定積分不等式證明方法總結(jié) 不定積分證明題思路(四篇)

總結(jié)是寫(xiě)給人看的，條理不清，人們就看不下去，即使看了也不知其所以然，這樣就達(dá)不到總結(jié)的目的。什么樣的總結(jié)才是有效的呢？下面是我給大家整理的總結(jié)范文，歡迎大家閱讀分享借鑒，希望對(duì)大家能夠有所幫助。

定積分不等式證明方法總結(jié) 不定積分證明題思路篇一

定義1 如果對(duì)任一xi，都有

f(x)f(x) 或 df(x)f(x)dx

則稱(chēng)f(x)為f(x)在區(qū)間i 上的原函數(shù)。

例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函數(shù)。 [ln(xx2)

原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間i 上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間i 上一定有原函數(shù)，即存在區(qū)間i 上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)，使得對(duì)任一xi，有f(x)f(x)。

注1：如果f(x)有一個(gè)原函數(shù)，則f(x)就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)。

設(shè)f(x)是f(x)的原函數(shù)，則[f(x)c]f(x)，即f(x)c也為f(x)的原函數(shù)，其中c為任意常數(shù)。

注2：如果f(x)與g(x)都為f(x)在區(qū)間i 上的原函數(shù)，則f(x)與g(x)之差為常數(shù)，即f(x)g(x)c（c為常數(shù)）

注3：如果f(x)為f(x)在區(qū)間i 上的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)c（c為任意常數(shù)）可表達(dá)f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)。

1x2，即ln(xx2)是1x2的原函數(shù)。

定義2 在區(qū)間i上，f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)，成為f(x)在區(qū)間i上的不定積分，記為f(x)dx。

如果f(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則

f(x)dxf(x)c，（c為任意常數(shù)）

圖 5—1 設(shè)f(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則yf(x)在平面上表示一條曲線，稱(chēng)它為f(x)f(x)的不定積分表示一族積分曲線，它們是由f(x)的某一條積分曲線沿著y軸方向作任意平行移動(dòng)而產(chǎn)生的所有積分曲線組成的．顯然，族中的每一條積分曲線在具有同一橫坐標(biāo)x的點(diǎn)處有互相平行的切線，其斜率都等于f(x)．

在求原函數(shù)的具體問(wèn)題中，往往先求出原函數(shù)的'一般表達(dá)式y(tǒng)f(x)c，再?gòu)闹写_定一個(gè)滿足條件 y(x0)y0 (稱(chēng)為初始條件)的原函數(shù)yy(x)．從幾何上講，就是從積分曲線族中找出一條通過(guò)點(diǎn)(x0,y0)的積分曲線．

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

k為非零常數(shù)） kf(x)dxkf(x)dx（

∫ a dx = ax + c，a和c都是常數(shù)

∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + c，其中a為常數(shù)且 a ≠ -1 ∫ 1/x dx = ln|x| + c

∫ a^x dx = (1/lna)a^x + c，其中a > 0 且 a ≠ 1

∫ e^x dx = e^x + c

∫ cosx dx = sinx + c

∫ sinx dx = - cosx + c

∫ cotx dx = ln|sinx| + c = - ln|cscx| + c

∫ tanx dx = - ln|cosx| + c = ln|secx| + c

∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + c

= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + c

= - ln|secx - tanx| + c = ln|secx + tanx| + c

∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + c

= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + c

= - ln|cscx + cotx| + c = ln|cscx - cotx| + c

∫ sec^2(x) dx = tanx + c

∫ csc^2(x) dx = - cotx + c

∫ secxtanx dx = secx + c

∫ cscxcotx dx = - cscx + c

∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + c

∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + c

∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + c

∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + c

∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + c ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + c ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + c

設(shè)f(u)為f(u)的原函數(shù)，即f(u)f(u) 或 f(u)duf(u)c 如果 u(x)，且(x)可微，則 df[(x)]f(u)(x)f(u)(x)f[(x)](x) dx

即f[(x)]為f[(x)](x)的原函數(shù)，或

f[(x)](x)dxf[(x)]c[f(u)c]u(x)[f(u)du]因此有

定理1 設(shè)f(u)為f(u)的原函數(shù)，u(x)可微，則

f[(x)](x)dx[f(u)du]

公式(2-1)稱(chēng)為第一類(lèi)換元積分公式。 u(x)u(x) (2-1)

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)

1f(axb)d(axb)1[f(u)du]f(axb)dxuaxb

定積分不等式證明方法總結(jié) 不定積分證明題思路篇二

摘要:結(jié)合實(shí)例分析介紹了不定積分的四種基本計(jì)算方法。為使學(xué)生熟練掌握,靈活運(yùn)用積分方法,本文將高等數(shù)學(xué)中計(jì)算不定積分的常用方法,簡(jiǎn)單進(jìn)行了整理歸類(lèi)。

關(guān)鍵詞:積分方法 第一類(lèi)換元法第二類(lèi)換元法 分部積分法 不定積分是高等數(shù)學(xué)中積分學(xué)的基礎(chǔ),對(duì)不定積分的理解與掌握的好壞直接影響到該課程的學(xué)習(xí)和掌握。熟練掌握不定積分的理論與運(yùn)算方法,不但能使學(xué)生進(jìn)一步鞏固前面所學(xué)的導(dǎo)數(shù)與微分的知識(shí),而且也將為學(xué)習(xí)定積分,微分方程等相關(guān)知識(shí)打好基礎(chǔ)。在高等數(shù)學(xué)中,函數(shù)的概念與定義與初等數(shù)學(xué)相比發(fā)生了很多的變化,從有限到無(wú)限,從確定到不確定,計(jì)算結(jié)果也可能不唯一,但計(jì)算方法與計(jì)算技巧顯得更加重要。這些都在不定積分的計(jì)算中體會(huì)的淋漓盡致。對(duì)不定積分的求解方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸類(lèi),不但使其計(jì)算方法條理清楚,而且有助于對(duì)不定積分概念的理解,提高學(xué)習(xí)興趣,對(duì)學(xué)好積分具有一定的促進(jìn)作用。

直接積分法就是利用不定積分的定義,公式與積分基本性質(zhì)求不定積分的方法。直接積分法重要的是把被積函數(shù)通過(guò)代數(shù)或三角恒等式變形,變?yōu)榉e分表中能直接計(jì)算的公式,利用積分運(yùn)算法則,在逐項(xiàng)積分。

定義1.設(shè)f(x)是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù)f(x)，使得f(x)或df

f(x)

(x)f(x)dx

,則稱(chēng)f(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)

定義2.函數(shù)

f(x)的全體原函數(shù)f(x)c叫做f(x)的不定積分，，記為:

f(x)dxf(x)c

f(x)叫做被積函數(shù) f(x)dx叫做被積表達(dá)式c叫做積分常數(shù)

“

其中

”叫做積分號(hào)

性質(zhì)1. 不定積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，不定積分的微分等于被積表達(dá)式，即

f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx.

性質(zhì)2. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的不定積分等于該函數(shù)加上一個(gè)任意函數(shù)，即

f(x)dxf(x)c,

或df(x)f(x)c

性質(zhì)3. 非零的常數(shù)因子可以由積分號(hào)內(nèi)提出來(lái)，即

kf(x)dxkf(x)dx

(k0).

性質(zhì)4. 兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于每個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即

f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

基本積分公式

(1)kdxkxc(k為常數(shù))

(2)xdx

1

1

x

1

c

(1)

1

(3)xlnxc

x

(4)exdxexc

(6)cosxdxsinxc (8)sec2xdxtanxc (10)secxtanxdxsecxc (12)secxdxlnsecxtanxc (14)(16)

11x

11x

2

(5)a

x

dx

a

x

lna

c

(7)sinxdxcosxc (9)csc2xdxcotxc

(11)

cscxcotxdxcscxc

(13)cscxdxlncscxcotxc (15)

1x

2

2

xarctanxc

xarcsinxc

xarcsinxc

定理1. 設(shè)(x)可導(dǎo)，并且f(u)duf(u)c. 則有

f[(x)](x)dxf(u)c

湊微分

f[(x)]d(x)

令u(x)

f(u)du

代回u(x)

f((x))c

該方法叫第一換元積分法(integration by substitution)，也稱(chēng)湊微分法． 定理2.設(shè)x數(shù)f

(t)是可微函數(shù)且(t)0，若f((t))(t)具有原函

(t)，則

xt換元

fxdx

fttdt

積分

ftc

t

1

x

回代

1

fxc.

該方法叫第二換元積分法

定積分不等式證明方法總結(jié) 不定積分證明題思路篇三

●定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間i上連續(xù)，那么在區(qū)間i上存在可導(dǎo)函數(shù)f(x)，使對(duì)任一x∈i都有f’(x)=f(x);簡(jiǎn)單的說(shuō)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。

●分部積分法

如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設(shè)對(duì)數(shù)和反三角函數(shù)為u。

定積分

1、定積分解決的典型問(wèn)題

(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

2、函數(shù)可積的充分條件

●定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，即連續(xù)=>可積。

●定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。

●性質(zhì)如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。

●推論如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性質(zhì)設(shè)m及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤m(b-a),該性質(zhì)說(shuō)明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍。

●性質(zhì)(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除點(diǎn)c(a

1、求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)

●直角坐標(biāo)系下(含參數(shù)與不含參數(shù))

●極坐標(biāo)系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面積公式s=r2θ/2)

●旋轉(zhuǎn)體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標(biāo)軸所圍成的面積繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成)(且體積v=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程)

●平行截面面積為已知的立體體積(v=∫aba(x)dx,其中a(x)為截面面積)

●功、水壓力、引力

●函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

定積分不等式證明方法總結(jié) 不定積分證明題思路篇四

若f(x)f(x)，則f(x)dxf(x)c， c為積分常數(shù)不可丟！

性質(zhì)1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或

df(x)dxf(x) dx

性質(zhì)2f(x)dxf(x)c或df(x)f(x)c

性質(zhì)3[f(x)g(x)]dx

或[f(x)g(x)]dx

基本積分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx

kdxkxc

xxdx1x1c(為常數(shù)且1)1xdxlnxc ax

edxecadxlnac xx

cosxdxsinxcsinxdxcosxc

dxdx22tanxcsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxc

secxtanxdxsecxccscxcotxdxcscxc

dxarctanxcarccotx

c（）1x2arcsinxc（arccosxc）

直接積分法：對(duì)被積函數(shù)作代數(shù)變形或三角變形，化成能直接套用基本積分公式。 代數(shù)變形主要是指因式分解、加減拆并等；三角變形主要是指三角恒等式。

1.第一類(lèi)換元法（湊微分法）

g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)

注 (1)常見(jiàn)湊微分：

u(x)f(u)du[f(u)c]u(x).

111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|

c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2

(2)適用于被積函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)相乘的情況：

若被積函數(shù)為一個(gè)函數(shù)，比如：e2xdxe2x1dx， 若被積函數(shù)多于兩個(gè)，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成兩類(lèi)；

(3)一般選擇“簡(jiǎn)單”“熟悉”的那個(gè)函數(shù)寫(xiě)成(x)；

(4)若被積函數(shù)為三角函數(shù)偶次方，降次；奇次方，拆項(xiàng)；

2.第二類(lèi)換元法

f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)g(t)ct1(x) 常用代換類(lèi)型:

(1) 對(duì)被積函數(shù)直接去根號(hào);

(2) 到代換x1; t

(3) 三角代換去根號(hào)

x

atantxasect、

xasint(orxacost)

f(xdx，t

f(xx，x

asect

f(xx，xasint

f(xx，xatant f(ax)dx，ta

x

f(xx，t

三、分部積分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.

注 (1)u的選取原則：按“ 反對(duì)冪三指” 的順序，誰(shuí)在前誰(shuí)為u，后面的為v;

(2)uvdx要比uvdx容易計(jì)算；

(3)適用于兩個(gè)異名函數(shù)相乘的情況，若被積函數(shù)只有一個(gè)，比如：

arcsinx1dx，

u

v

(4)多次使用分部積分法： uu求導(dǎo) vv積分（t；