青島大學2012年碩士研究生入學考試試題

科目代碼880 科目名稱： 數(shù)學基礎綜合 （共2頁）
請考生寫明題號，將答案全部答在答題紙上，答在試卷上無效
1. 求極限11lim(1)(2)nnnixiii．（10分）
2．用一致連續(xù)定義證明：若函數(shù)()fx在[,],[,]abbc上都一致連續(xù)，則函數(shù) f(x)在[,]ac上一致連續(xù)．（10分）
3．設函數(shù): [,][,]fabab為連續(xù)函數(shù)．證明：[,]ab，使得()f．（10分）
4．設 ()()()fxfxxfx，
2()(2)2()()fxfxxfxxfx.
試求滿足方程2()0fx，x的連續(xù)函數(shù)．（10分）
5．設 ()cos, 0(), 0gxxxfxxaxbx
其中(0)g存在，且(0)1g．,ab為常數(shù)．試確定,ab的值，使得 f(x)
在0x處連續(xù)且可導，并求出(0)f．（10分）
6．設函數(shù) f(x)在[,]ab上可導，()()0fafb，且
()()0fafb．證明：方程()0fx在(,)ab內至少有兩個根．（10分）
7．求2min||,Ixxdx．（10分）
8．設()fx在[,]ab上連續(xù)．試證：
2
1max()()()bbaaaxbfxfxdxfxdxba．（10分）
9．計算n階行列式mxxxxmxxxxmxDnnnn212121． （10分）
10．設n,,1是數(shù)域F上線性空間V中一線性無關的向量組，討論向量組13221,,,n的線性相關性．（10分）
11．設A,B為 n 階矩陣，A，B，A+B均可逆，證明：11BA也可逆，并求其逆．（10分）
12．證明：11dnxx的充要條件是nd．（10分）
13．設 n 階實對稱矩陣nnijaA)(．證明A正定的必要條件是iia>0，ni,,2,1．并舉例說明這個條件不是A正定的充分條件．（10分）
14．（每小題5分，共10分）設A=111111111．
（1）求A的特征值和特征向量，（2）求可逆矩陣P，使P-1AP為對角矩陣．
15．設是n維歐氏空間V的單位向量．定義V上的線性變換
),(2)(,
證明是V上的第二類正交變換．（10分）