lim(x?5)?? 故 limx??1x?5x???0

由 lim(x?1)?0

故

x?1lim1x?1x?1=?

7、等價(jià)無(wú)窮小代換法

設(shè)?,?,?,? 都是同一極限過(guò)程中的無(wú)窮小量，且有：

?則 lim??~?,?~?，lim?? 存在，= lim?? 也存在，且有l(wèi)im1?cosxxsinx222??

例:求極限lim 解: sinx22x?0

2~x, 1?cosx~(x)222

(x)? lim221?cosxxsinx222x?0=

12?222xx

注： 在利用等價(jià)無(wú)窮小做代換時(shí)，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時(shí)可以互換，若以和、差出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換，因?yàn)榇藭r(shí)經(jīng)過(guò)代換后，往往改變了它的無(wú)窮小量之比的“階數(shù)”

8、利用兩個(gè)重要的極限。

(a)limsinx?1(b)lim(1?1x?0xx)x?ex??

但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：

(a)limsin?(x)?(x)?1,(?(x)?0)

(b)lim(1?1x))?(x)?(?e,(?(x)??)例：求下列函數(shù)極限

x(1)、lima?1(2)、limlncosaxx?0xlncosbx

x?0x?1?u,則 x?ln(1?u)ax 解：（1）令a?1alna 于是x?ulnln(1?u)又當(dāng)x?0時(shí)，u?0x故有：lima?1lnax?0x?limulnau?0ln(1?u)?limlnau?0ln(1?u)?limu?01?lnauln(1?u)u(2)、原式?limln[(1?(cosax?1)]ln[1?(cosbx?1)]

x?0?limln[(1?(cosax?1)]cosbxx?0cosax?1??1cosax?1 ln[1?(cosbx?1)]cosbx?1?limcosbx?1x?0cosax?1

2sin?2sin?limx?02a2x)2x(bx)22?2b2x?limxx?0(a22?2sin2sin(b2?2?2ba2ax(x)222b

x)

9、利用函數(shù)的連續(xù)性（適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限）。

(i)若f(x)在x?x0處連續(xù)，則(ii)若f[?(x)]是復(fù)合函數(shù)，又f(u)在u?a處連續(xù)，則x?x0x?x0limf(x)?f(x0)x?x0lim?(x)?a且x?x0

limf(?(x))?f[lim?(x)]?f(a)例：求下列函數(shù)的極限

(1)、limecosx?51?x?ln(1?x)2xx?0

（2）

f(x)?ecosx?5xln1(?x)limx?0x

解：由于x?0屬于初等函數(shù)故由函數(shù)的連續(xù)性定義limecosx?51?x?ln(1?x)ln(1?x)x12x1?x?ln(1?x)2的定義域之內(nèi)。有：?f(0)?61x?0

(2)、由?ln(1?x)x令??x??(1?x)x故有：limln(1?x)x11x?0?limln(1?x)x?ln(lim(1?x)x)?lne?1x?0x?0

10、變量替換法（適用于分子、分母的根指數(shù)不相同的極限類型）特別地有：

llimxkn?1x?1?mlnk m、n、k、l 為正整數(shù)。

xm?1例：求下列函數(shù)極限 ① lim1?1?nmxxx?1(m、n ?n)②lim(2x?3)

x?1x??2x?1 解: ①令 t=原式=limt?1mnx 則當(dāng)x?1 時(shí) t?1,于是

mn1?t1?t?lim(1?t)(1?t?t????t(1?t)(1?t?t????t22x?12)x?12m?1n?1))t?12?mn

②由于lim(2x?3)=lim(1?x?1x??2x?1x??

令：2x?1?1 則 x?1?1?1

2tt?lim(x??2x?32x?1)x?1=lim(1?x??22x?11t)x?1=lim(1?t)t?0111?t2

=lim(1?t)t?0?lim(1?t)2?e?1?e

t?0

11、利用函數(shù)極限的存在性定理

定理: 設(shè)在x的某空心鄰域內(nèi)恒有 g(x)≤f(x)≤0h(x)且有: limx?x0g(x)?limh(x)?a

x?x0 則極限 lim

x?x0f(x)

存在, 且有

x?x0limf(x)?a

xanx例: 求 limx???(a>1,n>0)解: 當(dāng) x≥1 時(shí),存在唯一的正整數(shù)k,使 k ≤x≤k+1 于是當(dāng) n>0 時(shí)有:

xanx?(k?1)akakn

kank及

xanxn?k?1??1a

又? 當(dāng)x???時(shí),k??? 有 lim(k?1)akaknk????lim(k?1)akankk?1nk????a?0?a?0

及 lim? nk???k?1? lim=0 k????1a?0?1a?0

x???limxanx

12、用左右極限與極限關(guān)系(適用于分段函數(shù)求分段點(diǎn)處的極限，以及用定義求極限等情形)。 定理：函數(shù)極限lim左極限lim x?x0?x?x0f(x)存在且等于a的充分必要條件是

a。即有：

9 f(x)及右極限lim?f(x)都存在且都等于

x?x0

limf(x)?a?limx)=a x?xx?x?f(x)=lim?f(00x?x0?1?2e?x,x?0?例：設(shè)f(x)=??x?x,0?x?1 求limf(x)及l(fā)imf(x)?xx?0x?1??x2,x?1解：?lim?x?f(x)?lim?(1?2e)??1x?0x?0limx)?limx?x)?limx?1)??1x?0?f(x?0?(xx?0?(由limx)?limx)??1x?0?f(x?0?f（?limf(x)??1

x?0又?limx?x?f(x)?lim?lim（x?1)?0x?1x?1?xx?1? lim(x)?lim2?1x?1?f?xx?1

由f(1?0)?f(1?0)?lim?1f(x)不存在x

13、羅比塔法則（適用于未定式極限）定理：若

(i)limx?xf(x)?0,limg(x)?00x?x0(ii)f與g在xu0(x0的某空心鄰域0)內(nèi)可導(dǎo)，且g(x)?0(iii)limf(x)x?xg(x)?a(a可為實(shí)數(shù)，也可為??或?），則

0limf(x)?limf(x)x?x0g(x)x?xg(x)?a0此定理是對(duì)00型而言，對(duì)于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。

注：運(yùn)用羅比塔法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1、要注意條件，也就是說(shuō)，在沒(méi)有化為0,?時(shí)不可

0?求導(dǎo)。

2、應(yīng)用羅比塔法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。

3、要及時(shí)化簡(jiǎn)極限符號(hào)后面的分式，在化簡(jiǎn)以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用羅比塔法則，否則會(huì)引起錯(cuò)誤。

4、當(dāng)limf(x)g(x)x?a 不存在時(shí)，本法則失效，但并不是說(shuō)極限不存在，此時(shí)求極限須用另外方法。

例： 求下列函數(shù)的極限 ①lime?(1?2x)ln(1?x)2x12x?0 ②lime?(1?2x)?12x12lnxxax???(a?0,x?0)

解：①令f(x)=

f(x)?e?(1?2x)x, g(x)= ln(1?x)

2, g"(x)?2x1?x2

2f(x)?e?(1?2x)"x?32,g(x)?2(1?x)(1?x)22

由于但f "f(0)?f(0)?0,g(0)?g(0)?0"

(0)?2,g(0)?2

從而運(yùn)用羅比塔法則兩次后得到

lime?(1?2x)ln(1?x)2x12x?0?lime?(1?2x)2x1?x2x?12x?0?lime?(1?2x)2(1?x)(1?x)?222x?32x?0?22?1

② 由lim法則有： x???lnx??,limxx???a?? 故此例屬于?型，由羅比塔1x???limlnxxa?limxaxa?1x????lim1axax????0(a?0,x?0)

14、利用泰勒公式

對(duì)于求某些不定式的極限來(lái)說(shuō)，應(yīng)用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便，下列為常用的展開(kāi)式：

1、ex?1?x?x22!x3????xnn!?o(x)

n

2、sinx?x?3!x2?x55!x4????(?1)n?1x2n?1(2n?1)!n?o(x2n)

3、cosx?1?2!?4!2????(?1)x2n(2n)!?o(x2n?1)

4、ln(1?x)?x?

5、(1?x)

6、11?x?x2????(?1)n?1xnn?o(x)n

n!x?o(x)nn?1??x?2?(??1)2!x???nn2?(??1)?(??n?1)

? 1?x?x????x?o(x)n

上述展開(kāi)式中的符號(hào)o(x)都有:

nlimo(x)x?0xn?0

例:求lima?2x?a?xx(a?0)

x?0解:利用泰勒公式，當(dāng)x?0 有

1?x?1?x2?o(x)

于是 lima?2x?a?x?0x

x=a(1?2xlima?1?xa)?0x

xa??1(2x)?o(x)?1?1?x??=?1lim?2a2ao(x)???0x

x(x)=a?x(x)1lim2a?ox?lim2ax?ox?0x?1

x?02a

15、利用拉格朗日中值定理 定理:若函數(shù)f滿足如下條件：(i)f 在閉區(qū)間上連續(xù)(ii)f 在(a ,b)內(nèi)可導(dǎo) 則在(a ,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?,使得f(?)?f(b)?f(a)b?a

此式變形可為: f(b)?f(a)b?a?f(a??(b?a))(0???1)

例: 求 limxe?exsinxx?0x?sinx

解:令f(x)?e 對(duì)它應(yīng)用中值定理得

e?exsinx?f(x)?f(sinx)?(x?sinx)f(sinx??(x?sinx))(0???1)即: e?exsinxx?sinx?f(sinx??(x?sinx))(0???1)

?f(x)?ex連續(xù)

?limf(sinx??(x?sinx))?f(0)?1

x?0從而有: lime?exsinxx?0x?sinx?1

16、求代數(shù)函數(shù)的極限方法 (1)有理式的情況，即若: r(x)?p(x)q(x)?a0xmn?a1xm?1n?1????am????bnb0x?b1x(a0?0,b0?0)

(i)當(dāng)x??時(shí)，有

mnm?1n?1limp(x)q(x)x???lima0x?a1x????am????bnx??b0x?b1x?a0? m?n?b?0??????0 m?n??? m?n???????

(ii)當(dāng)x?0 時(shí)有:

①若q(x②若q(x③若q(x0)?0 則 lim0p(x)q(x)x?0?p(x0)q(x0)

p(x)q(x)??)?0 而 p(x0)?0 則lim0

x?0)?0,p(x0)?0,則分別考慮若x0)p1(x)s為p(x)?0的s重根,即:p(x)?(x?x0 也為q(x)?0的r重根,即: q(x)?(x?x0)q1(x)r 可得結(jié)論如下：

?0 , s?r???s?r(x?x0)p1(x)?p1(x0)p(x)?lim?lim?? , s?r? x?x0q(x)x?x0q1(x)?q1(x0)??? ,s?r???例：求下列函數(shù)的極限

①lim(2x?3)20(3x?2)5030x??(2x?1)②limx?3x?2x?4x?343x?1

解: ①分子，分母的最高次方相同，故

lim(2x?3)20(3x?2)5030x??(2x?1)3=

220?350302330?()2

②?p(x)?x4?3x?2,?p(1)?0

?q(x)?x?4x?3,?q(1)?0

?p(x),q(x)必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有: limx?3x?2x?4x?343x?1?lim(x?1)(x?2)(x?1)(x?2x?3)222x?1?limx?2x?2x?32x?1?12

(2)無(wú)理式的情況。雖然無(wú)理式情況不同于有理式，但求極限方法完全類同，這里就不再一一詳述.在這里我主要舉例說(shuō)明有理化的方法求極限。

例：求lim解: limx???x???(x?x?x?x?x)

(x?x?x?x?x)

?limx?x?x?x?xx?xx?1x1x3x???x?lim

xx???x?x?1??limx?????1121?1x?

二、多種方法的綜合運(yùn)用

上述介紹了求解極限的基本方法，然而，每一道題目并非只有一種方法。因此我們?cè)诮忸}中要注意各種方法的綜合運(yùn)用的技巧，使得計(jì)算大為簡(jiǎn)化。例:求 lim1?cosxxsinx222x?0

[解法一]: lim1?cosxxsinx222x?0

?lim2xsinx2222x?02x?xcosx?2xsinxsinx2

?limsinx2222x?0xcosx?sinx

?limx22x?0cosx?sinxx22=1

2注:此法采用羅比塔法則配合使用兩個(gè)重要極限法。

[解法二]: lim1?cosxxsinx222x?0=lim2sin2x2x?02?lim22x?0xsinxsinxx22?21sinxx22sin?2?x22?122x2

2注：此解法利用“三角和差化積法”配合使用兩個(gè)重要

極限法。

[解法三]: lim1?cosxxsinx222x?0?lim1?cosxx?x222x?0?lim2xsinx4x32x?02xsinx?lim?2x?04xx2?12

注:此解法利用了兩個(gè)重要極限法配合使用無(wú)窮小代換

法以及羅比塔法則

[解法四]:

(x)lim1?cosxxsinx222x?022?lim1?cosxx42x?0?x22sinx?limx?024x?x22sinx?12

注:此解法利用了無(wú)窮小代換法配合使用兩個(gè)重要極限的方法。

[解法五]: 1?cosxxsinx2222sin?limx?02x2limx?02?lim2?lim242222x?0x(x)x?0xsinxx2(x2)21x4?12

注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用無(wú)窮小代換法。

[解法六]： 令u?x 2lim1?cosxxsinx222x?0?limcosu1?cosuusinu?u?0?lim12sinusinu?ucosuu?0

?limu?0cosu?cosu?usinu注：此解法利用變量代換法配合使用羅比塔法則。

[解法七]: lim1?cosxxsinx222x?0?limsinx2222x?0xcosx?sinx?lim11?x22x?0?12

tgx注:此解法利用了羅比塔法則配合使用兩個(gè)重要極限。

(作者: 黃文羊)

高數(shù)極限證明思路 高數(shù)極限證明看不懂篇三

極限計(jì)算方法總結(jié)靳一東

《高等數(shù)學(xué)》是理工科院校最重要的基礎(chǔ)課之一，極限是《高等數(shù)學(xué)》的重要組成部分。求極限方法眾多，非常靈活，給函授學(xué)員的學(xué)習(xí)帶來(lái)較大困難，而極限學(xué)的好壞直接關(guān)系到《高等數(shù)學(xué)》后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)。下面先對(duì)極限概念和一些結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，然后通過(guò)例題給出求極限的各種方法，以便學(xué)員更好地掌握這部分知識(shí)。

一、極限定義、運(yùn)算法則和一些結(jié)果

1．定義：（各種類型的極限的嚴(yán)格定義參見(jiàn)《高等數(shù)學(xué)》函授教材，這里不一一敘述）。說(shuō)明：（1）一些最簡(jiǎn)單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的blim?0(a,b為常數(shù)且a?0)；極限嚴(yán)格定義證明，例如：n??an|q|?1時(shí)?0，當(dāng)nlim(3x?1)?5；limq??；等等 n??x?2?不存在，當(dāng)|q|?1時(shí)（2）在后面求極限時(shí)，（1）中提到的簡(jiǎn)單極限作為已知結(jié)果直接運(yùn)用，而不需

再用極限嚴(yán)格定義證明。

2．極限運(yùn)算法則

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，極限值分別為a，b，則下面極限都存在，且有（1）lim[f(x)?g(x)]?a?b

（2）limf(x)?g(x)?a?b

f(x)

g(x)ab（3）lim?,(此時(shí)需b?0成立)

說(shuō)明：極限號(hào)下面的極限過(guò)程是一致的；同時(shí)注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能用。

3．兩個(gè)重要極限

（1）limsinx

xx?0?1

11xxlim(1?)?elim(1?x)?e（2）；xx??x?0

說(shuō)明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式，作者簡(jiǎn)介：靳一東，男，（1964—），副教授。1

例如：limsin3x

3xx?0?1，lim(1?2x)x?0?2x?e，lim(1?x??)3?e；等等。xx

4．等價(jià)無(wú)窮小

定理2 無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無(wú)窮小（即極限是0）。

定理3 當(dāng)x?0時(shí)，下列函數(shù)都是無(wú)窮?。礃O限是0），且相互等價(jià)，即有：1

x～sin

x～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1?x)～ex?1。

說(shuō)明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成g(x)時(shí)（g(x)?0），仍有上面的等價(jià)

關(guān)系成立，例如：當(dāng)x?0時(shí)，e

3x

?1 ～ 3x ；ln(1?x2)～ ?x。

定理4 如果函數(shù)f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0時(shí)的無(wú)窮小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，則當(dāng)lim

f1(x)g1(x)f1(x)g1(x)

x?x0

存在時(shí)，lim

f(x)g(x)

也存在且等于

x?x0

f(x)lim

f1(x)g1(x)

x?x0，即lim

f(x)g(x)

x?x0

=lim

x?x0。

5．洛比達(dá)法則

定理5 假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值（或無(wú)窮大）時(shí)，函數(shù)f(x)和g(x)滿足：

（1）f(x)和g(x)的極限都是0或都是無(wú)窮大；

（2）f(x)和g(x)都可導(dǎo)，且g(x)的導(dǎo)數(shù)不為0；

（3）lim

f?(x)g?(x)

存在（或是無(wú)窮大）；

則極限lim

f(x)g(x)

也一定存在，且等于lim

f?(x)g?(x)，即lim

f(x)g(x)

=lim

f?(x)g?(x)。

說(shuō)明：定理5稱為洛比達(dá)法則，用該法則求極限時(shí)，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不

滿足，洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗(yàn)證所求極限是否為“

00

”型或“

??

”型；條件（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導(dǎo)完畢

后可以知道是否滿足。另外，洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注

意條件。

6．連續(xù)性

定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果x0是函數(shù)f(x)的定義去間

內(nèi)的一點(diǎn)，則有l(wèi)imf(x)?f(x0)。

x?x0

7．極限存在準(zhǔn)則

定理7（準(zhǔn)則1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

定理8（準(zhǔn)則2）已知{xn},{yn},{zn}為三個(gè)數(shù)列，且滿足：

（1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)

（2）limyn?a，limzn?a

n??

n??

則極限limxn??

n一定存在，且極限值也是a，即limxn??

n?a。

二、求極限方法舉例

1． 用初等方法變形后，再利用極限運(yùn)算法則求極限 例1lim

3x?1?2x?1

x?

13x?1)2

?

2解：原式=lim

(?lim

3x?3

?

3x?1

(x?1)(3x?1?2)

x?1

(x?1)(3x?1?2)。

注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例2lim

n(n?2?

n?1)n??

n[(n?2)?(n?1)]分子分母同除以

n

解：原式=lim?

3n??

n?2?

n?1

?lim

3n??

1?

n?

?

1n

n例3 lim

(?1)?3n

n??

2n

?3

n

上下同除以3

n

(?1n

解：原式

?

lim3)?1?1n??。(2n)?12． 利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限

例4 limx2

ex

x?2

解：因?yàn)閤x2

ex

0?2是函數(shù)f(x)?的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，所以原式=22

e2?4e。3． 利用兩個(gè)重要極限求極限 例5 lim

1?cosxx?0

3x

2sin

x2sin

x

解：原式=limx?0

3x

?lim

?1

x?0。

12?(x26)

注：本題也可以用洛比達(dá)法則。

例6 lim(1?3sinx)x

x?0

1?6sinx

?6sinx

解：原式=lim(1?3sinx)

?3sinx?

x

?lim[(1?3sinx)?3sinx]

x?0

x?0

例7 lim（n?2n

n??

n?1)

?3n?1?3n

n?1

?3n解：原式=lim(1?

?3?

n?1

?

?33

]n?1

?e

?3

n??

n?1)?lim[(1n??

n?1)

?4． 利用定理2求極限 例8 limx2

sin

1x?0

x

解：原式=0（定理2的結(jié)果）。5． 利用等價(jià)無(wú)窮小代換（定理4）求極限例9 lim

xln(1?3x)x?0

arctan（x2)

解：?x?0時(shí)，ln(1?3x)～3x，arctan(x2)～x2，? 原式=lim

x?3xx

?3。

x?0

例10 lim

ex?e

sinx

x?0

x?sinx

e

sinx

(ex?sinx

?1)

sinx

解：原式=lim

(x?sinx)

x?0

x?sinx

?lim

ex?0

x?sinx

?1。

注：下面的解法是錯(cuò)誤的： xsinx

原式=lim

(e?1)?(e

?1)

x?sinxx?0

x?sinx

?lim

?1x?0

x?sinx。

正如下面例題解法錯(cuò)誤一樣：lim

tanx?sinx

x

?lim

x?x?0x?0

x?0

x。

tan(x2

sin

1例11 lim

x)

x?0

sinx

?e

?6。。

解：?當(dāng)x?0時(shí)，x2sin

1x

是無(wú)窮小，?tan(xsin

1x)與xsin

1x

等價(jià)，xsin

所以，原式=lim

x?0

x?limxsin1?0

。（最后一步用到定理2）

x?0xx

6． 利用洛比達(dá)法則求極限

說(shuō)明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，也可能用到前面的重要極限、等價(jià)無(wú)窮小代換等方法。同時(shí)，洛比達(dá)法則還可以連續(xù)使用。例12 lim

1?cosx3x

x?0

（例4）

解：原式=lim

sinx6x

x?0

?

。（最后一步用到了重要極限）

cos

例13 lim

x?1

?x

x?1?

?

sin

1?x

???

。2

解：原式=lim

x?1

例14 lim

x?sinxx

x?0

解：原式=lim

1?cosx3x

x?0

=lim

sinx6x

x?0

?

。（連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后用重要極限）

例15 lim解：

sinx?xcosx

xsinx

x?0

原式?lim

?lim

sinx?xcosx

x?xxsinx3x

x?0

?lim

cosx?(cosx?xsinx)

3x

x?0

x?0

?

3例18 lim[

x?0

1x

?

1ln(1?x)

]

1x

1x

解：錯(cuò)誤解法：原式=lim[

x?0

?

]?0。

正確解法：

原式?lim

ln(1?x)?xxln(1?x)11?x2x

?1

x?0

?lim

x?0

ln(1?x)?x

x?x

?lim

x?0

?lim

x2x(1?x)

x?0

?

12。

應(yīng)該注意，洛比達(dá)法則并不是總可以用，如下例。例19 lim

x?2sinx3x?cosx

x??

解：易見(jiàn)：該極限是“

00

”型，但用洛比達(dá)法則后得到：lim

1?2cosx3?sinx

x??，此極限

不存在，而原來(lái)極限卻是存在的。正確做法如下：

1?

原式=lim

x??

2sinx

x

（分子、分母同時(shí)除以x）cosxx

3?

=

（利用定理1和定理2）

7． 利用極限存在準(zhǔn)則求極限

例20 已知x1?

2,xn?1?

2?xn,(n?1,2,?)，求limxn

n??

解：易證：數(shù)列{xn}單調(diào)遞增，且有界（0n

xnn

n??

limxn?a。對(duì)已知的遞推公式 xn?1?

n??

2?xn兩邊求極限，得：

a?所以

2?a，解得：a?2或a??1（不合題意，舍去）

limxn?2。n??

1n?1nn?n

n??

例21 lim(?

1n?2?

???

1n?n)

1n?n

解： 易見(jiàn)：

n?1

?

1n?2

????

nn?1

因?yàn)?limn??

nn?n

?1，lim

nn?1

?

n??

?1

1n?n

所以由準(zhǔn)則2得：lim（n??

n?1

n?2

???)?1。

上面對(duì)求極限的常用方法進(jìn)行了比較全面的總結(jié)，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習(xí)，在練習(xí)中體會(huì)。另外，求極限還有其它一些方法，如用定積分求極限等，由于不常用，這里不作介紹。

高數(shù)極限證明思路 高數(shù)極限證明看不懂篇四

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

典型例題分析

客觀題

例 1 設(shè)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),a,b為常數(shù),則limf(x0?a?x)?f(x0?b?x)?xab?x?0?（）

f?(x0)aabf?(x0)

b(a?b)f?(x0)

c(a?b)f?(x0)

d

答案 c

解

f(x0?a?x)?f(x0?b?x)lim??x?0?x[f(x0?a?x)?f(x0)]?[f(x0?b?x)?f(x0)]?lim? ?x?0?x

f(x0?b?x)?f(x0)f(x0?a?x)?f(x0)?blim

?alim

?x?0?x?0b?xa?x

?(a?b)f?(x0)

例2（89303）設(shè)f(x)在x?a的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,則f(x)在x?a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是（）1????f(a?2h)?f(a?h)(a)limh?f?a???f(a)?存在(b)lim存在h?0h???hh????(c)limf(a?h)?f(a?h)2hh?0存在(d)limf(a)?f(a?h)h存在h?0答案 d

解題思路

(1)對(duì)于答案(a)，不妨設(shè)

1h??x，當(dāng)h???時(shí)，?x?0，則有

?1?f(a??x)?f(a)???limh?f?a???f(a)??lim存在，這只表明f(x)在x?a處h????x?0h??x???右導(dǎo)數(shù)存在,它并不是可導(dǎo)的充分條件,故(a)不對(duì).?(2)對(duì)于答案(b)與(c),因所給極限式子中不含點(diǎn)a處的函數(shù)值f(a)，因此與導(dǎo)數(shù)概念不相符和.例如，若取

?1,x?af(x)??

0,x?a?則(b)與(c)兩個(gè)極限均存在，其值為零，但limf(x)?0?f(a)?1，從而f(x)在x?ax?a處不連續(xù)，因而不可導(dǎo)，這就說(shuō)明(b)與(c)成立并不能保證f?(a)存在，從而(b)與(c)也不對(duì).(3)記?x??h,則?x?0與h?0是等價(jià)的,于是 limf(a)?f(a?h)hh?0??limf(a?h)?f(a)hh?0?limf(a?h)?f(a)?h

h?0?x所以條件d是f?(a)存在的一個(gè)充分必要條件.例3(00103)設(shè)f(0)?0,則f(x)在點(diǎn)x?0可導(dǎo)的充要條件為()?x?0?limf(a??x)?f(a)?f?(a)(a)lim1h1h2h?0f(1?cosh)存在(b)lim1h1hh?0f(1?e)存在h(c)limh?02f(h?sinh)存在(d)limh?0?f(2h)?f(h)?存在答案 b

解題思路

(1)當(dāng)h?0時(shí), 1?coshhh?02limf(1?cosh)h2h?0?lim2f(1?cosh)?f(0)h2?1.所以如果f?(0)存在,則必有

?limf(1?cosh)?f(0)1?coshh?0?lim1?coshh2h?0若記u?1?cosh,當(dāng)h?0時(shí),u?0,所以

f(1?cosh)?f(0)f(u)?f(0)lim?lim?f?(0)h?0h?01?coshu于是

?limf(1?cosh)h2h?0?12f?(0)

1h2這就是說(shuō)由f?(0)存在能推出limh?0f(1?cosh)存在.?h0,而不是u?0,因此 但是由于當(dāng)h?0時(shí),恒有u?1?cos?1f(x)?f(0)f??(0)?limlim2f(1?cosh)存在只能推出存在,而不能推出f?(0)h?0hx?0x存在.?

(2)當(dāng)h?0時(shí), 1?e??h?o(h),于是

hlimf(1?e)hhh?0?limf(?h?o(h))?f(0)hh?0??limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)

h?0 由于當(dāng)h?0時(shí), ?h?o(h)既能取正值,又能取負(fù)值,所以極限limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)h?0存在與limf(h)?f(0)hh?0?f?(0)存在是互相等價(jià)的.因而

極限lim1hh?0hf(1?e)存在與f?(0)存在互相等價(jià).(3)當(dāng)h?0時(shí), 用洛比塔法則可以證明limlimf(h?sinh)h2h?0,所以 6hf(h?sinh)?f(0)h?sinh?lim?lim?h 3h?0h?0h?sinhhh?03h?sinh?1由于h?0,于是由極限limf(h?sinh)?f(0)h?sinhh?0?limh?sinhh3h?0?h存在未必推出h?sinh(4)f(x)在點(diǎn)x?0可導(dǎo)一定有(d)存在,但(d)存在不一定f(x)在點(diǎn)x?0可導(dǎo).h?0limf(h?sinh)?f(0)也存在,因而f?(0)未必存在.例 4(98203)函數(shù)f(x)?(x?x?2)|x?x|有()個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)

(a)0(b)1(c)2(d)3

答案 c

解題思路 當(dāng)函數(shù)中出現(xiàn)絕對(duì)值號(hào)時(shí),不可導(dǎo)的點(diǎn)就有可能出現(xiàn)在函數(shù)的零點(diǎn),因?yàn)楹瘮?shù)零點(diǎn)是分段函數(shù)的分界點(diǎn).因此需要分別考察函數(shù)在點(diǎn)x0?0,x1?1,x2??1考察導(dǎo)數(shù)的存在性.解 將f(x)寫(xiě)成分段函數(shù):

23?(x2?2?(xf(x)??2?(x?(x2??x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),?x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),2222x??1,?1?x?0,0?x?1,1?x.(1)在x0?0附近,f(x)寫(xiě)成分段函數(shù):

22?x(x?x?2)(x?1),x?0?23 f(x)?(x?x?2)|x?x|??22??x(x?x?2)(1?x),x?0容易得到

f(x)?f(0)22?f?(0)?lim?lim(x?x?2)(x?1)?2

??x?0x?0xf(x)?f(0)22f??(0)?lim?lim(x?x?2)(1?x)??2

??x?0x?0x由于f??(0)?f??(0),所以f?(0)不存在.(2)在x1?1附近,f(x)寫(xiě)成分段函數(shù):

2?x(1?x)(x?x?2)(1?x),x?1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??

2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x?1f(x)?f(1)2?f?(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4

??x?1x?1x?1f(x)?f(1)2f??(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4

??x?1x?1x?1由于f??(1)?f??(1),所以f?(1)不存在.(3)在x2??1附近,f(x)寫(xiě)成分段函數(shù):

2?x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??

2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1f??(?1)?limf(x)?f(?1)?x??1x?0x?1由于f??(?1)?f??(?1)?0,所以f?(?1)存在.x??1??f??(?1)?limx?1f(x)?f(?1)??limx??1?x(x?1)(x22?x?2)?0

?limx(x?1)(x?x?2)?0

綜合上述分析,f(x)有兩個(gè)不可導(dǎo)的點(diǎn).例5(95103)設(shè)f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),f(x)?f(x)?(1?|sinx|),則f(0)?0是f(x)在x?0處可導(dǎo)的（）

(a)必要但非充分條件

(b)充分但非必要條件

(c)充分且必要條件

(d)既非充分也非必要條件

答案 c

分析 從f(x)在x?0的導(dǎo)數(shù)定義著手.將f(x)?f(x)?(1?|sinx|)?f(x)?f(x)?|sinx| 解

f(x)?f(0)f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|?lim?limf??(0)?lim

x?0x?0x?0x?0x?0x?0

?f?(0)?f(0)

f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|f(x)?f(0)?lim?limf??(0)?lim

???x?0x?0x?0x?0x?0x?0?f?(0)?f(0)

于是推知f??(0)?f??(0)的充分必要條件是f(0)?0.??? 例6(92103)設(shè)函數(shù)f(x)?3x?x|x|,則使f32(n)(0)存在的最高階數(shù)n?().(a)0

(b)1(c)

2(d)3

答案 c

解題思路 應(yīng)先去掉f(x)中的絕對(duì)值,將f(x)改寫(xiě)為分段函數(shù)

?2x3 f(x)?3x?x|x|??3?4x32x?0x?0x?0x?0

?2x3 解 由f(x)?3x?x|x|??3?4x32

?6x2得f?(x)??2?12xx?0x?0

?12x且f??(x)???24x又f??(0)?limx?0??12 f???(x)??x?0?24x?0x?0x?0

f(x)?f(0)x?0?limx?02x?0?3x?0?0,f??(0)?limf(x)?f(0)?x?0x?0?limx?04x?0?3x?02?0

所以f?(0)存在.f???(0)?limf?(x)?f?(0)?x?0x?0??limx?06x?0?x?012x??0 ?0?0 f???(0)?limf?(x)?f?(0)x?02?limx?0x?0x?0所以f??(0)存在.f????(0)?limf??(x)?f??(0)?x?0x?0??limx?012x?0?x?0??12

x?0即f????(0)?f????(0).因而使fx?0f????(0)?limf??(x)?f??(0)?24

x?0(n)(0)存在的最高階數(shù)是2.x?0?lim24x?0

例7 f(x)?cos|x|?x2|x|存在的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)等于（）

a

0

b 1

c 2

d 3 答案 c

2 解題思路 注意cos|x|?cosx,所以只需考察x|x|在點(diǎn)x?0的情況.例8(96203)設(shè)??0,f(x)在區(qū)間(??,?)內(nèi)有定義，若當(dāng)x?(??,?)時(shí)，恒有f(x)?x，則x?0必是f(x)的（）

(a)間斷點(diǎn)，(b)連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)，(c)可導(dǎo)的點(diǎn)，且2f(0)?0

(d)可導(dǎo)的點(diǎn)，且f(0)?0

答案

c

解 由題目條件易知f(0)?0,因?yàn)?/p>

|所以由夾逼定理

f(x)?f(0)x|?|f(x)xf(x)x|?|x2x|

2lim|x?0f(x)?f(0)x|?lim|x?0|?lim|x?0xx|?0

于是f?(0)?0.?1?e?x?,x?0，則f?(0)為（）

例9(87103)設(shè)f(x)??x?0,x?0.?

1(a)0

(b)

(c)1

(d)?1

2答案

(c)

解題思路

因f(x)為分段函數(shù),故它在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)應(yīng)按導(dǎo)數(shù)的定義，又由于是未定式,可用洛必達(dá)法則求極限.200型解

1?e f?(0)?lim?x2f(x)?f(0)x?0u?limx?0x?0xx?0?0?lim1?ex?x2x?02?x

2當(dāng)u?0時(shí),e ?1與u是等價(jià)無(wú)窮小,所以當(dāng)x?0時(shí),1?e與x是等價(jià)無(wú)窮小.因而

2lim1?ex?x2x?02?1

12,則?x?0時(shí),f(x)在x0處的微分dy與

例10(88103)設(shè)f(x)可導(dǎo)且f?(x0)??x比較是()的無(wú)窮小.(a)等價(jià)(b)同階(c)低階(d)高階

答案 b

解題思路

根據(jù)y?f(x)在x?x0處的微分的定義:dy?f?(x0)?x.?x12 解 lim?lim?,可知dy與?x是同階的無(wú)窮小.?x?0?x?x?0?x21??xsin,x?0

例11(87304)函數(shù)f(x)??在x?0處（）x?x?0?0,dy

(a)連續(xù),且可導(dǎo)

(b)連續(xù),不可導(dǎo)

(c)不連續(xù)

(d)不僅可導(dǎo),導(dǎo)數(shù)也連續(xù)

答案 b

解題思路

一般來(lái)說(shuō),研究分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性時(shí),應(yīng)當(dāng)分別考察函數(shù)的左右極限;在具備連續(xù)性的條件下,為了研究分段函數(shù)在分界點(diǎn)處可導(dǎo)性,應(yīng)當(dāng)按照導(dǎo)數(shù)定義,或者分別考察左右導(dǎo)數(shù)來(lái)判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是否存在.因此,本題應(yīng)分兩步:(1)討論連續(xù)性;(2)討論可導(dǎo)性.解(1)討論函數(shù)在點(diǎn)x?0處的連續(xù)性

1?0?f(0),可知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?0處是連續(xù)的.由于limf(x)?limxsinx?0x?0x

(2)討論函數(shù)在點(diǎn)x?0處的可導(dǎo)性

1xsin?0f(x)?f(0)1x?lim?limsin

由于lim不存在,所以,函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x?0x?0x?0x?0xxx?0處不可導(dǎo).??x

例12 設(shè)f(x)????p必須滿足（）p1sin01x,x?0,x?0 在點(diǎn)x?0可導(dǎo),但是f?(x)導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)x?0不連續(xù),則

a0?p?1

b1?p?2

c0?p?2

d1?p?

3 答案 b

解題思路

(1)當(dāng)p?1時(shí),下述極限不存在: x因此f?(0)不存在.當(dāng)p?1時(shí), x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1

x?0xxx所以f?(0)?0.x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1?0

x?0xx這就是說(shuō),只有當(dāng)p?1時(shí), f?(0)才存在,所以選項(xiàng)a,c可以被排除.(2)當(dāng)p?1時(shí)

0,x?0?? f?(x)??11p?1p?2sin?xcos,x?0?pxxx?當(dāng)且僅當(dāng)p?2?0,即p?2時(shí),limf?(x)?0?f?(0),所以當(dāng)且僅當(dāng)1?p?2時(shí)，x?0f(x)在點(diǎn)x?0可導(dǎo),但是f?(x)在點(diǎn)x?0不連續(xù).例13(95403)設(shè)f(x)可導(dǎo)，且滿足條件limf(1)?f(1?x)2x12x?0??1,則曲線y?f(x)在(1,f(1))處的切線斜率為（）(a)2，(b)?2，(c)，(d)?1

答案 b

解 記?u??x,則有

f(1)?f(1?x)1f(1??u)?f(1)1lim?lim?f?(1)x?02x2?u?0?u2

例1

4設(shè)y?ln(1?2x),則y

(a)(10)?（）

9!(1?2x)10

(b)?9!(1?2x)10

(c)10!?2910(1?2x)

(d)?9!?21010(1?2x)

答案 d

解題思路

求高階導(dǎo)數(shù)的一般方法是: 先求出一階、二階、三階導(dǎo)數(shù);找出規(guī)律,即可寫(xiě)出高階導(dǎo)數(shù).?2y??, 1?2x?21y???(?2)(?1)?(?2)(?1)(?2)

22(1?2x)(1?2x)y????(?2)(?1)(?2)(?2)?2(1?2x)3

y(10)??9!?21010(1?2x).2 例17

(90103)設(shè)函數(shù)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù),且f?(x)?f(x),則f(n)(x)?(n?1),(n?2).n?1(a)n!f(x)(b)nf(x)(c)f2n(x)(d)n!f2n(x)

答案 a

解題思路 這是一個(gè)求高階導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題,涉及到求抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2 解

由f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)且f?(x)?f(x),可知

2f??(x)?f(x)3????2f(x)?f?(x)?2f(x)?f????f(x)??2f(x)??3?2f(x)?f?(x)?3!f2(n)n?12(x)?2f(x),(x)

34依此由歸納法可知 f(x)?n!f(x)

注意(1)當(dāng)n?1,n?2時(shí)雖然(b)也正確,但當(dāng)n?2就不正確了,所以將(b)排除之;

?222(2)在求導(dǎo)數(shù)f(x)時(shí),可將函數(shù)f(x)看成是由y?t與t?f(x)復(fù)合而成的,??????(t)??f?(x)?2t?f?(x)?2f(x)?f?(x).?(初學(xué)者可能會(huì)這樣做:?f(x)??2f(x),后面丟掉一個(gè)因子f?(x).則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,故f(x)222

例18(91303)若曲線y?x?ax?b和2y??1?xy在點(diǎn)(1,?1)處相切，其中

23a,b是常數(shù),則（）(a)a?0,b??

2(b)a?1,b??3

(c)a??3,b?

1(d)a??1,b??1

答案 d

解題思路

兩曲線在某點(diǎn)相切就是指兩曲線在此公共點(diǎn)處共一條切線,從而兩曲線的斜率也應(yīng)相等.解

曲線y?x?ax?b在點(diǎn)(1,?1)處的斜率是

2k1?(x?ax?b)?2x?1?(2x?a)x?13?2?a

另一條曲線是由隱函數(shù)2y??1?xy確定,該曲線在點(diǎn)(1,?1)處的斜率可以由隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得到: 對(duì)于方程2y??1?xy兩邊求導(dǎo)得到2y??3xyy??y,解出y?得到此曲線在點(diǎn)(1,?1)處的斜率為

k2?y?x?1y??1323?y322?3xy?1

x?1y??12令k1?k2,立即得到a??1.再將a??1,x?1,y??1代入y?x?ax?b中得出b??1.例19設(shè)f(x),g(x)定義在(?1,1)，且都在x?0處連續(xù)，若?g(x)?x?0f(x)??x，則（）?x?0?2(a)limg(x)?0且g(0)?0，(b)limg(x)?0且g(0)?1

x?0x?0(c)limg(x)?1且g(0)?0

(d)limg(x)?0且g(0)?2

x?0x?0 答案 d

解題思路 分析函數(shù)f(x)的表達(dá)式,并運(yùn)用f(x)在x?0處連續(xù)這一關(guān)鍵條件.解 既然f(x)在x?0處連續(xù),于是必有l(wèi)imf(x)?limx?0g(x)xx?0?2,于是必有l(wèi)img(x)?0.于是又有g(shù)?(0)?limx?0g(x)?g(0)xx?0?limg(x)xx?0?2.?1?cosx? 例 20(99103)設(shè)f(x)??x2?xg(x)?x?0x?0 其中g(shù)?(x)是有界函數(shù),則f(x)在x?0處()(a)極限不存在(b)極限存在,但不連續(xù)

(c)連續(xù),但不可導(dǎo)(d)可導(dǎo)

答案 d

解題思路

若能首先判定f(x)在x?0處可導(dǎo),則(a)、(b)、(c)均可被排除.解

x f??(0)?lim21f(x)?f(0)?x?0x?0x2?limx?01?cosx?3?limx?02?3?limx?0x2?x)

2x22?0

(x?0時(shí)1?cosx~ f??(0)?lim2f(x)?f(0)?x?0xx?0由于f(x)在x?0點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù),因而 f(x)在x?0處可導(dǎo).x?0x?0??limxg(x)2?limxg(x)?0（g(x)是有界函數(shù)）

? 例21 設(shè)f(x)?sinx,則(f(f(x)))??()(sinx)cosx (sinx)cosx (cosx)sinx (cosx)sinx

答案 a

例 22 設(shè)f(x)是可導(dǎo)函數(shù),則()a.若f(x)為奇函數(shù),則f?(x)為偶函數(shù)b.若f(x)為單調(diào)函數(shù)c.若f(x)為奇函數(shù),則f?(x)為奇函數(shù)d.若f(x)為非負(fù)函數(shù) 答案 a

解題思路 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,利用函數(shù)的奇性.解 由于f(?u)??f(u),所以,則f?(x)為單調(diào)函數(shù),則f?(x)為非負(fù)函數(shù)

f?(x)?limlimf(x??x)?f(x)?xf[?x?(??x)]?f(?x)?x?0?lim?f(?x??x)?f(?x)?x

?x?0??x因此f?(x)為偶函數(shù).?x?0?f?(?x)例23 設(shè)y?esinsin22x,則dy?()sin2 c.2e 答案 d

解題思路 運(yùn)用復(fù)合函數(shù)微分法

例 24 設(shè)f?(0)存在,lim(1?x?0xxsin2xsincosx d.e2xsin2x

1?cosf(x)sinx1)x?e,則f?(0)?()a.0 b.1 c.答案 c

解 由

2 c.e

lim(1?x?01?cosf(x)sinx1)x?e

可以知道當(dāng)x?0時(shí),有

lim(參閱第一章1.5的例2)

x?011?cosf(x)??1 xsinxf2當(dāng)x?0時(shí),sinx與x是等價(jià)無(wú)窮小,1?cosf(x)與

(x)2是等價(jià)無(wú)窮小.于是

f(x)11?cosf(x)1lim??lim?1 2x?0xx?0sinx2x又因?yàn)閒?(0)存在,所以此式又推出 f?(0)?limf(x)xx?02?2.1?,x?0?arctan 例 25 設(shè)f(x)?? 在點(diǎn)x?0可導(dǎo),則()x?ax?b,x?0?a.a?1,b??2 b.a?1,b?0 c.a??1,b???2 d.a??1,b??2

答案d

解題思路 先考察函數(shù)在點(diǎn)x?0左右極限,確定連續(xù)性,再考察左右導(dǎo)數(shù).由可微性最終確定a,b.解

1???,所以b??.(1)limf(x)?lim(ax?b)?b,limf(x)?limarctan??x?0x?0x22x?0x?0??于是f(0)??2.(2)f??(0)?a,f??(0)?limx?0f(x)?f(0)?arctan?limx?0?1xx??2

xarctan1xx??2: 以下需要用洛比塔法則求極限limx?0?

arctanlimx?0?1x??2?lim?(arctan1xx???2)??limx?0??1x2xx?0于是由f??(0)?f??(0)推出a??1

?1??1

例26.(93303)若f(x)??f(?x),且在(0,??)內(nèi)f?(x)?0,f??(x)?0,則f(x)在(??,0)內(nèi)必有

(a)f?(x)?0,f??(x)?0(b)f?(x)?0,f??(x)?0

(c)f?(x)?0,f??(x)?0(d)f?(x)?0,f??(x)?0 答案 c

解體思路 所給函數(shù)顯然是奇函數(shù),因此f?(x)是偶函數(shù),f??(x)是奇函數(shù).解 由f?(x)?0,x?(0,??)知f?(x)?0,x?(??,0);由f??(x)?0,x?(0,??)知f??(x)?0,x?(??,0).