2021年贛南師范大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試考研大綱

同等學(xué)歷加試科目：《數(shù)學(xué)分析》

一、試卷滿分及考試時(shí)間

試卷滿分：100分

考試時(shí)間：1.5小時(shí)

二、考試題型：計(jì)算題，證明題

三、考試大綱及參考書目

主要參考書：

    《數(shù)學(xué)分析》, 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，第三版

試卷考查內(nèi)容比例：

    1.實(shí)數(shù)集與函數(shù)，數(shù)列極限，函數(shù)極限，函數(shù)的連續(xù)性.（10%）

    2. 導(dǎo)數(shù)與微分，微分學(xué)基本定理與不定式極限，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì).（15%）

    3. 不定積分，定積分，定積分的應(yīng)用.（15%）

    4. 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)，付里葉級(jí)數(shù).（15%）

    5 多元函數(shù)的極限與連續(xù)，多元函數(shù)的微分學(xué).（15%）

    6．隱函數(shù)定理及其應(yīng)用.（10%）

    7．重積分，含參量非正常積分.（10%）

    8．曲線積分與曲面積分.（10%）

考查內(nèi)容：

 (一) 實(shí)數(shù)集與函數(shù)

①理解實(shí)數(shù)的有序性、阿基米德性、稠密性，掌握絕對(duì)值及不等式.

②理解確界概念，掌握確界原理.

③理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法.

④了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性.

⑤理解復(fù)合函數(shù),分段函數(shù)和反函數(shù)概念.

⑥了解基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形.

⑦會(huì)建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式.

(二) 數(shù)列極限

①理解極限概念.

②掌握極限性質(zhì)及四則運(yùn)算法則.

③掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用重要極限求極限的方法.

(三) 函數(shù)極限

①理解函數(shù)極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系.

②掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則

③掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法.

④理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限.

(四) 函數(shù)的連續(xù)性

①理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)）,會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.

②掌握連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性，最大值和最小值定理，介值定理，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì).

③理解一致連續(xù)性概念，掌握一致連續(xù)性定理.

 (五) 導(dǎo)數(shù)與微分

①理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程.了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系.

②掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，理解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分，了解微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用.

③理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).

④會(huì)求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù).

⑤會(huì)求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(六) 微分學(xué)基本定理與不定式極限

①理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理.

②理解并會(huì)用柯西中值定理.

③掌握用洛必達(dá)法則求不定式極限的方法.

 (七) 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)

①理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用.

②會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸形和拐點(diǎn)，會(huì)求函數(shù)圖形的水平、垂直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形.

(八) 極限與連續(xù)性(續(xù))

①掌握實(shí)數(shù)完備性定理及其關(guān)系，能較好地運(yùn)用完備性定理證明有關(guān)問題.

②理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明.

③理解上極限、下極限概念.

(九) 不定積分

①理解原函數(shù)概念，理解不定積分的概念.

②掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)，掌握換元積分法與分部積分法.

③會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡單無理函數(shù)的積分.

(十) 定積分

①理解定積分的概念.

②掌握定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法和分部積分法.

③理解變上限定積分定義的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓—萊布尼茲公式.

④了解非正常積分的概念，并會(huì)計(jì)算非正常積分，會(huì)判別非正常積分的斂散性,

(十一) 定積分的應(yīng)用

掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量：平面圖形的面積，平面曲線的弧長，旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積，變力作功，重心等.

(十二) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

①理解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件.

②掌握幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件.

③掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法.

④掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法.

⑤了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂和條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂和條件收斂的關(guān)系.

(十三) 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

①理解函數(shù)列的收斂域與極限函數(shù)的概念及一致收斂概念.

②理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念，及一致收斂概念.

③會(huì)使用判別法判別一致收斂性.

④會(huì)使用一致收斂性研究函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性，可微性，可積性.

(十四) 冪級(jí)數(shù)

①掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法.

②理解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性，逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)微分)，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.

③理解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件.

④掌握 的麥克勞林展開式，會(huì)用它們將一些簡單函數(shù)間接展開為冪級(jí)數(shù).

(十五) 付里葉級(jí)數(shù)

①理解付里葉級(jí)數(shù)的概念，和函數(shù)展開為付里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理.

②會(huì)將定義在[-l,l]上的函數(shù)展開為付里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在0,l]上的函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫出付里葉級(jí)數(shù)的和的表達(dá)式

(十六) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)

①理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義.

②理解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

③了解重極限與累次極限之間的關(guān)系.

(十七) 多元函數(shù)的微分學(xué)

①理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分.了解全微分存在的必要條件和充分條件.

②理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計(jì)算方法.

③掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法.

④掌握曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程.

⑤掌握二元函數(shù)的泰勒公式.

⑥理解多元函數(shù)極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件.了解多元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡單的應(yīng)用問題.

(十八) 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

①理解隱函數(shù)，隱函數(shù)組概念.

②了解隱函數(shù)，隱函數(shù)組，反函數(shù)組存在定理.

③會(huì)求隱函數(shù)(包括由方程組確定的隱函數(shù))的偏導(dǎo)數(shù).

④會(huì)求曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線的方程.

⑤理解多元函數(shù)條件極值的概念，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值.

(十九) 重積分

①理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理,了解含參量正常積分的性質(zhì).

②掌握二重積分(直角坐標(biāo)，極坐標(biāo))的計(jì)算方法，掌握三重積分(直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)，球面坐標(biāo))的計(jì)算方法.

③會(huì)用重積分解決一些實(shí)際應(yīng)用問題.

(二十) 重積分(續(xù))與含參量非正常積分

①進(jìn)一步理解二重積分定義，可積條件，可求面積等問題.了解變量替換定理的證明.

②掌握含參量非正常積分的一致收斂概念及判別法，并能用它來研究含參量非正常積分的連續(xù)性、可微性、可積性.

(二十一) 曲線積分與曲面積分

①理解兩類曲線積分和兩類曲面積分的概念.了解它們的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系,兩類曲面積分的關(guān)系.

②掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法，兩類曲面積分的計(jì)算方法.

③掌握格林公式，并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù).

④掌握高斯公式、斯托克斯公式，會(huì)用高斯公式計(jì)算曲面積分.

⑤了解散度與旋度的概念，并會(huì)計(jì)算.